স্বাধীনতার ডিগ্রি: সেগুলি কীভাবে গণনা করা যায়, প্রকার, উদাহরণ - দুদাস - 2025

স্বাধীন ডিগ্রীগুলির পরিসংখ্যানে একটি র্যান্ডম ভেক্টরের স্বাধীন উপাদান সংখ্যা আছে। যদি ভেক্টরের n উপাদান থাকে এবং এর উপাদানগুলি সম্পর্কিত পি লিনিয়ার সমীকরণ থাকে তবে স্বাধীনতার ডিগ্রি এনপি হয়।

তাত্ত্বিক যান্ত্রিকগুলিতে স্বাধীনতার ডিগ্রিগুলির ধারণাটিও উপস্থিত হয়, যেখানে তারা কণা সঞ্চালিত হয় এমন স্থানের মাত্রার সমান, বন্ডের সংখ্যা বিয়োগ করে।

চিত্র 1. একটি দুল দুটি মাত্রায় চলে আসে, তবে এটির কেবলমাত্র এক ডিগ্রি স্বাধীনতা থাকে কারণ এটি এল রেডিয়াসের একটি চাপকে স্থানান্তরিত করতে বাধ্য হয় Source উত্স: এফ জাপাটা।

এই নিবন্ধটি পরিসংখ্যানগুলিতে প্রয়োগ করা স্বাধীনতার ডিগ্রিগুলির ধারণা নিয়ে আলোচনা করবে তবে একটি যান্ত্রিক উদাহরণ জ্যামিতিক আকারে ভিজ্যুয়ালাইজ করা সহজ।

স্বাধীনতার ডিগ্রি প্রকার

এটি যে প্রসঙ্গে প্রয়োগ করা হয়েছে তার উপর নির্ভর করে, স্বাধীনতার ডিগ্রি সংখ্যা গণনা করার উপায় পৃথক হতে পারে তবে অন্তর্নিহিত ধারণাটি সর্বদা এক রকম: মোট মাত্রাগুলি কম সীমাবদ্ধতার সংখ্যা।

যান্ত্রিক ক্ষেত্রে

আসুন আমরা একটি স্ট্রিং (একটি দুল) এর সাথে বাঁধা একটি দোলক কণা বিবেচনা করি যা উল্লম্ব Xy সমতল (2 মাত্রা) এ চলে। তবে কণাটি স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্যের সমান ব্যাসার্ধের পরিধির দিকে যেতে বাধ্য হয়।

যেহেতু কণা কেবল সেই বক্ররেখাতে অগ্রসর হতে পারে, তাই মুক্তির ডিগ্রির সংখ্যা 1। এটি চিত্র 1 এ দেখা যায়।

স্বাধীনতার ডিগ্রি সংখ্যা গণনা করার উপায় হ'ল পরিমিতির সংখ্যার বিয়োগের সীমাবদ্ধতার সংখ্যার পার্থক্য নিয়ে:

স্বাধীনতার ডিগ্রি: = 2 (মাত্রা) - 1 (লিগচার) = 1

আরেকটি ব্যাখ্যা যা আমাদের ফলাফলটিতে আসতে দেয় তা হল:

-আমরা জানি যে দুটি মাত্রায় অবস্থানটি স্থানাঙ্কের একটি বিন্দু (x, y) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

- তবে যেহেতু বিন্দুটি অবশ্যই ভেরিয়েবল এক্সের প্রদত্ত মানের জন্য পরিধির সমীকরণের (x ² + y ² = L ²) মেনে চলতে হবে, ভেরিয়েবল y নির্ধারিত সমীকরণ বা সীমাবদ্ধতার দ্বারা নির্ধারিত হয়।

এইভাবে, কেবলমাত্র একটি ভেরিয়েবল স্বাধীন এবং সিস্টেমে এক (1) ডিগ্রি স্বাধীনতা রয়েছে।

