স্টেইনারের উপপাদ্য: ব্যাখ্যা, প্রয়োগ, অনুশীলন - শারীরিক - 2025

স্টেনার এর উপপাদ্য, এছাড়াও সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য নামে পরিচিত, একটি বর্ধিত শরীরের নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত মূল্যায়ন করার, একটি অক্ষ যে বস্তুর ভরের সেন্টারের মাধ্যমে অন্য পাশ সমান্তরাল সম্পর্কে।

এটা তোলে সুইস আবিষ্কার করেন জ্যাকব স্টেনার (1796 -1863) গণিতজ্ঞ এবং নিচের বলে: আসুন আমি _{সিএম হতে} একটি অক্ষ ভর সিএম এবং আমি তার কেন্দ্র মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী থেকে সম্মান সঙ্গে বস্তুর নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত _{z- র} আরেকটি অক্ষ থেকে সম্মান সঙ্গে নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত এর সমান্তরাল

চিত্র 1. একটি আয়তক্ষেত্রাকার দরজা তার কব্জায় ঘোরানো একটি জড়তার মুহূর্ত রয়েছে যা স্টেইনারের উপপাদ্য প্রয়োগ করে গণনা করা যেতে পারে। সূত্র: পিক্সাবে।

দূরত্ব ডি যা উভয় অক্ষ এবং শরীরের ভর এম উভয়কে পৃথক করে জেনে গেছে, অজানা অক্ষের সাথে জড়তার মুহূর্তটি হ'ল:

মুহূর্তের জড়তা ইঙ্গিত দেয় যে কোনও বস্তুর জন্য নির্দিষ্ট অক্ষের চারদিকে ঘোরানো কত সহজ। এটি কেবলমাত্র শরীরের ভর নয়, এটি কীভাবে বিতরণ করা হয় তার উপর নির্ভর করে। এই কারণে এটি আন্তর্জাতিক সিস্টেম কেজিতে এর ইউনিট হওয়ায় এটি ঘূর্ণমান জড়তা হিসাবেও পরিচিত। মি ² ।

উপপাদ্যটি দেখায় যে জড়তা I _z এর মুহুর্তটি এমডি ² দ্বারা প্রদত্ত একটি পরিমাণ দ্বারা জড়তা I _সিএম এর মুহুর্তের চেয়ে সবসময় বেশি ।

অ্যাপ্লিকেশন

যেহেতু কোনও বস্তু অসংখ্য অক্ষের চারদিকে ঘুরতে সক্ষম, এবং টেবিলগুলিতে সেন্ট্রয়েডের মধ্য দিয়ে অক্ষে যাওয়ার সময় কেবল জড়তার মুহূর্তটি দেওয়া হয়, সুতরাং স্টেইনারের উপপাদ্যটি যখন অক্ষ সম্পর্কে মৃতদেহগুলি ঘোরানোর প্রয়োজন হয় তখন গণনাটি সহজতর করে তোলে এটি এর সাথে মেলে না।

উদাহরণস্বরূপ, একটি দরজা সাধারণত তার ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে একটি অক্ষ সম্পর্কে ঘোরানো হয় না, তবে একটি পাশের অক্ষ সম্পর্কে, যেখানে কব্জাগুলি মেনে চলে।

জড়তার মুহূর্তটি জানার মাধ্যমে বলা অক্ষের সম্পর্কে ঘূর্ণনের সাথে জড়িত গতিবেগ শক্তি গণনা করা সম্ভব। কে যদি গতিশক্তি হয় তবে আমি অক্ষের চারদিকে জড়তার মুহূর্ত এবং ω কৌণিক বেগ, এটি অনুসরণ করে:

এই সমীকরণটি ভর এম এর একটি গতিতে v: K = ½ Mv ² এ চলমান একটি অবজেক্টের জন্য গতিময় শক্তির খুব পরিচিত সূত্রের সাথে খুব মিল । এবং এটি হ'ল যে জড়তা বা ঘূর্ণন জড়তার মুহুর্তটি আমি রোটেশনটিতে একইভাবে ভূমিকাটি অনুবাদে ভর এম এর মতোই পালন করি।

স্টেইনারের উপপাদ্য প্রমান

একটি বর্ধিত বস্তুর জড়তার মুহূর্তটি এই হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

I = ∫ r ² dm

যেখানে dm ভর এবং r এর একটি অনন্য অংশ, এটি dm এবং ঘূর্ণন z এর অক্ষের মধ্যে দূরত্ব। চিত্র 2 এ এই অক্ষটি ভর সিএম কেন্দ্রটি অতিক্রম করে, তবে এটি যে কোনও হতে পারে।

চিত্র 2. দুটি সমান্তরাল অক্ষের চারপাশে আবর্তিত একটি বস্তু object সূত্র: এফ.জাপাটা।

অন্য জেড অক্ষের চারপাশে জড়তার মুহূর্তটি হ'ল:

I _z = ∫ (r ') ² dm

এখন, ভেক্টর D, r এবং r দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ অনুসারে (ডানদিকে চিত্র 2 দেখুন), সেখানে একটি ভেক্টর যোগফল রয়েছে:

r + r ' = D → r' = D - r

তিনটি ভেক্টর অবজেক্টের বিমানে শুয়ে আছে, যা এক্সও হতে পারে। সমন্বিত সিস্টেমের উত্স (0,0) অনুসরণ করে গণনাগুলি সুবিধার্থে সিএম এ বেছে নেওয়া হয়েছে।

এইভাবে ভেক্টর আর এর স্কোয়ার মডিউলটি হ'ল:

এখন এই বিকাশটি জড়তা I _z এর মুহুর্তের অবিচ্ছেদ্য হিসাবে প্রতিস্থাপিত হয় এবং ঘনত্বের dm = ρ.dV এর সংজ্ঞাও ব্যবহৃত হয়:

স্টেইনারের উপপাদ্যটিতে এম। ডি ² শব্দটি প্রথম অবিচ্ছেদ্য থেকে এসেছে, দ্বিতীয়টি মুখ্যমন্ত্রীকে দিয়ে যে অক্ষের প্রতি সম্মান নিয়ে জড়তার মুহূর্ত।

তাদের অংশের জন্য, তৃতীয় এবং চতুর্থ ইন্টিগ্রালগুলি 0 এর মূল্যবান, কারণ সংজ্ঞা অনুসারে তারা মুখ্যমন্ত্রী পদটি গঠন করেন, যা সমন্বিত সিস্টেমের উত্স হিসাবে নির্বাচিত হয়েছে (0,0)।

সমাধান ব্যায়াম

সলভ ব্যায়াম 1

চিত্র 1 এর আয়তক্ষেত্রাকার দরজাটির ভর 23 কেজি, 1.30 প্রশস্ত এবং 2.10 মিটার উঁচু। দরজাটি পাতলা এবং অভিন্ন বলে ধরে রেখে কব্জাগুলি পেরিয়ে অক্ষের প্রতি শ্রদ্ধার সাথে দরজার জড়তার মুহূর্তটি নির্ধারণ করুন।

চিত্র 3. কর্মক্ষম উদাহরণের জন্য পরিকল্পনামূলক 1. উত্স: পিক্সাবায় থেকে সংশোধিত।

সমাধান

জড়তার এক মুহুর্তের টেবিল থেকে, ভর এম এবং আয়তন a এবং b এর আয়তক্ষেত্রাকার প্লেটের জন্য, অক্ষরকে কেন্দ্র করে যে ভরটির কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় তার জড়তার মুহূর্তটি: I _CM = (1/12) M (a ² + খ ²)।

একটি সমজাতীয় গেট অনুমান করা হবে (একটি আনুমানিক, যেহেতু চিত্রের গেটটি সম্ভবত এটি নয়)। এই জাতীয় ক্ষেত্রে, ভর কেন্দ্রটি তার জ্যামিতিক কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। চিত্র 3-এ একটি অক্ষ যা ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় তা আঁকানো হয়েছে এবং এটি অক্ষের সমান্তরাল যা কব্জাগুলি দিয়ে যায় passes

আমি _সিএম = (1/12) x 23 কেজি এক্স (1.30 ² +2.10 ²) মি ² = 11.7 কেজি.মি ²

ঘোরার সবুজ অক্ষের জন্য স্টেইনারের উপপাদ্য প্রয়োগ করা:

আমি = আমি _সিএম + এমডি ² = 11.7 কেজি.মি ² + 23 কেজি x 0.652 মি ² = 21.4 কেজি।

সলভ ব্যায়াম 2

একটি সমজাতীয় পাতলা রডের জড়তার মুহুর্তটি সন্ধান করুন যখন এটি কোনও এক অক্ষকে ঘুরিয়ে দেয় যা তার কোনও এক প্রান্ত দিয়ে যায়, চিত্রটি দেখুন। জড়ের মুহূর্তের চেয়ে বড় বা কম যখন এটি কেন্দ্রের চারপাশে ঘোরে? কেন?

চিত্র 4. সমাধান করা উদাহরণের জন্য স্কিম 2. উত্স: এফ.জাপাটা।

সমাধান

নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্তের সারণী অনুসারে, আমি নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত _সিএম ভর M এবং দৈর্ঘ্য এল পাতলা ছিপ হয়: আমি _{মুখ্যমন্ত্রীর} = (1/12) এমএল ²

এবং স্টেইনারের উপপাদ্য বলে যে এটি যখন একটি অক্ষের চারদিকে ঘোরানো হয় যা এক প্রান্ত D = L / 2 এর মধ্য দিয়ে যায় তখন থেকে যায়:

এটি বৃহত্তর, যদিও কেবল দ্বিগুণ নয়, তবে 4 গুণ বেশি, যেহেতু রডের অন্যান্য অর্ধেক (চিত্রায় ছায়াযুক্ত নয়) একটি বৃহত্তর ব্যাসার্ধের বর্ণনা দিয়ে ঘোরে।

ঘোরার অক্ষের দূরত্বের প্রভাব লিনিয়ার নয়, তবে চতুর্ভুজযুক্ত। একটি ভর যা অন্যের থেকে দ্বিগুণ দূরত্বের জড়তা আনুপাতিক (2 ডি) ² = 4 ডি ^{2 এর} সমানুপাতিক মুহুর্তে থাকবে ।

তথ্যসূত্র

1. বাউয়ার, ডাব্লু। 2011. প্রকৌশল ও বিজ্ঞানের জন্য পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. ম্যাক গ্রু হিল। 313-340।
2. জর্জিয়া স্টেট বিশ্ববিদ্যালয়। ঘূর্ণন গতি। উদ্ধারকৃত থেকে: phys.nthu.edu.tw.
3. সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: হাইপারফিজিক্স.ফাই- অ্যাস্টারস.এসইউ.ইডু।
4. রেক্স, এ। 2011. পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক বিষয়গুলি। পিয়ারসন। 190-200।
5. উইকিপিডিয়া। সমান্তরাল অক্ষের উপপাদ্য। পুনরুদ্ধার: en.wikedia.org থেকে