স্বতন্ত্র ঘটনা: বিক্ষোভ, উদাহরণ, অনুশীলন - দুদাস - 2025

দুটি ঘটনা স্বতন্ত্র, যখন তাদের মধ্যে একটির সম্ভাবনা থাকে তবে এই ঘটনাটি এলোমেলোভাবে ঘটেছিল তা বিবেচনা করে অন্য ঘটনা ঘটে বা ঘটে না- এই বিষয়টি দ্বারা প্রভাবিত হয় না।

এই পরিস্থিতিটি ঘটে যখনই ইভেন্ট 1 এর ফলাফল তৈরি করে এমন প্রক্রিয়া, ইভেন্ট 2 এর সম্ভাব্য ফলাফলগুলির সম্ভাবনাটি কোনওভাবেই পরিবর্তন করে না But তবে এটি যদি ঘটে না, তবে ঘটনাটি নির্ভরশীল বলে মনে করা হয়।

চিত্র 1. রঙিন মার্বেলগুলি প্রায়শই স্বাধীন ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতা বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। সূত্র: পিক্সাবে।

একটি স্বতন্ত্র ইভেন্টের পরিস্থিতি নিম্নরূপ: ধরুন দুটি ছয়-পক্ষীয় পাশা ঘূর্ণিত হয়, একটি নীল এবং অন্যটি গোলাপী। 1 জন নীল ডাইতে রোল দেবে এমন সম্ভাবনাটি গোলাপী ডাইয়ের উপরে 1 রোল-রোল করবে না এমন সম্ভাবনার থেকে স্বাধীন।

দুটি স্বতন্ত্র ইভেন্টের আর একটি ক্ষেত্রে পরপর দু'বার মুদ্রা ফেলে দেওয়া। প্রথম নিক্ষেপ ফলাফল দ্বিতীয় এবং তদ্বিপরীত ফলাফল উপর নির্ভর করবে না।

দুটি স্বাধীন ইভেন্টের প্রমাণ

দুটি ইভেন্ট স্বতন্ত্র তা যাচাই করার জন্য, আমরা অন্য ইভেন্টের সাথে সম্মানের সাথে একটি ইভেন্টের শর্তাধীন সম্ভাবনার ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করব। এর জন্য একচেটিয়া ইভেন্ট এবং অন্তর্ভুক্ত ইভেন্টগুলির মধ্যে পার্থক্য করা প্রয়োজন:

দুটি ইভেন্ট ইভেন্ট একচেটিয়া হয় যদি সম্ভাব্য মান বা ইভেন্টের উপাদানগুলির ইভেন্ট বি এর মান বা উপাদানগুলির সাথে কিছু মিল থাকে না are

সুতরাং দুটি স্বতন্ত্র ইভেন্টে, খ এর সাথে বি এর ছেদ সংক্রমণের সেটটি শূন্যস্থান:

ইভেন্টগুলি বাদ: A∩B = Ø Ø

বিপরীতে, ঘটনাগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকলে এটি ঘটতে পারে যে ইভেন্ট এ এর ​​ফলাফলও অন্য বি এর সাথে মিলে যায়, এ এবং বি এর সাথে বিভিন্ন ঘটনা ঘটে। এক্ষেত্রে:

অন্তর্ভুক্ত ইভেন্টগুলি: A∩B ≠ Ø

এটি আমাদের দুটি অন্তর্ভুক্ত ইভেন্টের শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞা দিতে পরিচালিত করে, অন্য কথায়, ইভেন্ট এ সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা, যখনই ইভেন্ট বি ঘটে:

পি (A¦B) = পি (A∩B) / পি (বি)

সুতরাং, শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা হ'ল বি এবং বি দ্বারা বিভক্ত হওয়ার সম্ভাবনাটি বি দ্বারা সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা।

পি (B¦A) = পি (A∩B) / পি (এ)

দুটি ঘটনা স্বাধীন কিনা তা জানতে মানদণ্ড

এরপরে আমরা তিনটি ঘটনা স্বাধীন কিনা তা জানার জন্য তিনটি মানদণ্ড দেব। এটি যথেষ্ট যে তিনটির মধ্যে একটি পূরণ হয়েছে, যাতে ইভেন্টগুলির স্বতন্ত্রতা প্রদর্শন করা হয়।

1.- যদি বি এর যখনই দেখা দেয় তখন সম্ভাব্যতা A এর সম্ভাবনার সমান হয়, তবে সেগুলি স্বাধীন ঘটনা:

P (A¦B) = P (A) => A খ এর থেকে স্বতন্ত্র

২- যদি বি প্রদত্ত সম্ভাবনাটি A কে দেওয়া হয়, তবে বি এর সম্ভাবনার সমান হয়, তবে এখানে স্বাধীন ঘটনা রয়েছে:

পি (বিএএ) = পি (বি) => বি এ এর ​​থেকে পৃথক

৩.- যদি A এবং B হওয়ার সম্ভাবনা থাকে তবে A এর যে সম্ভাবনা থাকে এবং তার সম্ভাবনা বি এর সমান হয় তবে সেগুলি স্বাধীন ঘটনা। কনভার্সটিও সত্য।

পি (এএবিবি) = পি (এ) পি (বি) <=> এ এবং বি স্বতন্ত্র ঘটনা।

স্বতন্ত্র ঘটনাগুলির উদাহরণ

দুটি ভিন্ন সরবরাহকারী দ্বারা উত্পাদিত রাবার সোলগুলি তুলনা করা হয়। প্রতিটি প্রস্তুতকারকের কাছ থেকে প্রাপ্ত নমুনাগুলি বেশ কয়েকটি পরীক্ষার মুখোমুখি হয় যা থেকে এটি সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় যে সেগুলি নির্দিষ্টকরণের মধ্যে রয়েছে কিনা।

চিত্র 2. রাবার সোলগুলি বিভিন্ন। সূত্র: পিক্সাবে।

252 নমুনার ফলাফলের সংক্ষিপ্তসার নিম্নরূপ:

প্রস্তুতকারক 1; 160 স্পেসিফিকেশন পূরণ; 8 নির্দিষ্টকরণের সাথে মেলে না।

প্রস্তুতকারক 2; 80 স্পেসিফিকেশন পূরণ; 4 নির্দিষ্টকরণের সাথে মেলে না।

ইভেন্ট এ: "নমুনাটি প্রস্তুতকারক 1 এর"।

ইভেন্ট বি: "যে নমুনা স্পেসিফিকেশন পূরণ করে।"

আমরা জানতে চাই যে এই ইভেন্টগুলি এ এবং বি স্বতন্ত্র কিনা বা না, যার জন্য আমরা পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত তিনটি মানদণ্ডের মধ্যে একটি প্রয়োগ করি।

মানদণ্ড: পি (বিএএ) = পি (বি) => বি এ এর ​​থেকে পৃথক

পি (বি) = 240/252 = 0.9523

পি (বিএএ) = পি (এ ⋂ বি) / পি (এ) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

উপসংহার: ইভেন্ট এ এবং বি স্বতন্ত্র।

ধরুন ইভেন্ট সি: "যে নমুনাটি প্রস্তুতকারক 2 থেকে আসে"

ইভেন্ট বি কি ইভেন্ট সি থেকে স্বাধীন হবে?

আমরা একটি মানদণ্ড প্রয়োগ করি।

মানদণ্ড: পি (বিসিসি) = পি (বি) => বি সি এর চেয়ে স্বতন্ত্র

পি (বিসিসি) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = পি (বি)

সুতরাং, উপলভ্য ডেটার ভিত্তিতে, এলোমেলোভাবে নির্বাচিত রাবার একমাত্র নির্দিষ্টকরণের যে সম্ভাবনা থাকে তা প্রস্তুতকারকের থেকে পৃথক।

একটি স্বতন্ত্র ইভেন্টকে একটি নির্ভরশীল ইভেন্টে রূপান্তর করুন

নির্ভরশীল এবং স্বাধীন ইভেন্টগুলির মধ্যে পার্থক্য করার জন্য নীচের উদাহরণটি দেখুন look

দুটি সাদা চকোলেট বল এবং দুটি কালো বল সহ আমাদের একটি ব্যাগ রয়েছে। প্রথমবারে একটি সাদা বল বা একটি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা সমান।

ধরুন ফলাফলটি কিউ বল ছিল। যদি টানা বলটি ব্যাগে প্রতিস্থাপন করা হয়, তবে আসল পরিস্থিতি পুনরাবৃত্তি হয়: দুটি সাদা বল এবং দুটি কালো বল।

সুতরাং দ্বিতীয় ইভেন্টে বা ড্রতে, কিউ বল বা একটি কালো বল আঁকার সম্ভাবনা প্রথমবারের মতো। তারা তাই স্বাধীন ঘটনা।

তবে যদি প্রথম ইভেন্টে আঁকা কি বলটি প্রতিস্থাপন না করা হয় কারণ আমরা এটি খেয়েছি, দ্বিতীয় ড্রতে একটি কালো বল আঁকার সম্ভাবনা বেশি থাকে। দ্বিতীয় নিষ্কাশন আবার সাদা প্রাপ্ত হওয়ার সম্ভাবনা প্রথম ইভেন্টের থেকে পৃথক এবং পূর্ববর্তী ফলাফল দ্বারা শর্তযুক্ত।

অনুশীলন

- অনুশীলনী 1

একটি বাক্সে আমরা চিত্রের 1 টি 10 ​​মার্বেল রেখেছি যার মধ্যে 2 টি সবুজ, 4 টি নীল এবং 4 টি সাদা। দুটি মার্বেল এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হবে, একটি প্রথমে এবং পরে একটি।

নিম্নলিখিত শর্তে এগুলির কোনওটিই নীল নয় এমন সম্ভাবনা খুঁজে বের করতে বলা হয়:

ক) প্রতিস্থাপনের সাথে, দ্বিতীয় বাক্সে প্রথম মার্বেলটি বাক্সে ফিরিয়ে দেওয়া। তারা স্বতন্ত্র বা নির্ভরশীল ইভেন্ট কিনা তা নির্দেশ করুন।

খ) প্রতিস্থাপন ছাড়াই, এমনভাবে যাতে দ্বিতীয় মার্বেলটি দ্বিতীয় নির্বাচন করার সময় বাক্সের বাইরে বের করা হয়। একইভাবে, তারা নির্ভরশীল বা স্বতন্ত্র ঘটনা কিনা তা নির্দেশ করুন।

সমাধান

আমরা প্রথম মার্বেলটি বের করার সম্ভাবনাটি নীল নয় বলে গণনা করি, এটি নীল পি (এ), বা সরাসরি যে এটি নীল নয় এর সম্ভাবনা 1 মাইনাস, কারণ এটি সবুজ বা সাদা বেরিয়ে এসেছে:

পি (এ) = 4/10 = 2/5

পি (নীল হবে না) = 1 - (2/5) = 3/5

ও ভালো:

পি (সবুজ বা সাদা) = 6/10 = 3/5।

যদি তোলা মার্বেলটি ফিরে আসে তবে সবকিছু আগের মতো before এই দ্বিতীয় অঙ্কনে একটি 3/5 সম্ভাবনাও রয়েছে যে মার্বেল আঁকাটি নীল নয়।

পি (নীল নয়, নীল নয়) = (3/5)। (3/5) = 9/25।

ইভেন্টগুলি স্বতন্ত্র, যেহেতু উত্তোলিত মার্বেলটি বাক্সে ফিরে এসেছিল এবং প্রথম ইভেন্টটি দ্বিতীয়টির ঘটনার সম্ভাবনাটিকে প্রভাবিত করে না।

সমাধান খ

প্রথম নিষ্কাশন জন্য, পূর্ববর্তী বিভাগে হিসাবে এগিয়ে যান। এটি নীল নয় এমন সম্ভাবনা 3/5।

দ্বিতীয় উত্তোলনের জন্য আমাদের ব্যাগে 9 টি মার্বেল রয়েছে, যেহেতু প্রথমটি ফিরে আসেনি, তবে এটি নীল ছিল না, তাই ব্যাগে 9 টি মার্বেল রয়েছে এবং 5 টি নীল নয়:

পি (সবুজ বা সাদা) = 5/9।

পি (কোনওটি নীল নয়) = পি (প্রথম নীল নয়)। পি (দ্বিতীয় নীল নয় / প্রথম নীল নয়) = (3/5)। (5/9) = 1/3

এই ক্ষেত্রে এগুলি স্বাধীন ইভেন্ট নয়, যেহেতু প্রথম ইভেন্টের দ্বিতীয়টি শর্ত।

- অনুশীলন 2

একটি দোকানে তিনটি আকারের 15 টি শার্ট রয়েছে: 3 ছোট, 6 টি মাঝারি এবং 6 টি বড়। 2 টি শার্ট এলোমেলোভাবে নির্বাচিত হয়।

ক) নির্বাচিত উভয় শার্ট ছোট হওয়ার সম্ভাবনা কতটুকু, যদি প্রথমে নেওয়া হয় এবং লটে অন্যটি প্রতিস্থাপন না করে নেওয়া হয়?

খ) উভয় নির্বাচিত শার্ট ছোট হওয়ার সম্ভাবনা কতটুকু, যদি প্রথমটি টানা হয়, ব্যাচে প্রতিস্থাপন করা হয় এবং দ্বিতীয়টি আঁকা হয়?

