গাণিতিক প্রত্যাশা: সূত্র, বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ, অনুশীলন - দুদাস - 2025

গাণিতিক প্রত্যাশা বা দৈব চলক X- প্রত্যাশিত মান, ই (এক্স) হিসেবে চিহ্নিত করা হয় এবং একটি র্যান্ডম ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা বললেন ইভেন্টের মানের মধ্যে পণ্যের সমষ্টি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

গাণিতিক আকারে এটি নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশিত হয়:

চিত্র 1. গাণিতিক প্রত্যাশাটি শেয়ারবাজারে এবং বীমাগুলিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। সূত্র: পিক্সাবে।

যেখানে x _i হ'ল ইভেন্টের মান এবং পি (x _i) এর ঘটনার সম্ভাবনা prob এক্স সম্মতিযুক্ত সমস্ত মানগুলির উপরে সমষ্টিটি প্রসারিত করে And এবং যদি এগুলি সীমাবদ্ধ হয় তবে নির্দেশিত যোগফলটি E (X) মানের সাথে রূপান্তর করে তবে যদি যোগফলটি রূপান্তর না করে, তবে ভেরিয়েবলটির কেবল কোনও প্রত্যাশিত মান থাকে না।

যখন এটি একটি অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীল এক্স হয়, ভেরিয়েবলের অসীম মান থাকতে পারে এবং সংহতগুলি প্রতিস্থাপন করে ইন্টিগ্রালগুলি:

এখানে f (x) সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন উপস্থাপন করে।

সাধারণভাবে, গাণিতিক প্রত্যাশা (যা একটি ওজনযুক্ত গড়) গাণিতিক গড় বা গড়ের সমান হয় না, যদি না আমরা বিচ্ছিন্ন বিতরণগুলিতে কাজ করি যেখানে প্রতিটি ঘটনা সমানভাবে সম্ভাব্য is তারপরে এবং কেবল তখনই:

যেখানে এন সম্ভাব্য মানের সংখ্যা।

আর্থিক বাজার এবং বীমা সংস্থাগুলিতে ধারণাটি খুব কার্যকর, যেখানে প্রায়শই নিশ্চিততা থাকে তবে সম্ভাবনা থাকে exist

গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য

গাণিতিক প্রত্যাশার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে নিম্নলিখিতগুলি দাঁড় করায়:

- সাইন: এক্সটি যদি ইতিবাচক হয় তবে ই (এক্স)টিও ইতিবাচক হবে।

- একটি ধ্রুবকের প্রত্যাশিত মান: একটি আসল ধ্রুবক কে এর প্রত্যাশিত মান ধ্রুবক।

- যোগফলের ক্ষেত্রে লৈখিকতা: একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা যা দুটি ভেরিয়েবলের যোগফল এবং X এবং Y এর প্রত্যাশার যোগফল।

ই (এক্স + ওয়াই) = ই (এক্স) + ই (ওয়াই)

- একটি ধ্রুবক দ্বারা গুণ: যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি কেএক্স ফর্মের হয়, যেখানে কে একটি ধ্রুবক (আসল সংখ্যা) হয়, তবে এটি প্রত্যাশিত মানের বাইরে আসে।

- ভেরিয়েবলের মধ্যে পণ্যের প্রত্যাশার মান এবং স্বতন্ত্রতা: যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির এক্স এবং ওয়াইয়ের উত্পাদন, যা স্বতন্ত্র হয়, তবে পণ্যের প্রত্যাশিত মানটি প্রত্যাশিত মানগুলির পণ্য।

সাধারণভাবে, যদি Y = g (এক্স):

- প্রত্যাশিত মান অনুসারে অর্ডার করুন: যদি এক্স ≤ ওয়াই, তবে:

যেহেতু তাদের প্রত্যেকের প্রত্যাশিত মান রয়েছে।

পণের ক্ষেত্রে গাণিতিক প্রত্যাশা

বিখ্যাত জ্যোতির্বিদ ক্রিশ্চিয়ান হিউজেনস (1629-1695) যখন আকাশকে পর্যবেক্ষণ করছেন না, তখন তিনি সুযোগের গেমগুলির সম্ভাবনা অন্যান্য শাখাগুলির মধ্যে পড়াশোনার জন্য নিজেকে নিবেদিত করেছিলেন। তিনিই তাঁর 1656 রচনায় গাণিতিক আশার ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন: সুযোগের খেলাগুলির বিষয়ে যুক্তিযুক্ত।