এলোমেলো মানের একটি সেট

ধারণাটির অর্থ কী তা বোঝানোর জন্য, ধরুন ভেক্টর

x = (x ₁, এক্স ₂,…, এক্স _এন)

এন এর নমুনা প্রতিনিধিত্ব করে সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো মান। এক্ষেত্রে এলোমেলো ভেক্টর x এর n টি স্বতন্ত্র উপাদান রয়েছে এবং তাই x এর সাথে n ডিগ্রি স্বাধীনতা রয়েছে বলে জানা যায়।

আসুন এখন অবশিষ্টাংশগুলির ভেক্টর আর নির্মাণ করুন

r = (x ₁ -, এক্স ₂ -,…।, এক্স _এন -)

কোথায় নমুনা গড় উপস্থাপন করে, যা নিম্নলিখিত হিসাবে গণনা করা হয়:

= (এক্স ₁ + এক্স ₂ +…। + এক্স _এন) / এন

সুতরাং যোগফল

(এক্স ₁ -) + (x ₂ -) +…। + (এক্স _এন -) = (x ₁ + x ₂ +…। + এক্স _এন) - এন= 0

এটি এমন একটি সমীকরণ যা অবশিষ্টাংশের ভেক্টর আর এর উপাদানগুলির মধ্যে একটি বাধা (বা বাঁধাই) উপস্থাপন করে, যেহেতু যদি ভেক্টর আর এর এন -1 উপাদানগুলি জানা থাকে, তবে সীমাবদ্ধতা সমীকরণটি অজানা উপাদানটি নির্ধারণ করে।

সুতরাং সীমাবদ্ধতার সাথে ভেক্টর আর ডাইমেনশন এন:

∑ (x _আমি -) = 0

এটিতে (এন - 1) ডিগ্রি স্বাধীনতা রয়েছে।

আবার এটি প্রয়োগ করা হয় যে স্বাধীনতার ডিগ্রি সংখ্যা গণনা:

স্বাধীনতার ডিগ্রি: = n (মাত্রা) - 1 (সীমাবদ্ধতা) = এন -1

উদাহরণ

স্বাধীনতার বৈচিত্র এবং ডিগ্রি

ভেরিয়েন্স এস ² কে এন ডেটার নমুনার বিচ্যুতির স্কোয়ার (বা অবশিষ্টাংশ) এর গড় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

s ² = (r • r) / (n-1)

যেখানে আর অবশিষ্টাংশের ভেক্টর r = (x1 -, এক্স 2 - ,…।, এক্সএন - ) এবং পুরু বিন্দু (•) হ'ল ডট পণ্য অপারেটর। বিকল্পভাবে, বৈকল্পিক সূত্রটি নীচে লেখা যেতে পারে:

s ² = ∑ (x _i -) ² / (এন -1)

যাইহোক, এটি লক্ষ করা উচিত যে অবশিষ্টাংশের বর্গক্ষেত্রের গড় গণনা করার সময়, এটি (এন -1) দ্বারা বিভক্ত হয় এবং এন দ্বারা নয়, কারণ পূর্ববর্তী বিভাগে আলোচনা করা হয়েছে, ভেক্টর আর এর স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা (এন -1)।

পরিবর্তনের গণনার জন্য (n-1) এর পরিবর্তে n দ্বারা বিভাজন করা হলে ফলাফলটির পক্ষপাত হবে যা 50 এর চেয়ে কম এন এর মানগুলির জন্য খুব তাৎপর্যপূর্ণ।

সাহিত্যে, পরিবর্তনের সূত্রটি জনসংখ্যার বৈকল্পিকের ক্ষেত্রে (এন -1) এর পরিবর্তে বিভাজক এন দিয়েও উপস্থিত হয়।

তবে ভেক্টর আর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা অবশিষ্টাংশগুলির এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির সেট, যদিও এর ডাইমেনশন এন রয়েছে, কেবলমাত্র (এন -1) ডিগ্রি রয়েছে স্বাধীনতার। তবে, যদি ডেটার সংখ্যা যথেষ্ট পরিমাণে বড় হয় (এন> 500), উভয় সূত্র একই ফলাফলে রূপান্তরিত করে।

