সবুজ এর উপপাদ্য কানেক্ট লাইন ইন্টেগ্রাল ডবল ইন্টেগ্রাল বা ভূপৃষ্ঠের করতে ব্যবহৃত গণনা পদ্ধতি। জড়িত ক্রিয়াকলাপগুলি অবশ্যই ভেক্টর ক্ষেত্র হিসাবে চিহ্নিত করা উচিত এবং এটি সি এর মধ্যে সংজ্ঞায়িত করা উচিত involved
উদাহরণস্বরূপ, একটি লাইন ইন্টিগ্রাল এক্সপ্রেশন সমাধান করা খুব কঠিন হতে পারে; তবে গ্রিনের উপপাদ্য প্রয়োগ করে, ডাবল ইন্টিগ্রালগুলি বেশ মৌলিক হয়ে যায়। ট্রাজেক্টোরির ইতিবাচক দিকটিকে সম্মান করা সর্বদা গুরুত্বপূর্ণ, এটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিককে বোঝায়।
গ্রিনের উপপাদ্য স্টোকসের উপপাদ্যের একটি বিশেষ কেস, যেখানে ভেক্টর ফাংশনটির অভিক্ষেপটি এক্সওয়াই বিমানটিতে সঞ্চালিত হয়।
সংজ্ঞা
গ্রিনের উপপাদ্যটির প্রকাশটি নিম্নরূপ:
প্রথম শব্দটি ভেক্টর ফাংশন "এফ" এবং ভেক্টরের "আর" এর মধ্যে স্কেলার পণ্যটির "সি" পথ দ্বারা সংজ্ঞায়িত রেখা অবিচ্ছেদ্য দেখায়।
গ: এটি সেই সংজ্ঞায়িত পাথ, যার উপরে ভেক্টর ফাংশনটি অনুমিত করা হবে যতক্ষণ না এটি plane বিমানের জন্য নির্ধারিত হয়।
এফ: ভেক্টর ফাংশন, যেখানে এর প্রতিটি উপাদানকে কোনও ফাংশন যেমন (এফ, জি) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।
r: এটি অঞ্চল আর এর জন্য একটি ভেক্টর স্পর্শক যার উপরে অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞায়িত হয়। এই ক্ষেত্রে আমরা এই ভেক্টরের একটি ডিফারেনশিয়াল সাথে কাজ করি।
দ্বিতীয় মেয়াদে আমরা গ্রিনের উপপাদ্য বিকাশিত দেখতে পেয়েছি, যেখানে জি এবং এফ এর আংশিক ডেরিভেটিভসের পার্থক্যের অঞ্চলের আরে সংজ্ঞায়িত ডাবল অবিচ্ছেদ্য যথাক্রমে x এবং y এর সাথে সম্মত হয়। এমন একটি অঞ্চল পার্থক্য অনুযায়ী যা উভয় দ্বি-মাত্রিক ডিফারেনশিয়ালের (dx.dy) পণ্য ছাড়া আর কিছুই নয়।
এই উপপাদ্যটি স্থান এবং পৃষ্ঠের সংহতগুলির জন্য পুরোপুরি প্রযোজ্য।
প্রদর্শন
একটি সহজ উপায়ে গ্রিনের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য, এই কার্যটি 2 ভাগে বিভক্ত হবে। প্রথমত, আমরা ধরে নেব যে ভেক্টর ফাংশন F এর কেবলমাত্র ভার্সটার i এ একটি সংজ্ঞা রয়েছে । ভার্সন j এর সাথে সংশ্লিষ্ট "g" ফাংশনটি শূন্যের সমান হবে।
লেখক
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
প্রথমে আমরা পথ সি এর উপর লাইন অবিচ্ছেদ্য বিকাশ করি, যার জন্য পাথটি 2 টি বিভাগে সেক্টরাইজ করা হয়েছে যা প্রথমে ক থেকে বি এবং তারপরে খ থেকে ক তে যায়।
ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যের সংজ্ঞাটি একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদের জন্য প্রয়োগ করা হয়।