চিত্র 2. খ্রিস্টিয়ান হিউজেনস (1629-1625) একজন উজ্জ্বল এবং বহুমুখী বিজ্ঞানী, যার কাছে আমরা প্রত্যাশিত মান ধারণার ণী।

হিউজেনস আবিষ্কার করেছেন যে প্রত্যাশিত মানের উপর ভিত্তি করে বেটগুলি তিনভাবে শ্রেণিবদ্ধ করা যেতে পারে:

সুবিধা সহ গেমস: ই (এক্স)> 0

- ফেয়ার বেটস: ই (এক্স) = 0

কোনও অসুবিধায় খেলুন: ই (এক্স) <0

সমস্যাটি হ'ল সুযোগের খেলায় গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করা সবসময় সহজ হয় না। এবং যখন আপনি পারেন, ফলাফল কখনও কখনও তাদের জন্য হতাশাব্যঞ্জক যারা বাজি ধরবেন কিনা তা অবাক করে।

আসুন একটি সহজ বেট চেষ্টা করুন: মাথা বা লেজ এবং হারা একটি $ 1 কফি প্রদান করে। এই বাজিটির প্রত্যাশিত মান কী?

ভাল, একটি মাথা ঘূর্ণিত হওয়ার সম্ভাবনা ½, একটি লেজ সমান। এলোমেলো পরিবর্তনশীলটি হ'ল $ 1 লাভ করতে বা lose 1 হারাতে হবে, লাভটি + চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং চিহ্নটি দ্বারা ক্ষতি -।

আমরা তথ্য একটি টেবিলে সংগঠিত করি:

আমরা কলামগুলির মানগুলি গুণ করি: 1. ½ = ½ এবং (-1)। ½ = -½ এবং অবশেষে ফলাফল যুক্ত করা হয়। যোগফল 0 এবং এটি একটি ন্যায্য খেলা, এতে অংশগ্রহণকারীরা না জিততে হবে এবং না হারাবে বলে আশা করা হচ্ছে।

ফরাসি রুলেট এবং লটারি হ্যান্ডিক্যাপ গেম যা বেশিরভাগ বেটের হেরে যায়। পরে সমাধান ব্যায়াম বিভাগে কিছুটা আরও জটিল বাজি রয়েছে।

উদাহরণ

এখানে কয়েকটি সাধারণ উদাহরণ রয়েছে যেখানে গাণিতিক প্রত্যাশার ধারণাটি স্বজ্ঞাত এবং ধারণাটি স্পষ্ট করে:

উদাহরণ 1

আমরা একটি সৎ ডাই রোলিং দ্বারা শুরু করব। লঞ্চটির প্রত্যাশিত মান কত? ঠিক আছে, ডাই যদি সত্যবাদী হয় এবং এর 6 টি মাথা থাকে তবে কোনও মান (এক্স = 1, 2, 3… 6) রোল হওয়ার সম্ভাবনাটি 1/6, এর মতো:

ই (এক্স) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. ((1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5

চিত্র 3. একটি সৎ মৃত্যুর রোল মধ্যে, প্রত্যাশিত মান একটি সম্ভাব্য মান নয়। সূত্র: পিক্সাবে।

এই ক্ষেত্রে প্রত্যাশিত মান গড়ের সমান, যেহেতু প্রতিটি মুখের বের হওয়ার সম্ভাবনা একই রকম। তবে ই (এক্স) কোনও সম্ভাব্য মান নয়, যেহেতু কোনও মাথা 3.5 এর মূল্যবান নয়। কিছু বিতরণে এটি পুরোপুরি সম্ভব, যদিও এই ক্ষেত্রে ফলাফল bettor বেশি সাহায্য করে না।

দুটি মুদ্রার টস দিয়ে অন্য উদাহরণটি দেখুন।

উদাহরণ 2

দুটি সৎ মুদ্রা বাতাসে নিক্ষেপ করা হয় এবং আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সকে ঘূর্ণিত মাথাগুলির সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি। ঘটতে পারে ঘটনাগুলি নিম্নলিখিত:

কোনও মাথা আসে না: 0 মাথা যা 2 টি লেজের সমান হয়।

এটি 1 মাথা এবং 1 স্ট্যাম্প বা লেজ বেরিয়ে আসে।

-দু মুখ বেরিয়ে আসে।

সিটিকে প্রধান হতে এবং একটি সীলমোহর হতে দিন, এই ইভেন্টগুলির বর্ণনা দেয় এমন নমুনা স্থানটি নিম্নলিখিত:

এস _এম = {সিল-সিল; Seal-মুখ; মুখ সীল; মুখ-মুখ} = {টিটি, টিসি, সিসি, সিসি}

ঘটনার সম্ভাবনাগুলি হ'ল:

পি (এক্স = 0) = পি (টি)। পি (টি) = ½। ½ = ¼

পি (এক্স = 1) = পি (টিসি) + পি (সিটি) = পি (টি)। পি (সি) + পি (সি)। পি (টি) = ¼ + ¼ = ½

পি (এক্স = 2) = পি (সি)। পি (সি) = ½। ½ = ¼

প্রাপ্ত মানগুলি দিয়ে টেবিলটি তৈরি করা হয়েছে:

শুরুতে প্রদত্ত সংজ্ঞা অনুসারে, গাণিতিক প্রত্যাশা হিসাবে গণনা করা হয়:

বিকল্প মান:

E (এক্স) = 0. ¼ + 1. 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

এই ফলাফলটি নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা হয়েছে: যদি কোনও ব্যক্তির দুটি কয়েন টস করে প্রচুর পরিমাণে পরীক্ষা-নিরীক্ষার জন্য পর্যাপ্ত সময় থাকে তবে তিনি প্রতিটি টসে মাথা পেতে আশা করেন।

তবে, আমরা জানি যে 2 টি লেবেল সহ রিলিজ পুরোপুরি সম্ভব।

অনুশীলনের সমাধান হয়েছে

দুটি সৎ কয়েনের টসে নিম্নলিখিত বাজিটি তৈরি করা হয়: যদি 2 মাথা বেরিয়ে আসে তবে আপনি $ 3 জিতবেন, যদি 1 মাথা বেরিয়ে আসে তবে আপনি $ 1 জিতেছেন, তবে দুটি স্ট্যাম্প বের হলে আপনাকে $ 5 দিতে হবে। বাটের প্রত্যাশিত জয়ের গণনা করুন।

চিত্র 4. বাজি উপর নির্ভর করে দুটি সৎ কয়েন টস করার সময় গাণিতিক প্রত্যাশা পরিবর্তন হয় changes সূত্র: পিক্সাবে।

সমাধান

এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স হল মানগুলি যা অর্থ বাজে নেয় এবং সম্ভাবনাগুলি পূর্ববর্তী উদাহরণে গণনা করা হত, সুতরাং বাজির টেবিলটি হ'ল:

ই (এক্স) = 3। ¼ + 1. ½ + (-5)। । = 0

প্রত্যাশিত মান 0 হওয়ায় এটি ন্যায্য খেলা, সুতরাং এখানে বেতারটি জিতবে না এবং হারাবে না আশা করা যায়। তবে বাজিটিকে একটি প্রতিবন্ধকতা খেলা বা একটি প্রতিবন্ধী গেম হিসাবে তৈরি করতে বাজির পরিমাণ পরিবর্তন করা যেতে পারে।

তথ্যসূত্র

1. ব্রাস, সি। 2009. বোধগম্য পরিসংখ্যান। হাউটন মিফলিন
2. ওলমেডো, এফ। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান বা গাণিতিক প্রত্যাশার ধারণাটির পরিচিতি। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: personal.us.es।
3. পরিসংখ্যান LibreTexts। বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: stats.libretexts.org।
4. ট্রিওলা, এম। 2010. প্রাথমিক পরিসংখ্যান। 11 তম। অ্যাড। অ্যাডিসন ওয়েসলি
5. ওয়ালপোল, আর। 2007. বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল জন্য সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান। 8 ম। সংস্করণ। পিয়ারসন শিক্ষা.