ডিরেক্টর ভেক্টর: লাইনের সমীকরণ, অনুশীলনগুলি সমাধান করা - শারীরিক - 2025

ডিরেক্টর ভেক্টর এমন এক হিসাবে বোঝা যায় যা একটি লাইনের দিক নির্ধারণ করে, হয় বিমানে বা মহাকাশে। সুতরাং, লাইনের সমান্তরাল একটি ভেক্টর এটির দিকনির্দেশক ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির একটি স্বীকৃতির জন্য এটি সম্ভাব্য ধন্যবাদ যা বলে যে দুটি পয়েন্ট একটি লাইনকে সংজ্ঞায়িত করে। তারপরে এই দুটি পয়েন্ট দ্বারা গঠিত ওরিয়েন্টেড বিভাগটি সেই রেখার পরিচালক ভেক্টরকেও সংজ্ঞায়িত করে।

চিত্র 1. একটি লাইনের পরিচালক ভেক্টর। (নিজস্ব বিবরণ)

লাইন (এল) একাত্মতার একটি বিন্দু পি দেওয়া এবং পরিচালক ভেক্টর দেওয়া তোমার দর্শন লগ করা যে লাইন এর, লাইন সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়।

লাইন এবং পরিচালক ভেক্টরের সমীকরণ

চিত্র 2. লাইন এবং পরিচালক ভেক্টরের সমীকরণ। (নিজস্ব বিবরণ)

স্থানাঙ্কগুলির একটি বিন্দু পি: (Xo, I) এবং একটি লাইন (এল) এর একটি ভেক্টর ইউ ডিরেক্টর দেওয়া, স্থানাঙ্কগুলির প্রতিটি বিন্দু Q: (X, Y) অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হবে যে ভেক্টর PQ আপনার সমান্তরাল। এই শেষ অবস্থা নিশ্চিত যদি PQ সমানুপাতিক তোমার দর্শন লগ করা:

পিকিউ = টি ইউ

উপরের এক্সপ্রেশন টিতে এমন একটি পরামিতি যা আসল সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত।

PQ এবং u এর কার্টেসিয়ান উপাদানগুলি লিখলে উপরের সমীকরণটি নিম্নরূপ লিখিত হয়:

(এক্স-এক্সো, ওয়াই-ইও) = টি (ক, খ)

যদি ভেক্টর সমতার উপাদানগুলি সমান হয় তবে নীচের জোড়া সমীকরণ প্রাপ্ত হয়:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

লাইনের প্যারামেট্রিক সমীকরণ

রেখা (এল) এর সাথে সম্পর্কিত একটি বিন্দুর এক্স এবং ওয়াই স্থানাংক যা একটি স্থানাঙ্ক পয়েন্ট (এক্সও, ইও) এর মধ্য দিয়ে যায় এবং পরিচালক ভেক্টরের সমান্তরাল u = (ক, খ) পরিবর্তনশীল প্যারামিটার টিতে প্রকৃত মান নির্ধারণ করে নির্ধারিত হয়:

{এক্স = এক্সও + এট; Y = I + b⋅t

উদাহরণ 1

লাইনের প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণটির অর্থ চিত্রিত করার জন্য, আমরা নির্দেশক ভেক্টর হিসাবে গ্রহণ করি

u = (ক, খ) = (২, -১)

এবং লাইনের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হিসাবে পয়েন্ট

পি = (এক্স, আই) = (1, 5)

লাইনের প্যারামেট্রিক সমীকরণটি হ'ল:

{এক্স = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

এই সমীকরণটির অর্থ চিত্রিত করতে, চিত্র 3 দেখানো হয়েছে, যেখানে প্যারামিটার টি মান পরিবর্তিত হয় এবং স্থানাঙ্কের বিন্দু Q (X, Y) লাইনের বিভিন্ন অবস্থান নেয়।

চিত্র 3. PQ = t u। (নিজস্ব বিবরণ)

ভেক্টর আকারে লাইন

লাইনে একটি বিন্দু P দেওয়া হয়েছে এবং এর পরিচালক ভেক্টর ইউ, লাইনের সমীকরণটি ভেক্টর আকারে লেখা যেতে পারে:

ওকিউ = ওপ + λ⋅ u

উপরের সমীকরণে, প্রশ্নটি কোনও বিন্দু হলেও রেখার সাথে সম্পর্কিত এবং λ একটি আসল সংখ্যা।