ভাবটি একটি একক অবিচ্ছেদে পুনরায় সাজানো হয়, নেতিবাচকটিকে একটি সাধারণ ফ্যাক্টর তৈরি করা হয় এবং উপাদানগুলির ক্রমটি বিপরীত হয়।
এই অভিব্যক্তিটি বিশদভাবে পর্যবেক্ষণ করার সময়, এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে আদিম ফাংশন মানদণ্ড প্রয়োগ করার সময়, আমরা y এর সাথে শ্রদ্ধার সাথে চ থেকে উদ্ভূত অভিব্যক্তির অবিচ্ছেদ্যতার উপস্থিতিতে থাকি। প্যারামিটারে মূল্যায়ন করা
এখন ধরে নেওয়া যথেষ্ট যে ভেক্টর ফাংশন F কেবলমাত্র g (x, y) j এর জন্য সংজ্ঞায়িত হয়েছে । পূর্ববর্তী মামলার অনুরূপ পদ্ধতিতে পরিচালনা করার সময়, নিম্নলিখিতটি প্রাপ্ত হয়:
শেষ করতে, 2 টি প্রমাণ নেওয়া হয় এবং সেই ক্ষেত্রে যোগ দেওয়া হয় যেখানে ভেক্টর ফাংশন উভয় ভার্সোরের জন্য মান গ্রহণ করে। এইভাবে, এটি দেখানো হয়েছে যে সংজ্ঞা দেওয়া এবং এক-মাত্রিক ট্রাজেক্টোরি হিসাবে বিবেচিত হওয়ার পরে লাইনটি অবিচ্ছেদ্য, বিমান এবং স্থানের জন্য পুরোপুরি বিকাশ করা যায়।
F = f (x, y) i + g (x, y) j
এইভাবে, গ্রিনের উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।
অ্যাপ্লিকেশন
গ্রিনের উপপাদ্যের প্রয়োগগুলি পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিতের শাখাগুলিতে বিস্তৃত। এগুলি লাইন একীকরণে দেওয়া যেতে পারে এমন কোনও অ্যাপ্লিকেশন বা ব্যবহারের ক্ষেত্রে প্রসারিত।
একটি পথ সি এর মাধ্যমে একটি বাহিনী এফ দ্বারা সম্পন্ন যান্ত্রিক কাজটি একটি লাইন ইন্টিগ্রাল দ্বারা বিকাশিত হতে পারে যা গ্রিনের উপপাদ্য দ্বারা কোনও অঞ্চলের ডাবল অবিচ্ছেদ্য হিসাবে প্রকাশ করা হয়।
প্রয়োগের বিভিন্ন পয়েন্টে বহিরাগত শক্তির অধীনে বহু সংস্থার জড়তার মুহূর্তগুলি গ্রিনের উপপাদ্য দিয়ে বিকাশিত লাইন ইন্টিগ্রালগুলিতে প্রতিক্রিয়া জানায়।
ব্যবহারের অধীনে থাকা পদার্থগুলির প্রতিরোধের গবেষণায় এটির একাধিক কার্যকারিতা রয়েছে। যেখানে বহিরাগত মানগুলি বিভিন্ন উপাদানগুলির বিকাশের আগে পরিমাণমতো এবং বিবেচনায় নেওয়া যেতে পারে।
সাধারণভাবে, গ্রিনের উপপাদ্যগুলি সেই অঞ্চলের বোঝা এবং সংজ্ঞাটি সহজতর করে যেখানে পথের পাশের অঞ্চলের সাথে ভেক্টর ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়।
ইতিহাস
এটি 1828 সালে ব্রিটিশ গণিতবিদ জর্জ গ্রিন দ্বারা রচিত, বিদ্যুৎ এবং চৌম্বকবাদের তত্ত্বগুলির গাণিতিক বিশ্লেষণে কাজটি প্রকাশিত হয়েছিল। এতে পদার্থবিজ্ঞানে ক্যালকুলাস প্রয়োগের ক্ষেত্রে বেশ নির্ধারক বিভাগগুলি যেমন সম্ভাব্য ফাংশনগুলির ধারণা, গ্রিনের কার্যাদি এবং তাঁর স্ব-শিরোনামের উপপাদকের প্রয়োগগুলি অন্বেষণ করা হয়েছে।