সমাধান

এখানে দুটি ইভেন্ট রয়েছে:

ইভেন্ট এ: নির্বাচিত প্রথম শার্টটি ছোট

ইভেন্ট বি: দ্বিতীয় নির্বাচিত শার্টটি ছোট

A ইভেন্টটি হওয়ার সম্ভাবনাটি হ'ল: P (A) = 3/15

বি বি ইভেন্টটি হওয়ার সম্ভাবনাটি হ'ল: পি (বি) = ২/১৪, কারণ একটি শার্ট ইতিমধ্যে অপসারণ করা হয়েছে (১৪ টি রয়ে গেছে), তবুও, ইভেন্ট এ পূর্ণ হতে চায়, সরানো প্রথম শার্টটি অবশ্যই ছোট হতে হবে এবং তাই দুটোই ছোট

অর্থাৎ, এ এবং বি এর সম্ভাবনা হ'ল সম্ভাবনার পণ্যগুলি হ'ল:

পি (এ এবং বি) = পি (বিএএ) পি (এ) = (২/১৪) (৩/১৫) = 0.029

সুতরাং, ঘটনা A এবং B হওয়ার সম্ভাবনাটি হ'ল ইভেন্ট A এর যে পণ্যটি ঘটে তার সমান, ঘটনা A এর ঘটনা বি ঘটনার সম্ভাবনার দ্বিগুণ times

এটি লক্ষ করা উচিত যে:

পি (B¦A) = 2/14

ঘটনার বি ঘটনার সম্ভাব্যতা যা ঘটবে তা এ-এর ইভেন্ট এ ঘটবে তা বিবেচনা ছাড়াই:

পি (বি) = (২/১৪) প্রথমটি ছোট ছিল বা পি (বি) = ৩/১৪ প্রথমটি ছোট না হলে।

সাধারণভাবে, নিম্নলিখিতগুলি শেষ করা যেতে পারে:

P (B¦A) P (B) এর সমান নয় => B A এর সাথে স্বতন্ত্র নয়

সমাধান খ

আবার দুটি ঘটনা আছে:

ইভেন্ট এ: নির্বাচিত প্রথম শার্টটি ছোট

ইভেন্ট বি: দ্বিতীয় নির্বাচিত শার্টটি ছোট

পি (এ) = 3/15

মনে রাখবেন ফলাফল যাই হোক না কেন, ব্যাচ থেকে টানা শার্টটি প্রতিস্থাপন করা হয়েছে এবং আবার এলোমেলোভাবে একটি শার্ট আঁকানো হয়েছে। ঘটনা বি ঘটনার সম্ভাবনাটি হ'ল, যদি ইভেন্ট এ ঘটেছিল তা হ'ল:

পি (বিএএ) = 3/15

A এবং B এর ঘটনার সম্ভাবনা হ'ল:

পি (এ এবং বি) = পি (বিএএ) পি (এ) = (3/15) (3/15) = 0.04

মনে রাখবেন যে:

পি (বিএএ) পি এর সমান (বি) => বি এ এর ​​থেকে পৃথক is

- অনুশীলন 3

এ এবং বি দুটি স্বতন্ত্র ঘটনা বিবেচনা করুন এটি জানা যায় যে ঘটনা 'এ' হওয়ার সম্ভাবনাটি 0.2 এবং বি বি ইভেন্টটি হওয়ার সম্ভাবনা 0.3। উভয় ঘটনা ঘটে যাওয়ার সম্ভাবনা কী?

সমাধান 2

ঘটনাগুলি স্বতন্ত্র তা জেনেও জানা যায় যে উভয় ঘটনার যে সম্ভাবনা রয়েছে তা হ'ল ব্যক্তিগত সম্ভাবনার পণ্য। ঐটাই বলতে হবে, পি (এএবিবি) = পি (এ) পি (বি) = 0.2 * 0.3 = 0.06

মনে রাখবেন যে এটির সম্ভাবনার চেয়ে অনেক কম সম্ভাবনা যা প্রতিটি ঘটনা অপরের ফলাফল নির্বিশেষে ঘটবে। বা অন্য কোনও উপায় রাখুন, স্বতন্ত্র প্রতিকূলতার চেয়ে অনেক কম।

তথ্যসূত্র

1. বেরেনসন, এম। 1985. পরিচালনা ও অর্থনীতি সম্পর্কিত পরিসংখ্যান। ইন্টেরামেরিকানা এসএ 126-127।
2. মন্টেরেরি ইনস্টিটিউট। স্বাধীন ইভেন্টগুলির সম্ভাবনা। পুনরুদ্ধার: monterreyinst વિકલ્પ.org
3. গণিত শিক্ষক. স্বতন্ত্র ঘটনা। পুনরুদ্ধার: ইউটিউব ডটকম থেকে
4. Superprof। ইভেন্টের ধরণ, নির্ভরশীল ইভেন্ট। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: সুপারপ্রফেস
5. ভার্চুয়াল টিউটর। সম্ভাব্যতা. পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: ভিটুটোরি.ন.ট.
6. উইকিপিডিয়া। স্বাধীনতা (সম্ভাবনা)। পুনরুদ্ধার: উইকিপিডিয়া ডটকম থেকে