ক্যালকুলেটর এবং স্প্রেডশিটগুলি বৈকল্পিক এবং মান বিচ্যুতি উভয় সংস্করণ সরবরাহ করে (যা বৈকল্পিকের বর্গমূল)।

আমাদের প্রস্তাবনাটি এখানে উপস্থাপন করা বিশ্লেষণের পরিপ্রেক্ষিতে, পক্ষপাতদুষ্ট ফলাফল এড়াতে প্রতিবার পরিবর্তনের বা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি গণনা করার জন্য সর্বদা (এন -১) সহ সংস্করণটি বেছে নেওয়া।

চি বর্গ বিতরণে

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কিছু সম্ভাব্যতা বিতরণ স্বাধীনতার ডিগ্রি নামে পরিচিত একটি প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে, এটি চি বর্গ বিতরণের ক্ষেত্রে (χ ²)।

এই প্যারামিটারটির নামটি অন্তর্নিহিত এলোমেলো ভেক্টরের যেখানে এই বন্টন প্রযোজ্য তার স্বাধীনতার ডিগ্রি থেকেই স্পষ্টভাবে আসে।

ধরুন আমাদের জি জনসংখ্যা রয়েছে, সেখান থেকে আকারের নমুনাগুলি নেওয়া হয়:

এক্স ₁ = (এক্স _{1 1}, এক্স _{1 2},….. এক্স _{1 এন})

এক্স 2 = (এক্স _{2 1}, এক্স _{2 2},….. এক্স _{2 এন})

…।

এক্স _জে = (এক্সজে ₁, এক্সজে ₂,….. এক্সজে _এন)

…।

এক্সজি = (এক্সজি ₁, এক্সজি ₂,….. এক্সজি _এন)

একটি জনসংখ্যা j এর অর্থ হল এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি এসজে, সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করে এন (, এসজে)।

মানকযুক্ত বা নরমালাইজড ভেরিয়েবল zj _i এর সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে:

zj _আমি = (এক্সজে _আমি -) / এসজে

এবং ভেক্টর জেডজে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

জেডজে = (জেড ₁, জেড ₂,…, জেড _আই,…, জেড _এন) এবং মানকীকৃত সাধারণ বিতরণ এন (0,1) অনুসরণ করে।

সুতরাং পরিবর্তনশীল:

প্রশ্নঃ = ((Z1 ₁ ^ 2 + + Z2 ₁ ^ 2 + +…। + + Zg ₁ ^ 2),…। (Z1 _এন ^ 2 + + Z2 _এন ^ 2 + +…। + + Zg _এন ^ 2))

freedom ² (ছ) ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করে যা চি-স্কোয়ার বিতরণ বলে স্বাধীনতার ডিগ্রি সহ freedom

হাইপোথিসিস পরীক্ষায় (সমাধানের উদাহরণ সহ)

আপনি যখন এলোমেলো তথ্যের একটি নির্দিষ্ট সেটের উপর ভিত্তি করে হাইপোথিসগুলি পরীক্ষা করতে চান, চি-স্কোয়ার পরীক্ষা প্রয়োগ করার জন্য আপনাকে স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা জানতে হবে।

চিত্র 2. আইসক্রিম ফ্লাওয়ার এবং গ্রাহকের লিঙ্গের পছন্দের মধ্যে কি সম্পর্ক রয়েছে? সূত্র: এফ.জাপাটা।

উদাহরণ হিসাবে, নির্দিষ্ট আইসক্রিম পার্লারে পুরুষ এবং মহিলাদের মধ্যে চকোলেট বা স্ট্রবেরি আইসক্রিমের পছন্দগুলিতে সংগৃহীত ডেটা বিশ্লেষণ করা হবে। পুরুষ এবং মহিলারা যে ফ্রিকোয়েন্সি দিয়ে স্ট্রবেরি বা চকোলেট চয়ন করেন তা চিত্র 2 এ সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে।