লাইনটির ভেক্টর সমীকরণ যে কোনও সংখ্যক মাত্রার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, এমনকি একটি হাইপার-লাইনও সংজ্ঞায়িত করা যায়।

পরিচালক ভেক্টর ইউ = (ক, বি, সি) এবং পয়েন্ট পি = (এক্সও, ইও, জো) এর ত্রি-মাত্রিক ক্ষেত্রে, রেখার সাথে সম্পর্কিত জেনেরিক পয়েন্ট Q = (এক্স, ওয়াই, জেড) এর স্থানাঙ্কগুলি হ'ল:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

উদাহরণ 2

ডিরেক্টরী ভেক্টর হিসাবে রয়েছে এমন রেখাটি আবার বিবেচনা করুন

u = (ক, খ) = (২, -১)

এবং লাইনের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হিসাবে পয়েন্ট

পি = (এক্স, আই) = (1, 5)

উল্লিখিত লাইনের ভেক্টর সমীকরণটি হ'ল:

(এক্স, ওয়াই) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

লাইনের ক্রমাগত ফর্ম এবং পরিচালক ভেক্টর

প্যারামিটারিক ফর্মটি থেকে শুরু করে, প্যারামিটার clear ক্লিয়ারিং এবং সমানকরণ, আমাদের কাছে রয়েছে:

(এক্স-এক্সো) / এ = (ওয়াই-যো) / বি = (জেড-জো) / সি

এটি রেখার সমীকরণের প্রতিসম রূপ। নোট করুন যে ক, খ এবং সি পরিচালক ভেক্টরের উপাদান।

উদাহরণ 3

পরিচালনা ভেক্টর হিসাবে রয়েছে এমন রেখাটি বিবেচনা করুন

u = (ক, খ) = (২, -১)

এবং লাইনের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হিসাবে পয়েন্ট

পি = (এক্স, আই) = (1, 5) এর প্রতিসম আকৃতি সন্ধান করুন।

লাইনের প্রতিসাম্য বা অবিচ্ছিন্ন রূপটি হ'ল:

(এক্স - 1) / 2 = (ওয়াই - 5) / (- 1)

লাইনের সমীকরণের সাধারণ ফর্ম

এক্সওয়াই বিমানের লাইনের সাধারণ রূপটি সমীকরণ হিসাবে পরিচিত যা নিম্নলিখিত কাঠামোটি রয়েছে:

A⋅X + B⋅Y = C

প্রতিসম ফর্মের জন্য প্রকাশটি সাধারণ ফর্মের জন্য আবারও লেখা যেতে পারে:

বাক্স - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

লাইনের সাধারণ আকারের সাথে তুলনা করা এটি হ'ল:

A = b, B = -a এবং C = b⋅Xo - a⋅Yo

উদাহরণ 3

লাইনের সাধারণ ফর্মটি সন্ধান করুন যার ডিরেক্টর ভেক্টরটি ইউ = (২, -১)

এবং এটি পি = (1, 5) পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়।

সাধারণ ফর্মটি খুঁজতে আমরা প্রদত্ত সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারি, তবে বিকল্প পথ বেছে নেওয়া হবে be

আমরা পরিচালক ভেক্টর ইউ এর দ্বৈত ভেক্টর ডব্লু সন্ধান শুরু করি, যা ইউ এর উপাদানগুলি বিনিময় করে প্রাপ্ত ভেক্টর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং দ্বিতীয়টি -1 দ্বারা গুণ করে:

ডাব্লু = (-1, -2)

দ্বৈত ভেক্টর ডাব্লু পরিচালক ভেক্টর v এর 90 ° ঘড়ির কাঁটার ঘোরের সাথে মিল রাখে ।

আমরা scalarly সংখ্যাবৃদ্ধি W সঙ্গে (x, y) এবং সঙ্গে (Xo, ইয়ো) এবং সমান সেট করুন:

(-1, -2) • (এক্স, ওয়াই) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

অবশেষে অবশিষ্ট:

এক্স + 2 ওয়াই = 11

লাইনের সমীকরণের স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম

এটি এক্সওয়াই প্লেনে রেখার স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম হিসাবে পরিচিত, যার নিম্নলিখিত কাঠামো রয়েছে:

Y = m⋅X + d

যেখানে মি opeালকে উপস্থাপন করে এবং Y অক্ষের সাথে বাধা দেয় inter

দিকনির্দেশক ভেক্টরকে u = (a, b) দেওয়া, opeাল মিটার বি / এ।

ওয়াইড ডি এক্স এবং ওয়াইডকে চিহ্নিত পয়েন্ট Xo এর পরিবর্তে প্রাপ্ত করা হবে:

আই = (খ / এ) Xo + d।

সংক্ষেপে, m = b / a এবং d = I - (b / a) Xo

লক্ষ্য করুন যে veালু মি হ'ল পরিচালক ভেক্টরের y উপাদান এবং এর x উপাদানগুলির মধ্যে ভাগফল।

উদাহরণ 4

রেখার স্ট্যান্ডার্ড ফর্মটি সন্ধান করুন যার ডিরেক্টর ভেক্টরটি ইউ = (২, -১)

এবং এটি পি = (1, 5) পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়।

মি = -½ এবং ডি = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) এক্স + 11/2

সমাধান ব্যায়াম

-অনুশীলনী 1

রেখাটির একটি পরিচালক ভেক্টর সন্ধান করুন (এল) যা সমতলের ছেদ (Π): এক্স - ওয়াই + জেড = 3 এবং সমতল (Ω): 2 এক্স + ওয়াই = 1।

তারপরে রেখার সমীকরণের অবিচ্ছিন্ন রূপটি লিখুন (এল)।

সমাধান

বিমানের সমীকরণ থেকে (Ω) ছাড়পত্র Y: Y = 1 -2X X

তারপরে আমরা বিমানের সমীকরণ (Π) এ প্রতিস্থাপন করব:

এক্স - (1 - 2 এক্স) + জেড = 3 ⇒ 3 এক্স + জেড = 4 ⇒ জেড = 4 - 3 এক্স

তারপরে আমরা এক্সকে প্যারামিটারাইজ করি, আমরা প্যারামিটারাইজেশন এক্স = λ নির্বাচন করি λ

এর অর্থ হ'ল লাইনটি ভেক্টর সমীকরণ দিয়েছে:

(এক্স, ওয়াই, জেড) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

যা এ হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

(এক্স, ওয়াই, জেড) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

যার সাহায্যে এটি স্পষ্ট যে ভেক্টর u = (1, -2, -3) লাইনটির একটি সরাসরি ভেক্টর (এল)।

রেখার অবিচ্ছিন্ন রূপ (এল) হ'ল:

(এক্স - 0) / 1 = (ওয়াই - 1) / (- 2) = (জেড - 4) / (- 3)

অনুশীলন 2

বিমানটি 5X + a Y + 4Z = 5 দেওয়া হয়েছে

এবং যে রেখাটির সমীকরণটি X / 1 = (Y-2) / 3 = (জেড -2) / (- 2)

এরকমটির মান নির্ধারণ করুন যে বিমান এবং রেখা সমান্তরাল হয়।

সমাধান 2

ভেক্টর এন = (5, এ, 4) বিমানের সাধারণ ভেক্টর normal

ভেক্টর u = (1, 3, -2) লাইনের একটি দিকনির্দেশক ভেক্টর।

যদি রেখাটি সমতলটির সমান্তরাল হয়, তবে n • v = 0।

(5, এ, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 এ -8 = 0 ⇒ এ = 1।

তথ্যসূত্র

1. ফ্লেমিং, ডাব্লু।, এবং ভারবার্গ, ডিই (1989)। প্রিক্যালকুলাস গণিত। প্রেন্টাইস হল পিটিআর।
2. কোলম্যান, বি। (2006) রৈখিক বীজগণিত. পিয়ারসন শিক্ষা.
3. লিয়াল, জেএম, এবং ভিলোরিয়া, এনজি (2005)। প্লেন অ্যানালিটিকাল জ্যামিতি। মেরিদা - ভেনিজুয়েলা: সম্পাদকীয় ভেনিজোলানা সিএ
4. নাভারো, রসিও ভেক্টর। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: books.google.co.ve থেকে।
5. পেরেজ, সিডি (2006)। প্রাক্কুলেশন। পিয়ারসন শিক্ষা.
6. প্রেনোভিটস, ডব্লিউ। 2012. জ্যামিতির প্রাথমিক ধারণা। রোম্যান এবং লিটলফিল্ড।
7. সুলিভান, এম। (1997)। প্রাক্কুলেশন। পিয়ারসন শিক্ষা.