ভেক্টর: বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য, উপাদান, প্রকার, উদাহরণ - বিজ্ঞান - 2025

ভেক্টর গাণিতিক সত্ত্বা যে একটি সাধারণত ভাল একটি পরিমাপের একক -positiva- মাত্রার এবং দিক দ্বারা অনুষঙ্গী হয়। শারীরিক পরিমাণ যেমন গতি, বল, ত্বরণ এবং আরও অনেক কিছু বর্ণনা করার জন্য এই জাতীয় বৈশিষ্ট্যগুলি খুব উপযুক্ত।

ভেক্টরগুলির সাহায্যে সংযোজন, বিয়োগ এবং পণ্যগুলির মতো অপারেশন করা সম্ভব। বিভাগটি ভেক্টরগুলির জন্য এবং পণ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, এখানে তিনটি শ্রেণি রয়েছে যা আমরা পরে বর্ণনা করব: বিন্দুর পণ্য বা বিন্দু, ভেক্টর পণ্য বা ভেক্টর দ্বারা একটি স্কেলারের ক্রস এবং পণ্য।

চিত্র 1. ভেক্টরের উপাদানসমূহ। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

কোনও ভেক্টরকে পুরোপুরি বর্ণনা করার জন্য, এর সমস্ত বৈশিষ্ট্য অবশ্যই নির্দেশিত হতে হবে। প্রস্থ বা মডিউল একটি ইউনিট সহ একটি সংখ্যাসূচক মান, যখন দিক এবং ইন্দ্রিয় একটি সমন্বিত সিস্টেমের সাহায্যে প্রতিষ্ঠিত হয়।

আসুন একটি উদাহরণটি দেখুন: ধরুন যে কোনও বিমান একটি প্রাকৃতিক দিক থেকে 850 কিমি / ঘন্টা বেগে এক শহর থেকে অন্য শহরে চলে যায় fl এখানে আমাদের একটি সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট ভেক্টর রয়েছে, যেহেতু দৈর্ঘ্য উপলব্ধ: 850 কিমি / ঘন্টা, যখন দিক এবং ইন্দ্রিয়টি NE।

ভেক্টরগুলি সাধারণত গ্রাফিকভাবে ওরিয়েন্টেড লাইন বিভাগ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যার দৈর্ঘ্য প্রস্থের সাথে আনুপাতিক।

দিক এবং ইন্দ্রিয়টি নির্দিষ্ট করার সময়, একটি রেফারেন্স লাইন আবশ্যক যা সাধারণত অনুভূমিক অক্ষ, যদিও উত্তরকেও রেফারেন্স হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, যেমন বিমানের গতির ক্ষেত্রে:

চিত্র 2. একটি বেগ ভেক্টর। সূত্র: এফ.জাপাটা।

চিত্রে শো বিমান গতি ভেক্টর, যেমন প্রকাশ বনাম মধ্যে সাহসী টাইপ, একটি স্কালের পরিমাণ, এবং কিছু ইউনিট যার কেবলমাত্র সংখ্যাগত মান প্রয়োজন থেকে আলাদা, তাদের উল্লেখ করা হয়।

একটি ভেক্টরের উপাদান

যেমনটি আমরা বলেছি, ভেক্টরের উপাদানগুলি হ'ল:

-ব্যবস্থা বা মডিউল, কখনও কখনও একে প্রকৃতির মান বা ভেক্টরের আদর্শও বলা হয়।

- ঠিকানা

-ইন্দ্রিয়

চিত্র 2 এর উদাহরণে, ভি এর মডুলাসটি 850 কিমি / ঘন্টা is মডুলাসটি বিনা সাহসী হিসাবে v হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, বা হিসাবে - ভি -, যেখানে বারগুলি পরম মানের প্রতিনিধিত্ব করে।

উত্তর দিকের তুলনায় v এর দিকনির্দেশ নির্দিষ্ট করা আছে। এই ক্ষেত্রে এটি পূর্বের 45º উত্তর (45º এনই)। পরিশেষে তীরের তীরটি ভি । এর অনুভূতি সম্পর্কে অবহিত করে ।