জর্জ গ্রিন 40 বছর বয়সে তার ছাত্রজীবনের আনুষ্ঠানিকতা করেছিলেন, এখনও অবধি পুরোপুরি স্ব-শিক্ষিত গণিতবিদ। কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যয়ন করার পরে, তিনি গবেষণা চালিয়ে যান, শাব্দ, অপটিক্স এবং হাইড্রোডাইনামিক্সে অবদান রাখেন যা আজও বৈধ।
অন্যান্য উপপাদ্যের সাথে সম্পর্ক
গ্রিনের উপপাদ্য একটি বিশেষ কেস এবং এটি ক্যালকুলাসের ক্ষেত্রে অন্যান্য 2 খুব গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত হয়েছে। এগুলি হ'ল কেলভিন-স্টোকস উপপাদ্য এবং বিচ্যুতি বা গাউস অস্ট্রোগ্রাডস্কি উপপাদ্য।
দুটি উপপাদ্যের যে কোনও একটি থেকে শুরু করে, কেউ গ্রিনের উপপাদ্যে পৌঁছতে পারে। এই জাতীয় প্রমাণ বিকাশের জন্য নির্দিষ্ট সংজ্ঞা এবং প্রস্তাবগুলি প্রয়োজনীয়।
অনুশীলন
- নিম্নলিখিত অনুশীলনটি দেখায় যে কীভাবে কোনও অঞ্চলের আর এর সাথে লাইন ইন্টিগ্রালকে ডাবল অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর করতে হয়।
মূল প্রকাশটি নিম্নলিখিত:
যেখান থেকে এফ এবং জি সম্পর্কিত ফাংশন নেওয়া হয়
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
গ্রিনের উপপাদ্য প্রয়োগ করার সময় একীকরণের সীমা নির্ধারণের একক উপায় নেই। তবে এমন কিছু উপায় রয়েছে যেখানে সংজ্ঞায়িত হওয়ার পরে সংহতগুলি সহজ হতে পারে। সুতরাং সংহতকরণ সীমা অপ্টিমাইজেশন মনোযোগ প্রাপ্য।
যেখানে আমরা প্রাপ্ত ইন্টিগ্রালগুলি সমাধান করার সময়:
এই মানটি ঘনক ইউনিটে ভেক্টর ফাংশনের নীচে এবং সি দ্বারা সংজ্ঞায়িত ত্রিভুজাকার অঞ্চলের সাথে মিলে যায়
গ্রিনের পদ্ধতি না করেই লাইন ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে, অঞ্চলের প্রতিটি বিভাগে ফাংশনগুলি প্যারামিটারাইজ করা প্রয়োজন হত। এটি হল, রেজোলিউশনের জন্য 3 টি প্যারামিটারাইজড ইন্টিগ্রালগুলি সম্পাদন করুন। এটি রবার্ট গ্রিন তার উপপাদ্যটি ক্যালকুলাসে নিয়ে এসেছিল তার দক্ষতার যথেষ্ট প্রমাণ।
তথ্যসূত্র
- কন্টিনিয়াম মেকানিক্সের ভূমিকা। ডাব্লু মাইকেল লাই, ডেভিড এইচ। রুবিন, এরহার্ড ক্রিম্পল, ডেভিড রুবিন বাটারওয়ার্থ-হাইনম্যান, ২৩ জুলাই। ২০০৯
- মাল্টিভাইয়ারেট ক্যালকুলাস। জেমস স্টুয়ার্ট কেনেজ লার্নিং, 22 মার্চ 2011
- গ্রিনের উপপাদ্য এবং সহযোগী ধারণাগুলির একটি অনানুষ্ঠানিক ইতিহাস। জেমস জোসেফ ক্রস। গণিত বিভাগ, মেলবোর্ন বিশ্ববিদ্যালয়, 1975
- গ্রিন ফাংশন ব্যবহার করে তাপ চালনা। কেভিন ডি কোল, জেমস ভি। বেক, এ। হাজী-শেখ, বাহমান লিটকাউহি। টেলর এবং ফ্রান্সিস, 16 জুলাই ২০১০
- লিনিয়ার ইন্টিগ্রালসের সম্প্রসারণে গ্রিনের উপপাদ্য প্রয়োগ। প্রতিরক্ষা প্রযুক্তিগত তথ্য কেন্দ্র, 1961