সম্ভাবনা অক্ষর: প্রকার, ব্যাখ্যা, উদাহরণ, অনুশীলন - দুদাস - 2025

সম্ভাবনা উপপাদ্য ব্যবহার গাণিতিক প্রস্তাবের সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, যা মেধার প্রমাণ না উল্লেখ করা হয়। প্রবর্তন তত্ত্বের ফাউন্ডেশনগুলিতে রাশিয়ার গণিতবিদ আন্ড্রেই কোলমোগোরভ (১৯০৩-১৯87 by) ১৯ The৩ সালে এই অক্ষরটি প্রতিষ্ঠা করেছিলেন এবং সম্ভাবনার গাণিতিক গবেষণার ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন।

একটি নির্দিষ্ট এলোমেলো পরীক্ষা চালানোর সময় the, নমুনা স্পেস ই হ'ল পরীক্ষার সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সেট, যা ইভেন্টগুলিও বলে। যেকোন ইভেন্টকে এ এবং পি (এ) হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এর সংঘটন হওয়ার সম্ভাবনা। তখন কলমোগোরভ প্রতিষ্ঠা করলেন:

চিত্র 1. সম্ভাবনার অক্ষগুলি আমাদের যেমন রুলেটের মতো সুযোগের গেমগুলির সম্ভাবনা গণনা করতে দেয় ulate সূত্র: পিক্সাবে।

- অ্যাক্সিয়োম 1 (নেতিবাচকতা না): যে কোনও ইভেন্ট এ হওয়ার সম্ভাবনাটি সর্বদা ইতিবাচক বা শূন্য, পি (এ) ≥0 হয়। যখন কোনও ইভেন্টের সম্ভাবনা 0 হয়, তখন এটি একটি অসম্ভব ঘটনা বলে।

- অ্যাক্সিয়োম 2 (নিশ্চয়তা): যখনই কোনও ইভেন্ট ই এর অন্তর্গত, তখনই এর উপস্থিতির সম্ভাবনা 1 হয়, যা আমরা পি (ই) = 1 হিসাবে প্রকাশ করতে পারি। এটি একটি নির্দিষ্ট ইভেন্ট হিসাবে পরিচিত, যেহেতু পরীক্ষা চালানোর সময় অবশ্যই একটি ফলাফল পাওয়া যায়।

- সবর্জনবিদিত 3 (উপরন্তু): দুই বা ততোধিক বেমানান ঘটনা দুই, একটি নামক দুটি ক্ষেত্রে ₁, একটি ₂, একটি ₃…, সম্ভাব্যতা যে ঘটনা একটি ₁ প্লাস একটি ₂ প্লাস একটি _{3 করবে} ঘটতে ইত্যাদি ক্রমান্বয়ে, এটি পৃথক পৃথকভাবে সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনার যোগফল।

এটি প্রকাশিত হয়েছে: পি (এ ₁ এউ ₂ এও _{3 3} ইউ…) = পি (এ ₁) + পি (এ ₂) + পি (এ ₃) +…

চিত্র 2. উল্লেখযোগ্য রাশিয়ান গণিতবিদ আন্দ্রেই কলমোগোরভ (১৯০৩-১৯ ax ax), যিনি অ্যাকজিওমেটিক সম্ভাবনার ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

উদাহরণ

সম্ভাব্যতার অলঙ্কারগুলি বিপুল পরিমাণ অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণ স্বরূপ:

একটি থাম্বট্যাক বা ট্যাকটি বাতাসে নিক্ষেপ করা হয় এবং এটি মেঝেতে পড়ে গেলে পয়েন্ট আপ (ইউ) বা পয়েন্ট ডাউন (ডি) সহ অবতরণের বিকল্প থাকে (আমরা অন্যান্য সম্ভাবনা বিবেচনা করব না)। এই পরীক্ষার জন্য নমুনা স্থানটিতে এই ইভেন্টগুলি থাকে, তারপরে E = {U, D}}

চিত্র ৩. ট্রাকটি নিক্ষেপের পরীক্ষায় বিভিন্ন সম্ভাবনার দুটি ঘটনা রয়েছে: পয়েন্টটি উপরের দিকে বা মাটির দিকে অবতরণ। সূত্র: পিক্সাবে।

অক্ষর প্রয়োগ করে আমাদের রয়েছে:

যদি সমানভাবে উপরে বা নীচে অবতরণের সম্ভাবনা থাকে তবে পি (ইউ) = পি (ডি) = ½ (অ্যাক্সিয়োম 1)। তবে থাম্বট্যাকের নির্মাণ ও নকশা এটি একরকম বা অন্যভাবে পড়ার সম্ভাবনা বাড়িয়ে তুলতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এটি হতে পারে যে পি (ইউ) = ¾ যখন পি (ডি) = ¼ (অ্যাক্সিয়াম 1)।

মনে রাখবেন যে উভয় ক্ষেত্রেই সম্ভাবনার যোগফল ১ দেয় However তবে তারা উল্লেখ করে যে তারা 0 এবং 1 এর মধ্যে সংখ্যা এবং যেহেতু এই ক্ষেত্রে, সকলের যোগফল 1 হয়।

সম্ভাব্যতা নির্ধারণের উপায়

সম্ভাবনার অক্ষগুলি হ'ল সম্ভাবনার মান নির্ধারণের কোনও পদ্ধতি নয়। এর জন্য তিনটি বিকল্প রয়েছে যা অ্যাক্সিমের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ:

ল্যাপ্লেসের নিয়ম

প্রতিটি ঘটনা ঘটনার একই সম্ভাবনা বরাদ্দ করা হয়, তারপরে ঘটনার সম্ভাবনাটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

উদাহরণস্বরূপ, ফরাসি কার্ডগুলির একটি ডেকে থেকে টেক্কা আঁকার সম্ভাবনা কত? ডেকের 52 টি কার্ড রয়েছে, প্রতিটি স্যুটের 13 টি এবং 4 টি স্যুট রয়েছে। প্রতিটি স্যুটটিতে 1 টি এসেস রয়েছে, সুতরাং মোট 4 টি এসেস রয়েছে:

পি (হিসাবে) = 4/52 = 1/13

ল্যাপ্লেসের নিয়ম সীমাবদ্ধ স্যাম্পল স্পেসে সীমাবদ্ধ যেখানে প্রতিটি ইভেন্ট সমানভাবে সম্ভাব্য।

আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি

এখানে পরীক্ষাটি পুনরাবৃত্তিযোগ্য হতে হবে, যেহেতু পদ্ধতিটি প্রচুর পরিমাণে পুনরাবৃত্তি চালানোর উপর ভিত্তি করে।

আসুন আমি পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি তৈরি করি which যার মধ্যে আমরা দেখতে পাই যে একটি নির্দিষ্ট ইভেন্ট এ ঘটে যাওয়া বারের সংখ্যা n, তারপরে এই ঘটনাটি হওয়ার সম্ভাবনাটি হ'ল:

পি (এ) = লিমি _{আমি → ∞} (এন / আই)

যেখানে এন / আই হ'ল কোনও ইভেন্টের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি।

পি (এ) কে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করায় কোলমোগোরভের অ্যাক্সিয়মগুলি সন্তুষ্ট হয় তবে সম্ভাবনা যথাযথ হওয়ার জন্য অনেকগুলি পরীক্ষা করাতে হয় এমন একটি অসুবিধাও রয়েছে।

বিষয়গত পদ্ধতি

কোনও ব্যক্তি বা লোকের একটি গ্রুপ তাদের নিজস্ব রায় দিয়ে কোনও ইভেন্টের সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করতে রাজি হতে পারে। এই পদ্ধতির অসুবিধা রয়েছে যে বিভিন্ন ব্যক্তি একই ইভেন্টে বিভিন্ন সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করতে পারে।

অনুশীলনের সমাধান হয়েছে

একই সাথে 3 টি সৎ কয়েন টস করার পরীক্ষায় বর্ণিত ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতা অর্জন করুন:

ক) 2 মাথা এবং একটি পুচ্ছ।

খ) 1 মাথা এবং দুটি লেজ

গ) 3 ক্রস।

d) কমপক্ষে 1 টি মুখ।

সমাধান

মাথাগুলি সি দ্বারা এবং লেজগুলি এক্স দ্বারা চিহ্নিত করা হয় তবে দুটি মাথা এবং একটি পুচ্ছ পেতে বিভিন্ন উপায় রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম দুটি কয়েন মাথাতে অবতরণ করতে পারে এবং তৃতীয়টি লেজগুলি অবতরণ করতে পারে। অথবা প্রথম মাথা, দ্বিতীয় লেজ এবং তৃতীয় মাথা পড়তে পারে। এবং অবশেষে প্রথমটি লেজ এবং বাকী মাথা হতে পারে।

প্রশ্নের উত্তরগুলির জন্য সমস্ত সম্ভাব্যতাগুলি জানা দরকার, যা একটি সরঞ্জামে গাছের ডায়াগ্রাম বা সম্ভাব্যতা গাছ হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছে:

চিত্র ৪. তিনটি সৎ মুদ্রার একযোগে টসের জন্য গাছের ডায়াগ্রাম। সূত্র: এফ.জাপাটা।

যে কোনও মুদ্রার মাথা হওয়ার সম্ভাবনাটি হ'ল t, লেজগুলির ক্ষেত্রেও এটি একই, কারণ মুদ্রাটি সৎ honest ডান কলামে টস রয়েছে এমন সমস্ত সম্ভাব্যতার তালিকা রয়েছে, যা নমুনার স্থান।

নমুনা স্থান থেকে, অনুরোধ ইভেন্টে প্রতিক্রিয়া জানানো সম্মিলনগুলি চয়ন করা হয়, যেহেতু মুখগুলি ক্রম হিসাবে প্রদর্শিত হয় তা গুরুত্বপূর্ণ নয়। তিনটি অনুকূল ইভেন্ট রয়েছে: সিসিএক্স, সিসিএসসি এবং এক্সসিসি। প্রতিটি ঘটনার সম্ভাবনা হ'ল:

পি (সিসিএক্স) = ½। গণমাধ্যমে। ½ = 1/8

সিএক্সসি এবং এক্সসিসি ইভেন্টগুলির ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে থাকে, প্রত্যেকেরই ঘটনার 1/8 সম্ভাবনা থাকে। সুতরাং ঠিক 2 মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা হ'ল সমস্ত অনুকূল ইভেন্টের সম্ভাবনার যোগফল:

পি (দ্বি-পার্শ্বযুক্ত) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

সমাধান খ

ঠিক দুটি ক্রস হওয়ার সম্ভাবনাটি সন্ধান করা পূর্ববর্তীটির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সমস্যা, নমুনা স্থান থেকে নেওয়া তিনটি অনুকূল ঘটনাও রয়েছে: সিএক্সএক্স, এক্সসিএক্স এবং এক্সএক্সসি। এভাবে:

পি (2 ক্রস) = 3/8 = 0.375

সমাধান গ

স্বজ্ঞাতভাবে আমরা জানি যে 3 টি লেজ (বা 3 মাথা) পাওয়ার সম্ভাবনা কম। এই ক্ষেত্রে, অনুসন্ধান করা ইভেন্টটি ডান কলামের শেষে, XXX এর, যার সম্ভাবনাটি হ'ল:

পি (এক্সএক্সএক্স) = ½। গণমাধ্যমে। ½ = 1/8 = 0.125।

সমাধান d

কমপক্ষে 1 টি চেহারা পাওয়ার জন্য অনুরোধ করা হয়েছে, এর অর্থ 3 টি মুখ, 2 টি মুখ বা 1 টি মুখ আসতে পারে। এর সাথে একমাত্র বেমানান ইভেন্টটি 3 টি লেজ বেরিয়ে আসে, যার সম্ভাবনা 0.125। অতএব সম্ভাব্যতাটি চাওয়া হ'ল:

পি (কমপক্ষে 1 টি মাথা) = 1 - 0.125 = 0.875।

তথ্যসূত্র

1. কানাভোস, জি। 1988. সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান: অ্যাপ্লিকেশন এবং পদ্ধতি। ম্যাকগ্রা হিল
2. ডিভোর, জে। 2012. প্রকৌশল ও বিজ্ঞানের সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান। 8 ম। সংস্করণ। Cengage।
3. লিপসচুটজ, এস 1991. স্কাম সিরিজ: সম্ভাবনা। ম্যাকগ্রা হিল
4. ওব্রেগন, আই। 1989. সম্ভাবনার তত্ত্ব। সম্পাদকীয় লিমুসা।
5. ওয়ালপোল, আর। 2007. প্রকৌশল এবং বিজ্ঞানের জন্য সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান। পিয়ারসন।