পয়জন বিতরণ: সূত্র, সমীকরণ, মডেল, বৈশিষ্ট্য - দুদাস - 2025

পইসন বিতরণের একটি বিযুক্ত সম্ভাব্যতা বিতরণের, যার মাধ্যমে এটা সম্ভাব্যতা জানা সম্ভব যে, বৃহৎ নমুনা আকার মধ্যে এবং একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান একটি ঘটনা যার সম্ভাব্যতা ছোট ঘটবে হয় সময়।

প্রায়শই, নিচের শর্তগুলি পূরণ করা অবধি দ্বি-দ্বি বিতরণের জায়গায় পোসন বিতরণ ব্যবহার করা যেতে পারে: বড় নমুনা এবং ছোট সম্ভাবনা।

চিত্র 1. বিভিন্ন পরামিতিগুলির জন্য পায়সন বিতরণের গ্রাফ। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

সিমোন-ডেনিস পোইসন (1781-1840) এই বিতরণটি তৈরি করেছিলেন যা তার নাম বহন করে, যখন এটি অনির্দেশ্য ইভেন্টগুলির ক্ষেত্রে আসে তখন খুব দরকারী। ভয়াবহ ফৌজদারি সাজা হওয়ার সম্ভাবনা নিয়ে তদন্তের কাজ, পয়েসন ১৮৩37 সালে তার ফলাফল প্রকাশ করেছিলেন।

পরে, অন্যান্য গবেষকরা অন্যান্য অঞ্চলে বিতরণকে মানিয়ে নিয়েছিলেন, উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট জায়গার নির্দিষ্ট পরিমাণে পাওয়া যেতে পারে তারার সংখ্যা, বা ঘোড়ার লাথি থেকে সৈন্য মারা যাওয়ার সম্ভাবনা।

সূত্র এবং সমীকরণ

পোইসন বিতরণের গাণিতিক রূপটি নিম্নরূপ:

- μ (কখনও কখনও λ হিসাবে চিহ্নিতও হয়) হ'ল বিতরণটির গড় বা প্যারামিটার

- ইউলার সংখ্যা: e = 2.71828

- y = k পাওয়ার সম্ভাবনা হ'ল পি

- কে সাফল্যের সংখ্যা 0, 1,2,3…

- n হল পরীক্ষা বা ইভেন্টের সংখ্যা (নমুনার আকার)

পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি যেমন তাদের নাম থেকেই বোঝা যায়, সুযোগের উপর নির্ভর করে এবং কেবল পৃথক মান গ্রহণ করে: 0, 1, 2, 3, 4…, কে।

বিতরণের মাধ্যমটি দিয়েছেন:

ভেরিয়েন্স which, যা ডেটার বিস্তারকে পরিমাপ করে, এটি অন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ পরামিতি। পইসন বিতরণের জন্য এটি হ'ল:

σ = μ

পইসন নির্ধারণ করে যে যখন n → ∞, এবং p → 0, গড় μ - যাকে প্রত্যাশিত মানও বলা হয় - স্থির থাকে:

- বিবেচিত ঘটনা বা ঘটনাগুলি একে অপরের থেকে স্বতন্ত্র এবং এলোমেলোভাবে ঘটে।

নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে সংঘটিত কোনও নির্দিষ্ট ঘটনার সম্ভাবনা পি খুব ছোট: পি → 0।

- সময় ব্যবধানে ঘটে যাওয়া একাধিক ইভেন্টের সম্ভাবনা 0।

- গড় মান এর দ্বারা প্রদত্ত একটি ধ্রুবককে প্রায় অনুমান করে: μ = এনপি (এন নমুনার আকার হয়)

-যেহেতু বিস্তৃতি equal সমান μ, এটি বৃহত্তর মানগুলি গ্রহণ করার সাথে সাথে তারতম্যটিও বৃহত্তর হয়।

-সামান্য সময় ব্যবধানে সমানভাবে বিতরণ করা উচিত।

-ইভেন্ট y এর সম্ভাব্য মানগুলির সেটটি হল: 0,1,2,3,4…।

- পোয়েসন বিতরণ অনুসরণকারী আই ভেরিয়েবলগুলির যোগফলটি অন্য পয়সন ভেরিয়েবল। এর গড় মান হ'ল এই ভেরিয়েবলগুলির গড় মানগুলির সমষ্টি।

দ্বিপদী বিতরণের সাথে পার্থক্য

পাইসন বিতরণ নিম্নলিখিত গুরুত্বপূর্ণ উপায়ে দ্বিপদী বিতরণ থেকে পৃথক:

-দ্বিপদী বিতরণ নমুনা আকার এন এবং সম্ভাব্যতা উভয় দ্বারা প্রভাবিত হয়, তবে পইসন বিতরণ কেবলমাত্র μ দ্বারা প্রভাবিত হয় μ

-দ্বিপদী বিতরণে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানগুলি 0,1,2,…, এন হয়, তবে পোইসন বিতরণে এই মানগুলির জন্য কোনও উচ্চতর সীমা থাকে না।

উদাহরণ

পইসন প্রথমে আইনী মামলায় তাঁর বিখ্যাত বিতরণ প্রয়োগ করেছিলেন, তবে শিল্প স্তরে তাঁর প্রথম দিকের ব্যবহার ছিল বিয়ার তৈরি করা। এই প্রক্রিয়াতে খামিরের সংস্কৃতিগুলি উত্তোলনের জন্য ব্যবহৃত হয়।

খামির মধ্যে জীবন্ত কোষ থাকে, যার জনসংখ্যা সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তনশীল। বিয়ার তৈরিতে, প্রয়োজনীয় পরিমাণ যুক্ত করা প্রয়োজন, তাই প্রতি ইউনিট ভলিউমের কোষের সংখ্যা জানা প্রয়োজন।

দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময় পোইসন বিতরণটি জার্মানরা লন্ডনে আসলে ক্যালাইস থেকে লক্ষ্য করছিল, বা কেবল এলোমেলোভাবে গুলি চালানো হয়েছিল তা জানতে ব্যবহার করা হয়েছিল। মিত্রদের পক্ষে এটি নির্ধারণ করা গুরুত্বপূর্ণ ছিল যে নাৎসিদের কাছে প্রযুক্তি কতটা সহজ ছিল।

বাস্তবিক দরখাস্তগুলো

পইসন বিতরণের অ্যাপ্লিকেশনগুলি সর্বদা সময় হিসাবে গণনা বা স্থানের গণনাগুলিকে বোঝায়। এবং যেহেতু ঘটনার সম্ভাবনা কম, এটি "বিরল ঘটনাগুলির আইন" হিসাবেও পরিচিত।

এখানে ইভেন্টগুলির একটি তালিকা যা এই বিভাগগুলির মধ্যে একটিতে পড়ে:

- তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের কণাগুলির নিবন্ধন, যা খামিরের কোষগুলির বর্ধনের মতোই একটি তাত্পর্যপূর্ণ কাজ।

একটি নির্দিষ্ট ওয়েবসাইটে ভিজিট সংখ্যা।

- প্রদানের জন্য বা উপস্থিত থাকার জন্য একটি লাইনে লোকের আগমন (সারি তত্ত্ব)।

- নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে কয়েকটি গাড়ি যা রাস্তায় একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট অতিক্রম করে।

চিত্র 2. মোটামুটি একটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যেতে থাকা গাড়ি সংখ্যা একটি পোইসন বিতরণ অনুসরণ করে। সূত্র: পিক্সাবে।

বিকিরণের এক্সপোজার পাওয়ার পরে কোনও নির্দিষ্ট ডিএনএ শৃঙ্খলে পরিবর্তনগুলি ভুগছিল।

- এক বছরে 1 মিটারের চেয়ে বেশি ব্যাসের সংখ্যার উল্কা সংখ্যা।

- একটি ফ্যাব্রিক প্রতি বর্গ মিটার ত্রুটি।

-১ ঘন সেন্টিমিটারে রক্ত ​​কোষের পরিমাণ।

- টেলিফোন এক্সচেঞ্জে প্রতি মিনিটে কল করুন।

চকোলেট চিপস 1 কেজি পিঠা বাটার উপস্থিত।

-১ হেক্টর বনাঞ্চলে একটি নির্দিষ্ট পরজীবী দ্বারা সংক্রামিত অসংখ্য গাছ।

নোট করুন যে এই এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি নির্দিষ্ট সময়ের (টেলিফোন এক্সচেঞ্জের প্রতি মিনিটে কল) বা কোনও স্থান প্রদত্ত অঞ্চল (প্রতি বর্গ মিটারে ফ্যাব্রিক ত্রুটি) এর সময় সংঘটিত হওয়ার পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করে।

এই ঘটনাগুলি যেমনটি ইতিমধ্যে প্রতিষ্ঠিত হয়েছে, শেষ ঘটনাটি থেকে যে সময় পেরেছে তার থেকে স্বাধীন।

পইসন বিতরণের সাথে দ্বিপদী বিতরণটি প্রায় অনুমান করা

পইসন বিতরণ দ্বিপদী বিতরণে যতক্ষণ না এটি একটি ভাল অনুমান হিসাবে:

- নমুনার আকার বড়: এন ≥ 100

-সম্ভাবনা পি ছোট: পি ≤ 0.1

- μ ক্রমানুসারে: এনপি ≤ 10

এই ক্ষেত্রে পইসন বিতরণ একটি দুর্দান্ত সরঞ্জাম, যেহেতু দ্বিপদী বিতরণ এই ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা কঠিন হতে পারে।

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

একটি সিসমোলজিকাল স্টাডি নির্ধারণ করেছে যে গত ১০০ বছরে বিশ্বজুড়ে প্রায় ৯৯ টি বড় বড় ভূমিকম্প হয়েছিল, কমপক্ষে রিখটার স্কেল-লোগারিডমিক-তে.0.০ ছিল। মনে করুন যে পয়সন বিতরণ এই ক্ষেত্রে উপযুক্ত মডেল। অনুসন্ধান:

ক) প্রতি বছর গড়ে বড় ভূমিকম্পের ঘটনা।

খ) যদি পি (ইয়াই) এলোমেলোভাবে নির্বাচিত বছরের সময় ভূমিকম্পের সম্ভাবনা থাকে তবে নিম্নলিখিত সম্ভাবনাগুলি সন্ধান করুন:

এটি পি (2) এর চেয়ে বেশ কম।

ফলাফলগুলি নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে:

পি (0) = 0.395, পি (1) = 0.367, পি (2) = 0.171, পি (3) = 0.0529, পি (4) = 0.0123, পি (5) = 0.00229, পি (6) = 0.000355, পি (7) = 0.0000471।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা বলতে পারি যে একটি 39.5% সম্ভাবনা রয়েছে যে কোনও নির্দিষ্ট বছরে কোনও বড় ভূমিকম্প হবে না। বা যে বছর 3 টি বড় ভূমিকম্পের 5.29% আছে।

সমাধান গ)

গ) ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ করা হয়, এন = 100 বছর দ্বারা গুণ:

39.5; 36.7; 17.1; 5,29; 1.23; 0,229; 0.0355 এবং 0.00471।

উদাহরণ স্বরূপ:

- 39.5 এর ফ্রিকোয়েন্সি ইঙ্গিত দেয় যে, 100 বছরের মধ্যে 39.5-তে 0 টি বড় ভূমিকম্প হয়, আমরা বলতে পারি যে এটি কোনও বড় ভূমিকম্প ছাড়াই 47 বছরের প্রকৃত ফলাফলের একেবারে কাছাকাছি।