প্রথমত, প্রত্যাশিত ফ্রিকোয়েন্সিগুলির টেবিলটি গণনা করা হয়, যা মোট ডেটা দ্বারা বিভাজন করে মোট কলামগুলির দ্বারা মোট সারিগুলিকে গুণ করে প্রস্তুত করা হয়। ফলাফলটি নিম্নলিখিত চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে:

চিত্র 3. পর্যবেক্ষিত ফ্রিকোয়েন্সিগুলির উপর ভিত্তি করে প্রত্যাশিত ফ্রিকোয়েন্সি গণনা (চিত্র 2-এ নীল রঙের মান)। সূত্র: এফ.জাপাটা।

তারপরে চি বর্গটি নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে (ডেটা থেকে) গণনা করা হয়:

χ ² = ∑ (এফ _ও - এফ _ই) ² / এফ _ই

যেখানে F _o হল পর্যবেক্ষিত ফ্রিকোয়েন্সি (চিত্র 2) এবং এফ _ই প্রত্যাশিত ফ্রিকোয়েন্সি (চিত্র 3)। সংক্ষেপটি সমস্ত সারি এবং কলামের উপরে চলে যায়, যা আমাদের উদাহরণে চারটি শর্ত দেয়।

অপারেশনগুলি করার পরে আপনি পাবেন:

χ ² = 0.2043।

এখন তাত্ত্বিক চি বর্গক্ষেত্রের সাথে তুলনা করা প্রয়োজন, যা স্বাধীনতার জি ডিগ্রির সংখ্যার উপর নির্ভর করে।

আমাদের ক্ষেত্রে, এই সংখ্যাটি নিম্নলিখিত হিসাবে নির্ধারিত হয়:

g = (# সারি - 1) (# কলাম - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 * 1 = 1।

দেখা যাচ্ছে যে এই উদাহরণে স্বাধীনতার জি ডিগ্রির সংখ্যা 1।

যদি আপনি 1% এর তাত্পর্যপূর্ণ স্তরের নাল অনুমান (H0: TASTE এবং GenderER এর মধ্যে কোনও সম্পর্ক নেই) যাচাই বা প্রত্যাখ্যান করতে চান, তাত্ত্বিক চি-বর্গ মানটি g = 1 এর ডিগ্রি দিয়ে গণনা করা হয়।

মানটি চাওয়া হয়েছে যা সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি (1 - 0.01) = 0.99, অর্থাৎ 99% করে তোলে। এই মানটি (যা টেবিলগুলি থেকে প্রাপ্ত হতে পারে) 6,636।

তাত্ত্বিক চি যেমন গণনা করা ছাড়িয়ে যায়, তখন নাল অনুমানটি যাচাই করা হয়।

অন্য কথায়, সংগৃহীত ডেটা সহ, TASTE এবং জেন্ডার ভেরিয়েবলের মধ্যে কোনও সম্পর্ক পরিলক্ষিত হয় না।

তথ্যসূত্র

1. Minitab। স্বাধীনতার ডিগ্রি কি? থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: support.minitab.com।
2. মুর, ডেভিড (২০০৯) বেসিক প্রয়োগের পরিসংখ্যান। আন্তনি বোশ সম্পাদক।
3. লে, জেনিফার স্ট্যাটিস্টিকাল মডেলগুলিতে কীভাবে স্বাধীনতার ডিগ্রি গণনা করা যায়। উদ্ধার করা হয়েছে: geniolandia.com থেকে
4. উইকিপিডিয়া। স্বাধীনতার ডিগ্রি (পরিসংখ্যান)। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে
5. উইকিপিডিয়া। স্বাধীনতার ডিগ্রি (শারীরিক) পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে