স্থান ভেক্টর: গ্রাফ, অ্যাপ্লিকেশন, অনুশীলন কিভাবে - শারীরিক - 2025

একটি স্থান ভেক্টর যে সব দ্বারা এক্স, y, ও z দেওয়া তুল্য সিস্টেম দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। বেশিরভাগ সময় এক্সওয়াই বিমানটি অনুভূমিক পৃষ্ঠতল এবং z অক্ষটি উচ্চতা (বা গভীরতা) উপস্থাপন করে।

কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক অক্ষটি চিত্র 1-এ দেখানো হয়েছে 8 টি অষ্টক্যান্ট অঞ্চলকে বিভক্ত স্থানকে, x-y অক্ষগুলি সমতলকে 4 কোয়াড্রেন্টে বিভক্ত করার উপমা হিসাবে। তারপরে আমাদের 1 ম অক্ট্যান্ট, ২ য় অক্ট্যান্ট এবং আরও অনেক কিছু থাকবে।

চিত্র 1. মহাকাশে একটি ভেক্টর। সূত্র: স্বনির্মিত।

চিত্র 1 এ স্পেসে ভেক্টর ভি এর উপস্থাপনা রয়েছে । কিছু দৃষ্টিভঙ্গির প্রয়োজন পর্দার সমতলে তিনটি মাত্রার মায়া তৈরি করতে, যা একটি তির্যক দৃষ্টিভঙ্গি অঙ্কন করে অর্জন করা হয়।

একটি 3D ভেক্টর গ্রাফে, এক ডটেড লাইন যে গ্রিড উপর নির্ধারণ অভিক্ষেপ বা এর "ছায়া" এর স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা আবশ্যক বনাম XY পৃষ্ঠের উপর। এই অভিক্ষেপটি হে থেকে শুরু হয় এবং সবুজ পয়েন্টে শেষ হয়।

একবার সেখানে গেলে, আপনাকে পি পৌঁছানো অবধি জেডের মান অনুসারে প্রয়োজনীয় উচ্চতা (বা গভীরতা) পর্যন্ত উল্লম্ব বরাবর চালিয়ে যেতে হবে The

অ্যাপ্লিকেশন

আমাদের চারপাশের কাঠামোগুলি তিনটি মাত্রায় জ্যামিতির প্রয়োজন হওয়ায় মহাকাশে ভেক্টরগুলি মেকানিক্স এবং পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশল বিভাগের অন্যান্য শাখায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

স্পেসে অবস্থানের ভেক্টরগুলি ওআর উত্স নামক একটি রেফারেন্স পয়েন্টের সাথে সম্পর্কিত অবজেক্টগুলিকে স্থাপন করতে ব্যবহৃত হয় Therefore সুতরাং, এগুলি নেভিগেশনেও প্রয়োজনীয় সরঞ্জাম, তবে এটি সমস্ত নয়।

বল্টস, বন্ধনী, তারগুলি, স্ট্রটস এবং আরও অনেকের মতো কাঠামোয় অভিনয় করার জন্য বাহিনী প্রকৃতির ভেক্টর এবং মহাকাশকে কেন্দ্রিক। এর প্রভাব জানতে, এটির ঠিকানা (এবং এর প্রয়োগের দিকটিও) জানা দরকার।

এবং প্রায়শই একটি বলের দিকটি তার ক্রিয়াটির সাথে সম্পর্কিত মহাকাশে দুটি পয়েন্ট জেনে বোঝা যায়। এইভাবে শক্তিটি হ'ল:

F = F u

যেখানে এফ হল বলের দৈর্ঘ্য বা প্রস্থ এবং আপনি ইউনিটের ভেক্টর (মডিউল 1) এফের ক্রমের লাইনের সাথে নির্দেশিত ।

স্বীকৃতি এবং 3 ডি ভেক্টর প্রতিনিধিত্ব

আমরা কয়েকটি উদাহরণ সমাধান করার আগে, আমরা সংক্ষেপে 3 ডি ভেক্টর স্বরলিপি পর্যালোচনা করব।

চিত্র 1-এর উদাহরণে, ভেক্টর ভি, যার মূল বিন্দুটি মূল O এর সাথে মিলে যায় এবং যার প্রান্ত পয়েন্ট হয়, এর ইতিবাচক xyz স্থানাঙ্ক থাকে, যখন y স্থানাঙ্কটি নেতিবাচক হয়। এই স্থানাঙ্কগুলি হ'ল: x ₁, y ₁, z ₁, যা P এর স্থানাঙ্কগুলি হয়।

সুতরাং যদি আমাদের সাথে কোনও ভেক্টর মূলের সাথে সংযুক্ত থাকে, যার অর্থ, যার সূচনা পয়েন্টটি ও এর সাথে মিলে যায় তবে এর স্থানাঙ্কগুলি চিহ্নিত করা খুব সহজ, যা চূড়ান্ত বিন্দু বা পি হতে পারে a সর্বশেষ গা bold় অক্ষর এবং বন্ধনী, এটি:

v = <x ₁, y ₁, z ₁ >

পয়েন্টটি যখন প্রথম বন্ধনীর সাহায্যে চিহ্নিত করা হয়েছে:

পি = (x ₁, y ₁, জেড ₁)

অন্য একটি উপস্থাপনা ইউনিট ভেক্টর i, j এবং কে ব্যবহার করে যা যথাক্রমে x, y এবং z অক্ষের স্থানের তিনটি দিক নির্ধারণ করে।

এই ভেক্টরগুলি একে অপরের জন্য লম্ব এবং লম্বালম্বি ভিত্তিক গঠন করে (চিত্র 2 দেখুন)। এর অর্থ হ'ল একটি থ্রিডি ভেক্টর তাদের হিসাবে এইভাবে লেখা যেতে পারে:

v = v _x i + v _y j + v _z k

একটি ভেক্টরের কোণ এবং পরিচালক কসাইন

চিত্র 2 এছাড়াও ভেক্টর ভি, x, y এবং z অক্ষের সাথে যথাক্রমে পরিচালক কোণ। ₁, γ ₂ এবং γ ₃ তৈরি করে । এই কোণগুলি এবং ভেক্টরের পরিমাণ সম্পর্কে জানার পরে এটি সম্পূর্ণ নির্ধারিত। এছাড়াও, পরিচালক কোণগুলির কোসাইনগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্কের সাথে মিলিত হয়:

(কোস γ ₁) ² + (কোস γ ₂) ² + (কোস γ ₃) ² = 1

চিত্র 2. ইউনিট ভেক্টর i, j এবং k স্থানের 3 টি পছন্দনীয় দিক নির্ধারণ করে। সূত্র: স্বনির্মিত।

সমাধান ব্যায়াম

-অনুশীলনী 1

চিত্র 2-এ কোণ ₁ γ, ₂ এবং γ _{3 কোণ} যে স্থূল অক্ষ সহ 50 টি ফর্মের ভেক্টর ভি যথাক্রমে: 75.0º, 60.0º এবং 34.3º º এই ভেক্টরের কার্টেসিয়ান উপাদানগুলি সন্ধান করুন এবং ইউনিট ভেক্টর আই, জে এবং কে এর ক্ষেত্রে এটি উপস্থাপন করুন ।

সমাধান

এক্স-অক্ষের উপর ভেক্টর ভি এর প্রক্ষেপণ v _x = 50। কোস 75º = 12,941। একইভাবে, y অক্ষের উপর v এর অভিক্ষেপ হয় v _y = 50 cos 60 º = 25 এবং অবশেষে z অক্ষের উপর v _z = 50. কারণ 34.3 º = 41.3। এখন v হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

v = 12.9 i + 25.0 j + 41.3 কে

অনুশীলন 2

ভারসাম্যহীন আকারে বালতিটি ধারণ করে এমন প্রতিটি তারের মধ্যে উত্তেজনা সন্ধান করুন, যদি এর ওজন 30 এন হয় if

চিত্র 3. অনুশীলনের জন্য স্ট্রেস ডায়াগ্রাম 2।

সমাধান

বালতিতে, মুক্ত-দেহের চিত্রটি নির্দেশ করে যে টি _ডি (সবুজ) ওজন ডাবলু (হলুদ) অফসেট করে, তাই টি _ডি = ডাব্লু = 30 এন ts

নোডে, ভেক্টর টি _ডি উলম্বভাবে নীচের দিকে নির্দেশিত হয়, তারপরে:

টি _ডি = 30 (- কে) এন।

অবশিষ্ট ভোল্টেজ স্থাপন করতে, এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন:

পদক্ষেপ 1: সমস্ত পয়েন্টের সমন্বয়গুলি সন্ধান করুন

এ = (4.5,0,3) (এ প্রাচীর এক্স জেড এর বিমানে রয়েছে)

বি = (1.5,0,0) (বি এক্স-অক্ষে রয়েছে)

সি = (0, 2.5, 3) (সি প্রাচীর এবং z এর বিমানে রয়েছে)

ডি = (1.5, 1.5, 0) (ডি অনুভূমিক XY প্লেনে রয়েছে)

পদক্ষেপ 2: শেষ এবং শুরুর স্থানাঙ্কগুলি বিয়োগ করে প্রতিটি দিকের ভেক্টরগুলি সন্ধান করুন

ডিএ = <3; -1.5; 3>

ডিসি = <-1.5; এক; 3>

ডিবি = <0; -1.5; 0>

পদক্ষেপ 3: মডিউল এবং ইউনিট ভেক্টর গণনা করুন

একটি ইউনিট ভেক্টরটি এক্সপ্রেশন দ্বারা প্রাপ্ত হয়: u = r / r, r এর সাথে (গা in়ভাবে) ভেক্টর এবং r (সাহসী নয়) বলেন ভেক্টরের মডিউল module

ডিএ = (3 ² + (-1.5) ² + 3 ²) ^½ = 4.5; ডিসি = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ²) ^½ = 3.5

u _DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>

u _DC = <-1.5; এক; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>

u _DB = <0; -এক; 0>

u _ডি = <0; 0; -1>

পদক্ষেপ 4: ভেক্টর হিসাবে সমস্ত চাপ প্রকাশ করুন

টি _ডিএ = টি _ডিএ ইউ _ডিএ = টি _ডিএ <0.67; -0.33; 0.67>

টি _ডিসি = টি _ডিসি ইউ _{ডিসি =} টি _ডিসি <-0.43; 0.29; 0.86>

টি _ডিবি = টি _ডিবি ইউ _ডিবি = টি _ডিবি <0; -এক; 0>

টি _ডি = 30 <0; 0; -1>

পদক্ষেপ 5: স্থিতিশীল ভারসাম্য শর্ত প্রয়োগ করুন এবং সমীকরণ সিস্টেমটি সমাধান করুন

অবশেষে, স্ট্যাটিক ভারসাম্যের শর্তটি বালতিতে প্রয়োগ করা হয়, যাতে নোডের সমস্ত বাহিনীর ভেক্টর যোগফল শূন্য হয়:

টি _ডিএ + টি _ডিসি + টি _ডিবি + টি _ডি = 0

যেহেতু স্ট্রেসগুলি মহাকাশে থাকে তাই এর ফলে প্রতিটি স্ট্রেসের (x, y, এবং z) চাপগুলির জন্য তিনটি সমীকরণের সিস্টেম তৈরি হয়।

0.67 টি _ডিএ -0.43 টি _ডিসি + 0 টি _ডিবি = 0

-0.33 টি _ডিএ + 0.29 টি _ডিসি - টি _ডিবি = 0

0.67 টি _ডিএ + 0.86 টি _ডিসি +0 টি _ডিবি - 30 = 0

সমাধানটি হল: টি _ডিএ = 14.9 এন; টি _ডিএ = 23.3 এন; টি _ডিবি = 1.82 এন

তথ্যসূত্র

1. বেডফোর্ড, 2000. উ। ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স: স্ট্যাটিক্স। অ্যাডিসন ওয়েসলি 38-52।
2. ফিগুয়েরো, ডি সিরিজ: বিজ্ঞান ও প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. গতিবিদ্যা। 31-68।
3. শারীর। মডিউল 8: ভেক্টর। থেকে উদ্ধার করা: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, আর। 2006. ইঞ্জিনিয়ার্স জন্য মেকানিক্স। স্থির 6th ষ্ঠ সংস্করণ। কন্টিনেন্টাল প্রকাশনা সংস্থা। 15-53।
5. ভেক্টর সংযোজন ক্যালকুলেটর। থেকে প্রাপ্ত: 1728.org