আসুন ফলাফলের সাথে আরও একটি পইসন ফলাফলের তুলনা করি:

- 36.7 এর প্রাপ্ত মানটির অর্থ 37 বছর ধরে 1 টি বড় ভূমিকম্প হয়। আসল ফলাফলটি হ'ল 31 বছরে 1 টি বড় ভূমিকম্প হয়েছিল, এটি মডেলের সাথে একটি ভাল ম্যাচ।

- 17.1 বছর 2 টি বড় ভূমিকম্পের সাথে প্রত্যাশিত এবং এটি জানা যায় যে 13 বছরের মধ্যে, যা নিকটতম মূল্য, সত্যই 2 টি বড় ভূমিকম্প হয়েছিল।

সুতরাং পোইসন মডেল এই ক্ষেত্রে গ্রহণযোগ্য।

অনুশীলন 2

একটি সংস্থা অনুমান করে যে 100 টি অপারেটিং ঘন্টা পৌঁছানোর আগে যে উপাদানগুলির সংখ্যা ব্যর্থ হয় তারা একটি পয়সন বিতরণ অনুসরণ করে। যদি সেই সময়ে ব্যর্থতার গড় সংখ্যা 8 হয় তবে নিম্নলিখিত সম্ভাব্যতাগুলি সন্ধান করুন:

ক) যে একটি উপাদান 25 ঘন্টা ব্যর্থ হয়।

খ) ৫০ ঘন্টার মধ্যে দু'টিরও কম উপাদান ব্যর্থ।

গ) কমপক্ষে তিনটি উপাদান 125 ঘন্টা ব্যর্থ হয়।

সমাধান)

ক) এটি জানা যায় যে 100 ঘন্টা ব্যর্থতার গড় গড় 8 হয়, সুতরাং 25 ঘন্টার মধ্যে চতুর্থাংশ ব্যর্থতা আশা করা হয়, যা 2 ব্যর্থতা। এটি হবে μ প্যারামিটার।

1 টি উপাদান ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনাটি অনুরোধ করা হয়েছে, এলোমেলো পরিবর্তনশীল হ'ল "উপাদান যা 25 ঘন্টার আগে ব্যর্থ হয়" এবং এর মান y = 1। সম্ভাব্যতা ফাংশন প্রতিস্থাপন দ্বারা:

যাইহোক, প্রশ্নটি এমন সম্ভাবনা যা 50 ঘন্টার মধ্যে দু'টিরও কম উপাদান ব্যর্থ হয়, ঠিক এটি নয় যে 2 উপাদান 50 ঘন্টার মধ্যে ব্যর্থ হয়, তাই আমাদের অবশ্যই সম্ভাব্যতা যুক্ত করতে হবে যে:

- কোনটি ব্যর্থ

- ব্যর্থতা মাত্র 1

এই ক্ষেত্রে বিতরণের প্যারামিটার μ

125 = 8 + 2 = 10 টি 125 ঘন্টা মধ্যে ব্যর্থতা।

পি (3 বা ততোধিক উপাদান ব্যর্থ) = 1- পি (0) - পি (1) - পি (2) =

তথ্যসূত্র

1. MathWorks। পোয়েসন বিতরণ। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.mathworks.com থেকে
2. মেনডেনহল, ডাব্লু। 1981. পরিচালনা ও অর্থনীতি সম্পর্কিত পরিসংখ্যান। 3 য়। সংস্করণ। গ্রুপো সম্পাদকীয় Iberoamérica।
3. স্ট্যাট ট্রেক নিজেকে পরিসংখ্যান শেখান ch পয়সন বিতরণ। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: স্ট্যাট্রিক ডটকম,
4. ট্রিওলা, এম। 2012. প্রাথমিক পরিসংখ্যান। 11 তম। এড। পিয়ারসন এডুকেশন
5. উইকিপিডিয়া। পোয়েসন বিতরণ। পুনরুদ্ধার: en.wikedia.org থেকে