তীব্র ত্রিভুজ: বৈশিষ্ট্য এবং প্রকারগুলি - গণিতশাস্ত্র - 2025

তীব্র ত্রিভুজ যাদের তিন অভ্যন্তরীণ কোণ তীব্র কোণ আছে; অর্থাৎ এই প্রতিটি কোণের পরিমাপ 90 90 ডিগ্রি কম। কোনও সঠিক কোণ না রেখে, আমাদের কাছে রয়েছে যে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি এই জ্যামিতিক চিত্রটির জন্য ধারণ করে না।

সুতরাং, আমরা যদি এর কোনও পক্ষ বা কোণ সম্পর্কে কিছু প্রকারের তথ্য পেতে চাই, তবে অন্যান্য উপপাদাগুলি ব্যবহার করা প্রয়োজন যা আমাদের তথ্যের অ্যাক্সেসের অনুমতি দেয়। আমরা যেগুলি ব্যবহার করতে পারি তা হ'ল সাইন উপপাদ্য এবং কোসাইন উপপাদ্য।

বৈশিষ্ট্য

এই জ্যামিতিক চিত্রের যে বৈশিষ্ট্য রয়েছে তার মধ্যে আমরা সেগুলি হাইলাইট করতে পারি যা ত্রিভুজ হওয়ার সাধারণ ঘটনা দ্বারা প্রদত্ত। এর মধ্যে আমাদের রয়েছে:

- একটি ত্রিভুজ একটি বহুভুজ যা তিন দিক এবং তিনটি কোণ রয়েছে।

- এর তিনটি অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টি 180 to এর সমান °

- এর দুটি দিকের যোগফল সর্বদা তৃতীয়ের চেয়ে বেশি।

উদাহরণ হিসাবে আসুন নীচের ত্রিভুজটি এবিসি দেখুন। একটি সাধারণ উপায়ে, আমরা এর পাশগুলি একটি ছোট হাতের অক্ষর এবং এর কোণগুলি একটি মূল অক্ষর দিয়ে চিহ্নিত করি, যাতে একদিকে এবং এর বিপরীত কোণগুলির সাথে একই বর্ণ থাকে।

ইতিমধ্যে প্রদত্ত বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে আমরা জানি যে:

এ + বি + সি = 180 °

a + b> c, a + c> b এবং b + c> a

মূল বৈশিষ্ট্য যা এই ধরণের ত্রিভুজটিকে বিশ্রাম থেকে পৃথক করে তা হ'ল, আমরা ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি যে এর অভ্যন্তরীণ কোণগুলি তীব্র; অর্থাৎ এর প্রতিটি কোণের পরিমাপ 90 than এর চেয়ে কম °

তীব্র ত্রিভুজগুলি একসাথে অবথ ত্রিভুজগুলির সাথে (যারা তাদের একটি কোণে 90 than এর চেয়ে বেশি পরিমাপ রয়েছে), তির্যক ত্রিভুজগুলির সংস্থার অংশ। এই সেটটি ত্রিভুজগুলি দিয়ে তৈরি যা সঠিক কোণ নয়।

যেহেতু তির্যক ত্রিভুজগুলি অংশ, তীব্র ত্রিভুজ জড়িত সমস্যাগুলি সমাধান করতে আমাদের সক্ষম হতে হবে, অবশ্যই সাইন উপপাদ্য এবং কোসাইন উপপাদ্যটি ব্যবহার করা উচিত।

সাইন উপপাদ্য

সাইন উপপাদ্য আমাদের বলে যে এর বিপরীত কোণটির সাইন এর একপাশের অনুপাতটি ত্রিভুজটির তিনটি উল্লম্ব দ্বারা গঠিত বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ সমান। ঐটাই বলতে হবে:

2 আর = এ / পাপ (এ) = খ / পাপ (বি) = সি / পাপ (সি)

কোসিন উপপাদ্য

অন্যদিকে, কোসাইন উপপাদ্য যে কোনও ত্রিভুজ এবিসির জন্য এই তিনটি সমতা দেয়:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

বি ² = একটি ² + সি ² -2ac * কোস (বি)

সি ² = একটি ² + বি ² -2ab * কোস (সি)

এই উপপাদ্যগুলি যথাক্রমে সাইন আইন এবং কোসিনের আইন হিসাবেও পরিচিত।

তীব্র ত্রিভুজগুলির জন্য আমরা আর একটি বৈশিষ্ট্য দিতে পারি যা নীচের মানদণ্ডগুলির কোনওটি পূরণ করে তবে এগুলির দুটি সমান:

- যদি তাদের একই তিনটি দিক থাকে।

- যদি তাদের একপাশে এবং একে অপরের দুটি সমান কোণ থাকে।

- যদি তাদের দুটি সমান দিক এবং একটি কোণ থাকে।

প্রকারভেদ

তীব্র ত্রিভুজগুলি তাদের পাশ অনুসারে শ্রেণিবদ্ধ করা যেতে পারে। এগুলি হতে পারে:

একতরফা তীব্র ত্রিভুজ

এগুলি হল তীব্র ত্রিভুজ যা তাদের সমস্ত দিক সমান এবং তাই, তাদের সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমান মান রয়েছে যা A = B = C = 60। ডিগ্রি।

