সাধারণ ভেক্টর: গণনা এবং উদাহরণ - শারীরিক - 2025

স্বাভাবিক ভেক্টর এক যে বিবেচনা অধীন কিছু জ্যামিতিক সত্তা, যা একটি বক্ররেখা, একটি প্লেনে অথবা একটি পৃষ্ঠ, উদাহরণস্বরূপ দ্বারা হতে পারে ঋজু দিক সংজ্ঞায়িত হয়।

এটি একটি চলমান কণা বা মহাকাশের কোনও পৃষ্ঠের অবস্থানের ক্ষেত্রে খুব দরকারী ধারণা। নিম্নলিখিত গ্রাফটিতে একটি স্বেচ্ছাসেবক বাঁক সি এর সাধারণ ভেক্টরটি কেমন তা দেখতে পাওয়া যায়:

চিত্র 1. বিন্দু পি তে বক্ররেখা সাধারণত ভেক্টর সহ একটি বক্ররেখা সি। উত্স: Svjo

কার্ভ সি-তে একটি বিন্দু P বিবেচনা করুন বিন্দুটি একটি চলমান কণাকে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে যা সি-আকৃতির পথ ধরে চলতে থাকে point

নোট করুন যে ভেক্টর টি প্রতিটি বিন্দুতে C এর দিকে স্পর্শকাতর, অন্যদিকে ভেক্টর এন টি লম্ব হয় এবং একটি কাল্পনিক বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে নির্দেশ করে যার চাপটি সি এর একটি অংশ যা ভেক্টরগুলি মুদ্রিত পাঠ্যে গা bold় প্রকারে চিহ্নিত করা হয়, অন্যান্য নন-ভেক্টর পরিমাণ থেকে তাদের আলাদা করুন।

ভেক্টর টি সর্বদা নির্দেশ করে যে কণা কোথায় চলেছে, সুতরাং এটি কণার গতি নির্দেশ করে। অন্যদিকে, ভেক্টর এন সর্বদা যেদিকে কণা ঘুরছে তার দিকে নির্দেশ করে, এইভাবে এটি বক্ররের সি এর উত্তলনকে নির্দেশ করে

কীভাবে বিমানটিতে সাধারণ ভেক্টর পাবেন?

সাধারণ ভেক্টর অগত্যা ইউনিট ভেক্টর নয়, এমন একটি ভেক্টর যার মডুলাস 1, তবে যদি তাই হয় তবে এটি সাধারণ ইউনিট ভেক্টর বলে।

চিত্র 2. বাম দিকে একটি বিমান পি এবং দুটি ভেক্টর স্বাভাবিকভাবেই বলেছিলেন বিমান plane ডানদিকে ইউনিট ভেক্টর তিনটি দিক যা স্থান নির্ধারণ করে সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। লেখকের জন্য পৃষ্ঠা দেখুন

অনেক অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে কোনও বক্ররেখার পরিবর্তে ভেক্টরটিকে একটি বিমানের কাছে স্বাভাবিকভাবে জানা দরকার। এই ভেক্টরটি মহাশূন্যে উল্লিখিত সমতলের অভিযোজন প্রকাশ করে। উদাহরণস্বরূপ, চিত্রটির প্লেন পি (হলুদ) বিবেচনা করুন:

এই বিমানে দুটি স্বাভাবিক ভেক্টর রয়েছে: এন ₁ এবং এন ₂ । এক বা অন্যটির ব্যবহার নির্ভর করে যে প্রসঙ্গে বিমানটি পাওয়া গেছে তার উপর নির্ভর করবে। যদি আপনি এর সমীকরণটি জানেন তবে প্লেনে সাধারণ ভেক্টর পাওয়া খুব সহজ:

এখানে ভেক্টর এন ইউনিট ভেক্টরের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশিত হয় এবং একে অপরের i, j এবং k এর লম্ব হয়, যা জাইজেড স্থান নির্ধারণ করে এমন তিনটি দিক বরাবর নির্দেশিত, চিত্র 2 ডানদিকে দেখুন।

ভেক্টর পণ্য থেকে সাধারণ ভেক্টর

সাধারণ ভেক্টরটি সন্ধান করার জন্য একটি খুব সহজ পদ্ধতি দুটি ভেক্টরগুলির মধ্যে ভেক্টর পণ্যগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে।

যেমনটি জানা যায় যে, তিনটি পৃথক পয়েন্ট, একে অপরের সাথে কোলাইনারি নয়, একটি বিমান পি নির্ধারণ করে। এখন, তিনটি ভেক্টর ইউ এবং ভি পাওয়া সম্ভব যা এই তিনটি পয়েন্টযুক্ত বিমানের অন্তর্গত।

একবার ভেক্টরগুলি প্রাপ্ত হওয়ার পরে, ভেক্টর পণ্য ইউ এক্স ভি একটি ক্রিয়াকলাপ যার ফলস্বরূপ একটি ভেক্টর হয় যার ফলস্বরূপ ইউ এবং ভি দ্বারা নির্ধারিত সমতলের লম্বিত হওয়ার সম্পত্তি রয়েছে ।

এই ভেক্টর হিসাবে পরিচিত, এটি এন হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে, এবং এটি থেকে পূর্ববর্তী বিভাগে নির্দেশিত সমীকরণের জন্য বিমানের সমীকরণ নির্ধারণ করা সম্ভব হবে:

এন = ইউ এক্স ভি

নিম্নলিখিত চিত্রটি বর্ণিত পদ্ধতিটি বর্ণনা করে:

চিত্র 3. দুটি ভেক্টর এবং তাদের ভেক্টর পণ্য বা ক্রস দিয়ে, দুটি ভেক্টর সমেত বিমানের সমীকরণ নির্ধারিত হয়। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। কোনও মেশিন-পঠনযোগ্য লেখক সরবরাহ করা হয়নি। এম। রোমেরো শমিটকে ধরে নিয়েছেন (কপিরাইট দাবির ভিত্তিতে)।

উদাহরণ

A (2,1,3) পয়েন্ট দ্বারা নির্ধারিত বিমানের সমীকরণটি সন্ধান করুন; বি (0,1,1); সি (৪.২.১)

সমাধান

এই অনুশীলনটি উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি চিত্রিত করে। ৩ টি পয়েন্ট থাকার পরে, তাদের মধ্যে দুটিকে এই পয়েন্টগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত বিমানের অন্তর্গত দুটি ভেক্টরের সাধারণ উত্স হিসাবে বেছে নেওয়া হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্ট এটিকে উত্স হিসাবে সেট করা হয়েছে এবং ভেক্টরগুলি এবি এবং এসি নির্মিত হয় ।

ভেক্টর এবি হ'ল ভেক্টর যার উৎপত্তি বিন্দু A এবং যার সমাপ্তি বিন্দু B হয় ভেক্টর এবি এর স্থানাঙ্কগুলি যথাক্রমে A এর স্থানাঙ্কগুলি থেকে B এর স্থানাঙ্কগুলি বিয়োগ করে নির্ধারিত হয়:

আমরা ভেক্টর এসি সন্ধানের জন্য একইভাবে এগিয়ে চলেছি:

ভেক্টর পণ্য গণনা

দুটি ভেক্টরের মধ্যে ক্রস পণ্যটি খুঁজে পেতে বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। এই উদাহরণটি একটি মেমোনিক পদ্ধতি ব্যবহার করে যা ইউনিট ভেক্টর i, j এবং কে এর মধ্যে ভেক্টর পণ্যগুলি সন্ধান করতে নিম্নলিখিত চিত্রটি ব্যবহার করে :

চিত্র 4. ইউনিট ভেক্টরগুলির মধ্যে ভেক্টর পণ্য নির্ধারণের জন্য গ্রাফ। সূত্র: স্বনির্মিত।

শুরু করার জন্য, এটি মনে রাখা ভাল যে সমান্তরাল ভেক্টরগুলির মধ্যে ভেক্টর পণ্যগুলি নাল, তাই:

i x i = 0; j x j = 0; কে এক্স কে = 0

এবং যেহেতু ভেক্টর পণ্যটি অংশগ্রাহী ভেক্টরগুলির জন্য আরেকটি ভেক্টর লম্ব, যা আমাদের লাল তীরের দিকে এগিয়ে চলেছে:

যদি আপনাকে তীরের বিপরীত দিকে যেতে হয় তবে একটি চিহ্ন (-) যুক্ত করুন:

সামগ্রিকভাবে ইউনিট ভেক্টর i, j এবং k এর সাহায্যে 9 টি ভেক্টর পণ্য তৈরি করা সম্ভব, যার মধ্যে 3 টি নাল হবে।

এবি এক্স এসি = (-2 আই + 0 জে -2 কে) এক্স (2 আই + জে -2 কে) = -4 (আই এক্স আই) -2 (আই এক্স জে) +4 (আই এক্স কে) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (কে x জে) + 4 (কে x কে) = -2 কে -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 কে

বিমানের সমীকরণ

ভেক্টর এন পূর্বে গণনা করা ভেক্টর পণ্য দ্বারা নির্ধারিত হয়েছে:

এন = 2 আই -8 জে -2 কে

অতএব a = 2, b = -8, c = -2, অনুসন্ধান করা বিমানটি হ'ল:

ডি এর মান নির্ধারণ করা বাকি আছে। এটি সহজ, যদি উপলব্ধ A, B বা C যে কোনও বিন্দুর মান সমতলের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা হয়। সি নির্বাচন করা উদাহরণস্বরূপ:

x = 4; y = 2; z = 1

অবশিষ্ট রয়েছে:

সংক্ষেপে, সন্ধান করা মানচিত্রটি হ'ল:

কৌতুহলী পাঠক আশ্চর্য হতে পারেন যদি একই ফলাফল হবে প্রাপ্ত হয়েছে যদি পরিবর্তে করছেন এবি x এসি এটা করতে বেছে নেওয়া হয়েছে এসি x এবি। উত্তর হ্যাঁ, এই তিনটি পয়েন্ট দ্বারা নির্ধারিত বিমানটি অনন্য এবং দুটি সাধারণ ভেক্টর রয়েছে, যেমন চিত্র 2-এ দেখানো হয়েছে।

ভেক্টরগুলির উত্স হিসাবে নির্বাচিত পয়েন্টটি হিসাবে, অন্য দুটির মধ্যে কোনওটি বেছে নিতে কোনও সমস্যা নেই।

তথ্যসূত্র

1. ফিগুয়েরো, ডি (2005)। সিরিজ: বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. গতিবিদ্যা। ডগলাস ফিগুয়েরো (ইউএসবি) সম্পাদিত। 31- 62।
2. একটি বিমানে সাধারণের সন্ধান করা। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: web.ma.utexas.edu।
3. লারসন, আর। (1986) ক্যালকুলাস এবং বিশ্লেষণী জ্যামিতি। ম্যাক গ্রু হিল 616-647।
4. আর.3 এ লাইন এবং প্লেনগুলি পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: math.harvard.edu থেকে।
5. সাধারণ ভেক্টর ম্যাথওয়ার্ল্ড.ওল্ফ্রাম.কম থেকে উদ্ধার করা হয়েছে।