এই উদাহরণে, ভেক্টরটির উত্স স্থানাঙ্ক পদ্ধতির উত্স ও এর সাথে মিলে তৈরি করা হয়েছে, এটি একটি সংযুক্ত ভেক্টর হিসাবে পরিচিত। অন্যদিকে, যদি ভেক্টরের উত্সটি রেফারেন্স সিস্টেমের সাথে একত্রিত না হয় তবে এটি একটি মুক্ত ভেক্টর বলে।

এটি লক্ষ করা উচিত যে ভেক্টরকে পুরোপুরি নির্দিষ্ট করতে, এই তিনটি উপাদান অবশ্যই লক্ষ করা উচিত, অন্যথায় ভেক্টরের বর্ণনা অসম্পূর্ণ থাকবে।

একটি ভেক্টরের আয়তক্ষেত্রাকার উপাদান

চিত্র 3. বিমানে কোনও ভেক্টরের আয়তক্ষেত্রাকার উপাদান সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। উদ্রেককারী

চিত্রটিতে আমরা আমাদের উদাহরণ ভেক্টর ভি, যা এক্সওয়াই বিমানটিতে রয়েছে তা ফিরে পেয়েছি ।

এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে x এবং y স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর v এর অনুমানগুলি একটি সঠিক ত্রিভুজ নির্ধারণ করে। এই অনুমানগুলি v _{y এবং} v _x এবং একে v এর আয়তক্ষেত্রাকার উপাদান বলে ।

এর আয়তক্ষেত্রাকার উপাদান দ্বারা v বোঝানোর একটি উপায় হ'ল: v =x, v _এবং >। এই বন্ধনীর পরিবর্তে বন্ধনীগুলির পরিবর্তে ব্যবহৃত হয় এটি একটি ভেক্টর এবং একটি পিরিয়ড নয় এই বিষয়টি জোর দেওয়ার জন্য, যেহেতু এই ক্ষেত্রে বন্ধনী ব্যবহৃত হবে।

যদি ভেক্টর ত্রি-মাত্রিক স্থানে থাকে তবে আরও একটি উপাদান প্রয়োজন, যাতে:

v =x, v _y, v _z >

আয়তক্ষেত্রাকার উপাদান ভেক্টর মাত্রার গণনা করা হয়, সমকোণী ত্রিভুজ যার পা বনাম হয় অতিভুজ খোঁজার সমতূল্য জানা _এক্স এবং V _{এবং ।} পাইথাগোরিয়ান উপপাদনের মাধ্যমে এটি অনুসরণ করে:

একটি ভেক্টরের মেরু রূপ

যখন ভেক্টরের প্রস্থ - v - এবং কোণ - এটি রেফারেন্স অক্ষের সাথে তৈরি করে, সাধারণত অনুভূমিক অক্ষটি পরিচিত হয়, তখন ভেক্টরটিও নির্দিষ্ট করা হয়। এরপরে ভেক্টরটি মেরু আকারে প্রকাশিত হয় বলে জানা যায়।

এই ক্ষেত্রে আয়তক্ষেত্রাকার উপাদানগুলি সহজেই গণনা করা হয়:

উপরের মতানুসারে, বিমানের বেগ ভেক্টর v এর আয়তক্ষেত্রাকার উপাদানগুলি হ'ল:

প্রকারভেদ

বিভিন্ন ধরণের ভেক্টর রয়েছে। এখানে বেগ, অবস্থান, স্থানচ্যুতি, বল, বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র, গতিবেগ এবং আরও অনেক কিছুর ভেক্টর রয়েছে। যেমনটি আমরা ইতিমধ্যে বলেছি যে পদার্থবিজ্ঞানে ভেক্টরের পরিমাণ প্রচুর পরিমাণে রয়েছে।

নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত ভেক্টর সম্পর্কিত, আমরা নিম্নলিখিত ধরণের ভেক্টর উল্লেখ করতে পারি:

-নুল: এগুলি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য 0 এবং এটিকে 0 হিসাবে চিহ্নিত করা হয় Remember মনে রাখবেন যে গা bold় বর্ণটি একটি ভেক্টরের তিনটি মৌলিক বৈশিষ্ট্যের প্রতীক, যখন সাধারণ অক্ষরটি কেবলমাত্র মডিউলটি উপস্থাপন করে।

উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যাটিক ভারসাম্যযুক্ত কোনও শরীরে, বাহিনীর যোগফল অবশ্যই একটি নাল ভেক্টর হতে হবে।

- নিখরচায় এবং লিঙ্কযুক্ত: নিখরচায় ভেক্টরগুলি হ'ল যাদের উদ্ভব ও আগমন বিন্দুগুলি সংযুক্ত ভেক্টরগুলির বিপরীতে সমতল বা স্থানের যে কোনও পয়েন্টের যুক্ত, যার উত্স তাদের বর্ণনায় ব্যবহৃত রেফারেন্স সিস্টেমের সাথে মিলে যায়।

দু'পক্ষের দ্বারা উত্পাদিত দম্পতি বা মুহুর্ত একটি মুক্ত ভেক্টরের একটি ভাল উদাহরণ, যেহেতু দম্পতি কোনও নির্দিষ্ট পয়েন্টে প্রয়োগ করে না।

- ইক্যুইপোলেটস: এগুলি দুটি বিনামূল্যে ভেক্টর যা অভিন্ন বৈশিষ্ট্যগুলি ভাগ করে দেয়। সুতরাং তাদের সমান পরিমাণ, দিক এবং ইন্দ্রিয় রয়েছে।

- কোপলনার বা কোপলনার: একই সমতলে অন্তর্ভুক্ত ভেক্টর।

- বিপরীতে: একই পরিমাণ এবং দিকের সাথে ভেক্টর, তবে বিপরীত দিকনির্দেশ। ভেক্টরের v এর বিপরীতে ভেক্টরটি ভেক্টর - v এবং উভয়ের যোগফল হ'ল নাল ভেক্টর: v + (- v) = 0 ।

- সমবর্তী: ভেক্টর যার ক্রিয়াকলাপ সমস্ত একই বিন্দু দিয়ে যায়।

- স্লাইডারগুলি: সেই ভেক্টরগুলি যাদের অ্যাপ্লিকেশন পয়েন্টটি একটি নির্দিষ্ট লাইনের সাথে স্লাইড করতে পারে।

- কলিনারি: একই লাইনে অবস্থিত ভেক্টর।

- একাডেমি: সেই ভেক্টর যাদের মডিউল 1।

অর্থোগোনাল ইউনিট ভেক্টর

পদার্থবিজ্ঞানে একটি খুব দরকারী ধরণের ভেক্টর রয়েছে যা একটি আর্থোগোনাল ইউনিট ভেক্টর নামে পরিচিত। অরথোগোনাল ইউনিট ভেক্টরের একটি মডিউল 1 সমান এবং ইউনিটগুলি যে কোনও হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ গতি, অবস্থান, বল বা অন্যান্য।

বিশেষ ভেক্টরগুলির একটি সেট রয়েছে যা অন্যান্য ভেক্টরগুলিকে সহজেই উপস্থাপন করতে এবং তাদের সাথে অপারেশন করতে সহায়তা করে: এগুলি হল অর্থোগোনাল ইউনিট ভেক্টর i, j এবং k, ইউনিট এবং একে অপরের লম্বিত।

দুটি মাত্রায়, এই ভেক্টরগুলি এক্স-অক্ষ এবং y- অক্ষ উভয়ের ইতিবাচক দিক বরাবর পরিচালিত হয়। এবং তিন মাত্রায় একটি ইউনিট ভেক্টরকে ধনাত্মক z অক্ষের দিকে যুক্ত করা হয়। তারা নিম্নরূপে প্রতিনিধিত্ব করা হয়:

i = <1, 0.0>

j = <0,1,0>

কে = <0,0,1>

ভেক্টরকে ইউনিট ভেক্টরগুলি আই, জে এবং কে দ্বারা নিম্নরূপে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:

v = v _x i + v _y j + v _z k

উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী উদাহরণগুলিতে বেগ ভেক্টর ভি হিসাবে এইভাবে লেখা যেতে পারে:

v = 601.04 i + 601.04 j কিমি / ঘন্টা

এই ভেক্টরটি বিমানে থাকায় কে- এর উপাদানটি প্রয়োজনীয় নয়।

ভেক্টর সংযোজন

বিভিন্ন পরিস্থিতিতে ভেক্টরগুলির যোগফল খুব ঘন ঘন উপস্থিত হয়, উদাহরণস্বরূপ আপনি যখন কোনও শক্তির দ্বারা প্রভাবিত কোনও বস্তুর উপর ফলস্বরূপ বাহিনী সন্ধান করতে চান। আরম্ভ করার জন্য, অনুমান করা আমরা দুটি বিনামূল্যে ভেক্টর আছে তোমার দর্শন লগ করা এবং V প্লেনে, যেমন বাম নিচের চিত্র দেখানো:

চিত্র 4. দুটি ভেক্টরের গ্রাফিক যোগফল। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। লুলু কাবনাচ।

অবিলম্বে সাবধানে ভেক্টর স্থানান্তর করা হয় বনাম, তার মাত্রার, নির্দেশ, বা ইন্দ্রিয় পরিবর্তন ছাড়া যাতে শেষে সঙ্গে এর উৎপত্তি সমানুপাতিক তোমার দর্শন লগ করা ।

ভেক্টর সমষ্টি বলা হয় W এবং তুমি থেকে শুরু টানা হয় শেষ হওয়া বনাম, ডান চিত্রে অনুযায়ী। এটি লক্ষণীয় গুরুত্বপূর্ণ যে ভেক্টর ডাব্লু এর দৈর্ঘ্য v এবং u এর দৈর্ঘ্যের যোগফল নয় ।

আপনি যদি যত্ন সহকারে এটি সম্পর্কে চিন্তা করেন, তবে কেবলমাত্র উভয় সংযোজন একই দিকের হয় এবং একই অর্থে যখন ফলক ভেক্টরের প্রস্থের সংযোজন হয় তখন সংযোজনগুলির পরিধিগুলির যোগফল হয়।

এবং ভেক্টরগুলি মুক্ত না হলে কী হবে? এগুলি যুক্ত করাও খুব সহজ। এটি করার উপায় হ'ল উপাদান বা উপাদান বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে উপাদান যুক্ত করা।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন নিম্নলিখিত চিত্রটিতে ভেক্টরগুলি বিবেচনা করুন, প্রথমটি হ'ল কার্টেসিয়ান উপায়ে আগে ব্যাখ্যা করা একটিতে তাদের প্রকাশ করা:

চিত্র 5. দুটি সংযুক্ত ভেক্টরের সমষ্টি। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

v = <5.1>

u = <2,3>

সমষ্টি ভেক্টরের এক্স-কম্পোনেন্ট প্রাপ্ত W, অ্যাড নিজ নিজ এক্স-উপাদান বনাম এবং তোমার দর্শন লগ করা: W _X = 5 + + 2 = 7। এবং ডাব্লু _{ওয়াই} প্রাপ্ত করার জন্য একটি অ্যানালগাস পদ্ধতি অনুসরণ করা হয়: w _y = 1 + 3। এইভাবে:

u = <7.4>

ভেক্টর সংযোজনের বৈশিষ্ট্য

- দুই বা ততোধিক ভেক্টরের যোগফল অন্য ভেক্টরকে দেয়।

- এটি পরিবর্তনীয়, সংযোজনগুলির ক্রমটি এই পরিমাণে যোগফলকে পরিবর্তন করে না:

u + v = v + u

- ভেক্টরের যোগফলের নিরপেক্ষ উপাদান হ'ল নাল ভেক্টর: v + 0 = v

- দুটি ভেক্টরের বিয়োগকে বিপরীতের যোগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: v - u = v + (-u)

ভেক্টর উদাহরণ

যেমনটি আমরা বলেছি, পদার্থবিজ্ঞানে ভেক্টরের অসংখ্য পরিমাণ রয়েছে। সর্বাধিক পরিচিতদের মধ্যে রয়েছে:

-পজিশন

-উত্পাটন

- গড় গতি এবং তাত্ক্ষণিক গতি

- ত্বরণ

-ফর্স

- আন্দোলনের পরিমাণ

-টোর্ক বা একটি শক্তির মুহূর্ত

-ইম্পলস

ইলেক্ট্রিক ক্ষেত্র

-চৌম্বক ক্ষেত্র

-চৌম্বকীয় মুহূর্ত

অন্যদিকে, তারা ভেক্টর নয়, স্কেলার:

-আবহাওয়া

-ম্যাস

-শক্তি

-ভলিউম

ঘনত্ব

-যান্ত্রিক কাজ

-শক্তি

-হট

-শক্তি

-ভোল্টেজ, বৈদ্যুতিক একক বিশেষ

-বিদ্যুত্প্রবাহ

ভেক্টরগুলির মধ্যে অন্যান্য অপারেশন

ভেক্টরগুলির সংযোজন এবং বিয়োগের পাশাপাশি, ভেক্টরগুলির মধ্যে আরও তিনটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অপারেশন রয়েছে, কারণ তারা নতুন খুব গুরুত্বপূর্ণ শারীরিক পরিমাণকে জন্ম দেয়:

ভেক্টর দ্বারা একটি স্কেলারের উত্পাদন।

-ভেক্টরগুলির মধ্যে ডট পণ্য বা বিন্দু পণ্য

- এবং দুটি ভেক্টরের মধ্যে ক্রস বা ভেক্টর পণ্য।

একটি স্কেলার এবং একটি ভেক্টরের পণ্য

নিউটনের দ্বিতীয় আইন, যা যে বল বিবেচনা এফ এবং ত্বরণ একটি আনুপাতিক হয়। আনুপাতিকতার ধ্রুবক হ'ল বস্তুর ভর মি, তাই:

এফ = মি। প্রতি

ভর একটি স্কেলার; তাদের অংশ জন্য, বল এবং ত্বরণ ভেক্টর হয়। যেহেতু ত্বরণ দ্বারা ভরকে গুণ দ্বারা প্রাপ্ত করা হয়, সুতরাং এটি একটি স্কেলার এবং ভেক্টরের পণ্যগুলির ফলাফল।

এই ধরণের পণ্য সর্বদা ভেক্টরের ফলস্বরূপ। এখানে আরও একটি উদাহরণ: গতিবিধির পরিমাণ। পিটিকে গতিবেগের ভেক্টর হতে দিন, v গতিবেগ ভেক্টর, এবং সর্বদা হিসাবে, এম ভর:

পি = মি। v

ভেক্টরগুলির মধ্যে ডট পণ্য বা বিন্দু পণ্য

আমরা ভেক্টর নয় এমন পরিমাণের তালিকায় যান্ত্রিক কাজ রেখেছি। তবে পদার্থবিদ্যায় কাজ করা স্কেলার পণ্য, অভ্যন্তরীণ পণ্য বা বিন্দু পণ্য হিসাবে পরিচিত ভেক্টরগুলির মধ্যে একটি অপারেশনের ফলাফল।

ভেক্টরগুলিকে ভি এবং ইউ, তাদের মধ্যে বিন্দু বা স্কেলারের পণ্যটি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করুন:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ θ

যেখানে θ উভয়ের মধ্যে কোণ। দেখানো সমীকরণ থেকে এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে ডট পণ্যের ফলাফলটি একটি স্কেলার এবং এটিও যে উভয় ভেক্টর লম্ব হয়, তাদের বিন্দুর পণ্য 0 হয়।

যান্ত্রিক কাজ ডব্লিউ ফিরে যান, এই বল ভেক্টর মধ্যে স্কালে পণ্য এফ ও স্থানচ্যুতি ভেক্টর ℓ ।

যখন ভেক্টরগুলি তাদের উপাদানগুলির নিরিখে উপলব্ধ থাকে, তখন বিন্দুর পণ্য গণনা করাও খুব সহজ। যদি ভি =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, দুজনের মধ্যে বিন্দু পণ্যটি হ'ল:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

ভেক্টরগুলির মধ্যে ডট পণ্যটি পরিবর্তনীয়, তাই:

v ∙ u = u ∙ v

ভেক্টরগুলির মধ্যে ক্রস পণ্য বা ভেক্টর পণ্য

যদি ভি এবং আপনি আমাদের দুটি উদাহরণ ভেক্টর হন তবে আমরা ভেক্টর পণ্যটিকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

v x u = w

এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে ক্রস পণ্যটির ফলে কোনও ভেক্টর আসে, যার মডুলাসটি এই হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়:

যেখানে the ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ।

ক্রস পণ্যটি পরিবর্তনশীল নয়, অতএব v x u ≠ u x v। আসলে v x u = - (u x v)।

দুটি ইউনিট ভেক্টরের ক্ষেত্রে উদাহরণস্বরূপ ভেক্টর প্রকাশ করা হলে ভেক্টর পণ্য গণনা সহজলভ্য:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

ইউনিট ভেক্টরগুলির মধ্যে ক্রস পণ্য

অভিন্ন ইউনিট ভেক্টরগুলির মধ্যে ক্রস পণ্য শূন্য, যেহেতু তাদের মধ্যে কোণ 0º হয় º তবে বিভিন্ন ইউনিটের ভেক্টরগুলির মধ্যে, তাদের মধ্যে কোণ 90º এবং পাপ 90º = 1 হয় is

নিম্নলিখিত চিত্রটি এই পণ্যগুলি সন্ধান করতে সহায়তা করে। তীরটির দিকটিতে এটির একটি ইতিবাচক দিক রয়েছে এবং বিপরীত দিকে negativeণাত্মক রয়েছে:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

বিতরণযোগ্য সম্পত্তি প্রয়োগ করা, যা এখনও ভেক্টর এবং ইউনিট ভেক্টরের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে পণ্যগুলির জন্য বৈধ, আমাদের কাছে রয়েছে:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

ভেক্টর দেওয়া:

v = -5 i + 4 j + 1 কে

u = 2 i -3 j + 7 কে

V + u + w এর যোগফলের জন্য 6 i +8 জে -10 কে হতে ভেক্টর ডাব্লু অবশ্যই হবে ?

সমাধান

অতএব, এটি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

উত্তরটি হ'ল ডাব্লু = 9 আমি +7 জে - 18 কে

- অনুশীলন 2

অনুশীলন 1-তে ভেক্টর v এবং u এর মধ্যে কোণটি কী ?

সমাধান

আমরা ডট পণ্য ব্যবহার করব। আমাদের সংজ্ঞাটি থেকে:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

এই মানগুলি প্রতিস্থাপন:

তথ্যসূত্র

1. ফিগুয়েরো, ডি (2005)। সিরিজ: বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. গতিবিদ্যা। ডগলাস ফিগুয়েরো (ইউএসবি) সম্পাদিত।
2. জিয়ানকোলি, ডি 2006. পদার্থবিদ্যা: অ্যাপ্লিকেশন সহ নীতিমালা। । ষ্ঠ। এড প্রেন্টাইস হল।
3. রেক্স, এ। 2011. পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক বিষয়গুলি। পিয়ারসন।
4. সিয়ারস, জেমেনস্কি 2016. আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সাথে বিশ্ববিদ্যালয় পদার্থবিজ্ঞান। 14 তম। সম্পাদনা খণ্ড ১।
5. সার্ওয়ে, আর।, জুয়েট, জে। 2008. বিজ্ঞান ও প্রকৌশল সম্পর্কিত পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. সপ্তম। এড। সেন্টেজ লার্নিং।