বহুবর্ষের ডিগ্রি: এটি কীভাবে নির্ধারণ করা যায়, উদাহরণ এবং অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি বহুপদী ডিগ্রী একটি পরিবর্তনশীল শব্দটি সর্বাধিক এক্সপোনেন্ট আছে দেওয়া হয়, এবং যদি বহুপদী দুই বা ততোধিক ভেরিয়েবল আছে, তারপর ডিগ্রী প্রতিটি মেয়াদের বহিঃপ্রকাশ এর সমষ্টি দ্বারা নির্ধারিত হয়, বৃহত্তর সমষ্টি ডিগ্রী হচ্ছে বহুপদী

আসুন দেখি কীভাবে ব্যবহারিক উপায়ে বহুবর্ষের ডিগ্রি নির্ধারণ করা যায়।

চিত্র ১. আইনস্টাইনের শক্তির জন্য বিখ্যাত সমীকরণটি ভেরিয়েবল ভরগুলির জন্য পরম ডিগ্রি 1 এর একক চিহ্ন যা এম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেহেতু আলোর গতির গতি স্থির হিসাবে বিবেচিত হয়। সূত্র: পাইকসেলস।

ধরুন বহুপদী পি (x) = -5x + 8x ³ + 7 - 4x ² । এই বহুপদী একটি পরিবর্তনশীল, এক্ষেত্রে এটি পরিবর্তনশীল এক্স। এই বহুবর্ষে কয়েকটি শর্ত রয়েছে, যা নিম্নলিখিত:

আর এখন কী ঘটছে? উত্তর 3। সুতরাং পি (এক্স) 3 ডিগ্রির বহুবচন হয়।

যদি প্রশ্নের বহুপদী একাধিক পরিবর্তনশীল থাকে তবে ডিগ্রিটি হতে পারে:

-Absolute

- একটি পরিবর্তনশীল সঙ্গে সম্পর্ক

শুরুতে বর্ণিত হিসাবে পরম ডিগ্রিটি পাওয়া যায়: প্রতিটি পদটির প্রকাশক যুক্ত করে এবং বৃহত্তমটি নির্বাচন করে।

পরিবর্তে, ভেরিয়েবল বা বর্ণগুলির মধ্যে একটিতে সম্মানের সাথে বহুবর্ষের ডিগ্রি হ'ল চিঠির ব্যয়কারীর বৃহত্তম মান। নিম্নলিখিত বিভাগগুলিতে উদাহরণ এবং সমাধান ব্যায়ামগুলি দিয়ে বিষয়টি স্পষ্ট হয়ে উঠবে।

বহুবর্ষের ডিগ্রির উদাহরণ

পলিনোমিয়ালগুলি ডিগ্রি দ্বারা শ্রেণিবদ্ধ করা যেতে পারে, প্রথম ডিগ্রি, দ্বিতীয় ডিগ্রি, তৃতীয় ডিগ্রি এবং এমন হতে সক্ষম হতে পারে। চিত্র 1-এ উদাহরণস্বরূপ, শক্তি ভরগুলির জন্য প্রথম ডিগ্রি মনমিয়াল।

এটিও লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে একটি বহুবচন রয়েছে এমন পদগুলির সংখ্যা ডিগ্রি প্লাস 1 এর সমান। সুতরাং:

-প্রথম ডিগ্রি বহুবচনগুলির 2 টি পদ রয়েছে: একটি ₁ x + a _ও a

-দ্বিতীয় ডিগ্রি বহুবচনটির 3 টি পদ রয়েছে: একটি ₂ x ² + a ₁ x + a _ও

-এ তৃতীয় ডিগ্রি বহুবর্ষের 4 টি পদ রয়েছে: একটি ₃ x ³ + a ₂ x ² + a ₁ x + a _বা

ইত্যাদি। সাবধানী পাঠক লক্ষ করেছেন যে পূর্ববর্তী উদাহরণগুলিতে বহুবৈচিত্র্য হ্রাসমান আকারে রচিত হয়েছে, অর্থাত্ শব্দটিকে প্রথমে সর্বাধিক ডিগ্রি প্রদান করে।

নিম্নলিখিত সারণিতে একাধিক ভেরিয়েবল এবং তাদের স্বতন্ত্র পরম ডিগ্রি উভয়ই বিভিন্ন বহুভিত্তিকে দেখায়:

টেবিল 1. বহুবচন এবং তাদের ডিগ্রির উদাহরণ

বহুপদ	ডিগ্রী
3x 4 + 5x 3 -2x + 3	4
7x 3 -2x 2 + 3x-6	3
6	0
এক্স -1	এক
x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2	6
3x 3 এবং 5 + 5x 2 এবং 4 - 7xy 2 + 6	8

সর্বশেষ দুটি বহুপদী একাধিক পরিবর্তনশীল আছে। এর মধ্যে সর্বাধিক পরম ডিগ্রি সহ শব্দটি উচ্চারণে হাইলাইট করা হয়েছে, যাতে পাঠক দ্রুত ডিগ্রিটি পরীক্ষা করতে পারেন। এটি মনে রাখা জরুরী যে যখন ভেরিয়েবলের কোনও লিখিত ঘাঁটি থাকে না, তখন বোঝা যায় যে বলা হয়েছে এক্সপোঞ্জেনটি 1 এর সমান।

উদাহরণস্বরূপ, হাইলাইটেড টার্ম ab ³ x ^{2 এ} তিনটি ভেরিয়েবল রয়েছে: এ, বি এবং এক্স। এই শব্দটিতে, একটি 1-তে উত্থাপিত হয়, তা হল:

a = a ¹

অতএব অ্যাব ³ এক্স ² = এ ¹ বি ³ এক্স ²

যেহেতু খ এর পরিসীমা 3 এবং x এর 2 হয়, এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে এই পদটির ডিগ্রি হ'ল:

1 + 3 + 2 = 6

Y হ'ল বহুত্বের পরম ডিগ্রি, যেহেতু অন্য কোনও পদেই উচ্চতর ডিগ্রি নেই।

বহুবচন নিয়ে কাজ করার পদ্ধতি

বহুবর্ষের সাথে কাজ করার সময়, এটির ডিগ্রিটির দিকে মনোযোগ দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু প্রথম এবং কোনও অপারেশন করার আগে, এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করা সুবিধাজনক, যেখানে ডিগ্রিটি খুব গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সরবরাহ করে:

কমে যাওয়া দিকে অগ্রাধিকারের বহুপদী অর্ডার দিন। সুতরাং, সর্বোচ্চ ডিগ্রি সহ শব্দটি বামদিকে এবং সর্বনিম্ন ডিগ্রি সহ শব্দটি ডানদিকে থাকে।

শর্তগুলির মতো হ্রাস করুন, এমন একটি পদ্ধতি যা অভিব্যক্তিতে একই ভেরিয়েবল এবং ডিগ্রির সমস্ত শর্ত বীজগণিতের সাথে যুক্ত করে।

-যদি প্রয়োজন হয়, বহুপদীগুলি সম্পন্ন হয়, এমন পদগুলি সন্নিবেশ করানো হয় যার সহগের সাথে 0 হয়, যদি কোনও ঘাতকের সাথে শর্তাবলী অনুপস্থিত থাকে।

একটি বহুভুজ অর্ডার করুন, হ্রাস করুন এবং সম্পূর্ণ করুন

বহুবর্ষীয় পি (x) = 6x ² - 5x ⁴ - 2x + 3x + 7 + 2x ⁵ - 3x ³ + x ⁷ -12, এটি এটিকে অবতরণ ক্রমে অর্ডার করতে, অনুরূপ পদগুলি হ্রাস করতে, যদি থাকে তবে এবং অনুপস্থিত শর্তাবলী সম্পূর্ণ করতে বলা হয়। সঠিক যদি।

প্রথম সন্ধানকারী জিনিসটি হ'ল বৃহত্তম ব্যয়কারীর সাথে শব্দটি, যা বহুপথের ডিগ্রি, যা পরিণত হয়:

এক্স ⁷

সুতরাং পি (এক্স) ডিগ্রি 7 হয়। তারপর বহির্মুখী আদেশ করা হয়, বাম দিক দিয়ে এই শব্দটি শুরু করে:

পি (x) = x ⁷ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² - 2x + 3x + 7 -12

এখন এর মতো পদগুলি হ্রাস পেয়েছে, যা নিম্নলিখিত: - একদিকে 2x এবং 3x। এবং অন্যদিকে 7 এবং -12। এগুলি হ্রাস করতে, গুণফলগুলি বীজগণিতভাবে যুক্ত করা হয় এবং ভেরিয়েবলটি অপরিবর্তিত রেখে দেওয়া হয় (যদি ভেরিয়েবলটি সহগের পাশে উপস্থিত না হয় তবে মনে রাখবেন যে x ⁰ = 1):

-2x + 3x = এক্স

7 -12 = -5

পি (এক্স) এ এই ফলাফলগুলি প্রতিস্থাপন করুন:

পি (x) = x ⁷ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² + এক্স -5

এবং অবশেষে বহুলোকটি পরীক্ষা করে দেখা হয় যে কোনও বেআইনী অনুপস্থিত রয়েছে এবং প্রকৃতপক্ষে, এমন একটি পদ যার প্রকাশক 6 জন অনুপস্থিত রয়েছে, তাই এটি এই জাতীয় শূন্যের সাথে সম্পন্ন হয়েছে:

পি (x) = x ⁷ + 0x ⁶ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² + এক্স - 5

এখন দেখা গেছে যে বহুবচনটি 8 টি পদ দিয়ে বাকি ছিল, যেহেতু আগেই বলা হয়েছে, পদগুলির সংখ্যা ডিগ্রি + 1 সমান।

বহুফলের ডিগ্রির গুরুত্ব এবং বিয়োগফলের গুরুত্ব

বহুবর্ষের সাহায্যে আপনি সংযোজন এবং বিয়োগ অপারেশন সম্পাদন করতে পারেন, যার মধ্যে কেবল মত পদগুলি যুক্ত বা বিয়োগ করা হয়, যা একই ভেরিয়েবল এবং একই ডিগ্রি সহ। যদি মত শর্তাবলী না থাকে তবে যোগ বা বিয়োগটি কেবল সূচিত হয়।

সংযোজন বা বিয়োগফল একবার সম্পাদিত হয়ে গেলে, শেষোক্তটি বিপরীতের যোগফল হয়, ফলস্বরূপ বহুবর্ষের ডিগ্রি সর্বদা সর্বাধিক ডিগ্রি যোগ করার ডিগ্রির চেয়ে সমান বা কম থাকে।

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলন সমাধান 1

নিম্নলিখিত যোগফলটি সন্ধান করুন এবং এর পরম ডিগ্রি নির্ধারণ করুন:

a ³ - 8ax ² + x ³ + 5a ² x - 6ax ² - এক্স ³ + 3 এ ³ - 5 এ ² এক্স - এক্স ³ + এ ³ + 14ax ² - এক্স ³

সমাধান

এটি দুটি ভেরিয়েবলের সাথে বহুপদী, সুতরাং এটির মতো পদগুলি হ্রাস করা সুবিধাজনক:

a ³ - 8ax ² + x ³ + 5a ² x - 6ax ² - x ³ + 3a ³ - 5 এ ² এক্স - এক্স ³ + এ ³ + 14ax ² - এক্স ³ =

= a ³ + 3a ³ + a ³ - 8ax ² - 6ax ² + 14ax ² + 5 এ ² এক্স - 5 এ ² এক্স + এক্স ³ - এক্স ³ - এক্স ³ - এক্স ³ =

= 5 এ ³ - ² এক্স ³

উভয় পদ প্রতিটি পরিবর্তনশীল 3 ডিগ্রি হয়। সুতরাং বহুবর্ষের পরম ডিগ্রি 3 হয়।

- ব্যায়াম সমাধান 2

নিম্নলিখিত বিমানের জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফলকে বহুপদী (চিত্র 2 বাম) হিসাবে প্রকাশ করুন। ফলস্বরূপ বহুবর্ষের ডিগ্রি কত?

চিত্র 2. বামদিকে, সমাধান করা অনুশীলনের জন্য চিত্র 2 এবং ডানদিকে একই চিত্রটি তিনটি ক্ষেত্রে পচে গেছে যার অভিব্যক্তি জানা গেছে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সমাধান

যেহেতু এটি একটি অঞ্চল, ফলস্বরূপ বহুভুজটি অবশ্যই ভেরিয়েবল এক্সের 2 ডিগ্রি হতে হবে। এই অঞ্চলের জন্য উপযুক্ত অভিব্যক্তি নির্ধারণের জন্য, চিত্রটি পরিচিত অঞ্চলে পচে যায়:

একটি আয়তক্ষেত্র এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে: বেস x উচ্চতা এবং বেস x উচ্চতা / 2

এ ₁ = এক্স 3x = 3x ²; এ ₂ = 5। x = 5x; এ ₃ = 5। (2x / 2) = 5x

দ্রষ্টব্য: ত্রিভুজের ভিত্তি 3x - x = 2x এবং এর উচ্চতা 5।

এখন প্রাপ্ত তিনটি এক্সপ্রেশন যুক্ত করা হয়েছে, এর সাথে আমাদের এক্স এর ক্রিয়া হিসাবে চিত্রটির ক্ষেত্রফল রয়েছে:

3x ² + 5x + 5x = 3x ² + 10x

তথ্যসূত্র

1. বালডোর, এ। 1974. প্রাথমিক বীজগণিত। সাংস্কৃতিক ভেনিজোলানা এসএ
2. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
3. উইকিবই। Polynomials। থেকে উদ্ধার: এস। wikibooks.org।
4. উইকিপিডিয়া। ডিগ্রি (বহুপদী) উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia
5. জিল, ডি 1984. বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। ম্যাক গ্রু হিল