উদাহরণ হিসাবে, আসুন নীচের ত্রিভুজটি ধরুন, যার পাশের a, b এবং c এর মান 4 হয়।

তীব্র ত্রিভুজগুলি বিচ্ছিন্ন করে les

এই ত্রিভুজগুলি, তীব্র অভ্যন্তরীণ কোণ থাকা ছাড়াও, তাদের দুটি সমতুল্য এবং তৃতীয়টি রয়েছে, যা সাধারণত বেস হিসাবে পৃথকভাবে নেওয়া হয় তার বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

এই ধরণের ত্রিভুজের উদাহরণ এমন এক হতে পারে যার ভিত্তি 3 এবং এর অন্যান্য দুটি পক্ষের মান 5 থাকে। এই পরিমাপের সাথে এটির সমান দিকের বিপরীত কোণগুলি 72.55 the এর মান এবং বিপরীত কোণের সমান হবে বেস হবে 34.9 °।

স্কেলিন তীব্র ত্রিভুজ

এগুলি ত্রিভুজ যা সমস্তের দুটি দ্বারা দুটি পাশাপাশি রয়েছে। সুতরাং, এর সমস্ত কোণগুলি 90 less এর চেয়ে কম হওয়া ছাড়াও দুটি থেকে দুটি থেকে পৃথক।

ত্রিভুজ DEF (যার পরিমাপ d = 4, e = 5 এবং f = 6 এবং এর কোণগুলি D = 41.41 E, E = 55.79 ° এবং F = 82.8 ° হয়) তীব্র ত্রিভুজের একটি ভাল উদাহরণ স্কেলেন

তীব্র ত্রিভুজগুলির রেজোলিউশন

যেমনটি আমরা আগেই বলেছি তীব্র ত্রিভুজগুলির সাথে জড়িত সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য সাইন এবং কোসাইন তত্ত্বগুলি ব্যবহার করা দরকার।

উদাহরণ 1

A = 30 °, B = 70 ° এবং পাশের a = 5 সেমি সহ একটি ত্রিভুজ ABC দেওয়া, আমরা কোণ সি এবং পাশের খ এবং গ এর মান জানতে চাই।

প্রথম যেটি আমরা করি তা হ'ল কোণ সিটির মান অর্জনের জন্য একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরের কোণগুলির সমষ্টি 180 is হয় তা ব্যবহার করা is

180 ° = এ + বি + সি = 30 ° + 70 ° + সি = 100 ° + সে

আমরা সি সাফ করি এবং আমাদের রয়েছে:

সি = 180 ° - 100 ° = 80 ° °

যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে তিনটি কোণ এবং এক দিক জানি, তাই আমরা অবশিষ্ট দিকগুলির মান নির্ধারণের জন্য সাইন উপপাদ্যটি ব্যবহার করতে পারি। উপপাদ্য দ্বারা আমাদের আছে:

a / sin (A) = b / sin (B) এবং a / sin (A) = c / (sin (C)

আমরা সমীকরণ থেকে বি বিচ্ছিন্ন করি এবং আমাদের সাথে বাকী থাকে:

বি = (এ * পাপ (বি)) / পাপ (এ) ≈ (৫ * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

এখন আমাদের কেবল গ এর মান গণনা করা দরকার। আমরা আগের মামলার মতোই এগিয়ে চলি:

সি = (একটি * পাপ (সি)) / পাপ (ক) ≈ (৫ * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

এইভাবে আমরা ত্রিভুজটির সমস্ত তথ্য পাই। আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই ত্রিভুজটি স্কেলিন তীব্র ত্রিভুজের বিভাগে পড়ে।

উদাহরণ 2

ডি = 4 সেমি, ই = 5 সেন্টিমিটার এবং এফ = 6 সেন্টিমিটারের সাথে একটি ত্রিভুজ DEF দেওয়া, আমরা ত্রিভুজের কোণগুলির মান জানতে চাই know

এই ক্ষেত্রে আমরা কোসাইন আইন ব্যবহার করব, যা আমাদের বলে যে:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

এই সমীকরণ থেকে আমরা কোস (ডি) এর জন্য সমাধান করতে পারি, যা আমাদের ফলস্বরূপ দেয়:

কর (ডি) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6) = 0.75

অতএব আমাদের D≈ 41.41 ° আছে °

সিনোম উপপাদ্যটি ব্যবহার করে এখন আমাদের নীচের সমীকরণ রয়েছে:

d / (পাপ (ডি) = ই / (পাপ (ই))

পাপের জন্য সমাধান (ই) আমাদের রয়েছে:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

সুতরাং আমাদের E≈55.79 79 আছে °

অবশেষে, ত্রিভুজের অভ্যন্তরের কোণগুলির যোগফল 180 using ব্যবহার করে আমাদের F≈82.8 ° রয়েছে °

1. ল্যান্ডাভার্ডে, এফ। ডি। (1997)। জ্যামিতি (পুনরায় মুদ্রণ সম্পাদনা)। অগ্রগতি।
2. লেকে, ডি (2006)। ত্রিভুজ (চিত্রিত সম্পাদনা)। হাইনম্যান-রেইনট্রি।
3. লিয়াল জি। জুয়ান ম্যানুয়েল। (2003) প্লেন মেট্রিক জ্যামিতি CO
4. রুইজ, Á।, এবং ব্যারান্টেস, এইচ। (2006) জ্যামিতি। সিআর প্রযুক্তি।
5. সুলিভান, এম। (1997)। ত্রিকোণমিতি এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.