উদ্ঘাটনকারীদের আইন (উদাহরণ এবং সমাধান ব্যায়াম সহ) - গণিতশাস্ত্র - 2025

বহিঃপ্রকাশ আইন ঐ যে যে সংখ্যা নির্দেশ করে যে কতবার একটি বেস সংখ্যা নিজেই দ্বারা গুন করতে হবে ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। অভিযোজকরা শক্তি হিসাবেও পরিচিত। ক্ষমতায়ন হ'ল একটি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ যা বেস (ক), ঘনিষ্ঠ (মি) এবং শক্তি (বি) দ্বারা গঠিত যা অপারেশনের ফলাফল।

সাধারণত খুব বড় পরিমাণে ব্যবহার করা হয় তখন এক্সপোস্টারগুলি ব্যবহৃত হয়, কারণ এগুলি সংক্ষেপণ ছাড়া আর কিছু নয় যা একই সংখ্যার নির্দিষ্ট পরিমাণের গুণকে প্রতিনিধিত্ব করে। উদ্দীপকগুলি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয়ই হতে পারে।

বিলোপকারীদের আইন ব্যাখ্যা

পূর্বে যেমন বলা হয়েছে, এক্সপোস্টারগুলি একটি শর্টহ্যান্ড ফর্ম যা একাধিকবার তাদের দ্বারা বহুগুণ সংখ্যা উপস্থাপন করে, যেখানে খালি কেবল বামের সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণ স্বরূপ:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

সেক্ষেত্রে 2 নম্বরটি হ'ল পাওয়ারের ভিত্তি, যা ঘাঁটির উপরের ডানদিকে কোণে অবস্থিত ঘাঁটিঘাঁটিকারী দ্বারা নির্দেশিত হিসাবে 3 গুণ করা হবে। এক্সপ্রেশনটি পড়ার বিভিন্ন উপায় রয়েছে: 2 টি 3 বা 3 কিউবে উত্থিত হয়।

বিভক্তকারীরা তাদের ভাগ করা যায় এমন সংখ্যাটিও নির্দেশ করে এবং এই ক্রিয়াকলাপটিকে গুণন থেকে পৃথক করার জন্য প্রকাশকের কাছে বিয়োগ চিহ্ন (-) এটির সামনে থাকে (এটি negativeণাত্মক), যার অর্থ হ'ল বিয়োগকারকের বিভাজনে ভগ্নাংশ। উদাহরণ স্বরূপ:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

বেসটি negativeণাত্মক হওয়ার ক্ষেত্রে এটি বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়, কারণ এটি নির্ভর করে বেআইনী কিনা এমনকি শক্তিটি ইতিবাচক বা নেতিবাচক হবে কিনা তা নির্ধারণ করতে হবে। সুতরাং আপনি করতে হবে:

- যদি ব্যয়কারী সমান হয় তবে শক্তিটি ইতিবাচক হবে। উদাহরণ স্বরূপ:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49।

- যদি ব্যাক্তিটি বিজোড় হয় তবে শক্তি নেতিবাচক হবে। উদাহরণ স্বরূপ:

(- 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32

একটি বিশেষ কেস রয়েছে যার ক্ষেত্রে সূচকটি 0 এর সমান হলে শক্তি 1 টির সমান হয় There এর সম্ভাবনাও রয়েছে যে বেস 0 হবে; সেক্ষেত্রে খুনির উপর নির্ভর করে শক্তিটি অনির্দিষ্ট হবে না or

গাণিতিকদের সাথে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করার জন্য, কয়েকটি বিধি বা নিয়ম অনুসরণ করা প্রয়োজন যা এই ক্রিয়াকলাপগুলির সমাধান খুঁজে পাওয়া সহজ করে তোলে।

প্রথম আইন: 1 এর সমকক্ষের শক্তি

যখন কাফেরটি 1 হয়, ফলাফলটি বেসের সমান মান হবে: a ¹ = a।

উদাহরণ

9 ¹ = 9।

22 ¹ = 22।

895 ¹ = 895।

দ্বিতীয় আইন: 0 এর সমকক্ষের শক্তি

যখন ঘাঁটি 0 হয়, বেসটি যদি ননজারো হয় তবে ফলাফলটি হবে: একটি ⁰ = 1।

উদাহরণ

1 ⁰ = 1।

323 ⁰ = 1।

1095 ⁰ = 1।

তৃতীয় আইন: নেতিবাচক অভিজাত

যেহেতু বিস্ফোরকটি নেতিবাচক, ফলাফলটি একটি ভগ্নাংশ হবে, যেখানে শক্তিটি হবে ডিনোমিনেটর। উদাহরণস্বরূপ, যদি মি ধনাত্মক হয় তবে a ^-m = 1 / a ^মি ।

উদাহরণ

- 3 ^-1 = 1/3।

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36।

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512।

চতুর্থ আইন: সমান বেসের সাথে ক্ষমতাগুলি গুণ করা

ঘাঁটিগুলি 0 এর থেকে সমান এবং পৃথক হওয়ার ক্ষমতাগুলিকে গুণিত করতে, বেসটি অবশেষে থাকে এবং এক্সপোশনগুলি যুক্ত করা হয়: একটি ^এম _* এ ^এন = একটি ^{মি + এন} ।

উদাহরণ

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

পঞ্চম আইন: সমান বেসের সাথে ক্ষমতার বিভাজন

ঘাঁটিগুলি 0 থেকে সমান এবং পৃথক হওয়া শক্তিকে বিভক্ত করতে, বেসটি রাখা হয় এবং এক্সপোনারগুলি নিম্নরূপে বিয়োগ করা হয়: ^m / a ⁿ = a ^m-n ।

উদাহরণ

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ ।

- 6 ¹⁵ /6 ^{অক্টোবর} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ ।

- 49 ^{ডিসেম্বর} / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ ।

ষষ্ঠ আইন: বিভিন্ন বেসের সাথে ক্ষমতাগুলি গুণ করা

এই আইনের চতুর্থটি যা প্রকাশিত হয়েছে তার বিপরীত রয়েছে; এটি হ'ল, যদি আপনার বিভিন্ন ঘাঁটি থাকে তবে একই ঘাটিঘাটি করে, ঘাঁটিগুলি বহুগুণে বাড়ানো হয় এবং ঘাঁটিটি রাখা হয়: একটি ^এম _* বি ^এম = (একটি _* বি) ^এম ।

উদাহরণ

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² ।

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ ।

এই আইনের প্রতিনিধিত্ব করার আরেকটি উপায় হ'ল যখন কোনও গুণকে গুণিত করা হয়। সুতরাং, সূচক প্রতিটি শর্তাদির সাথে যুক্ত হবে: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m ।

উদাহরণ

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ ।

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ ।

সপ্তম আইন: বিভিন্ন বেসের সাথে ক্ষমতার বিভাজন

আপনার যদি আলাদা ঘাঁটি থাকে তবে একই ঘাটতি সহ, ঘাঁটিগুলি ভাগ করুন এবং ঘর্ষণকারীটি রাখুন: a ^m / b ^m = (a / b) ^মি ।

উদাহরণ

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ ।

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴ ।

একইভাবে, যখন একটি শক্তিতে একটি বিভাগ উত্থাপিত হয়, তখন ব্যয়কারী প্রতিটি পদে অন্তর্ভুক্ত থাকে: (a / b) ^মি = একটি ^মি / বি ^এম ।

উদাহরণ

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ ।

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² ।

ঘটনার ক্ষেত্রে negativeণাত্মক হওয়ার ঘটনা রয়েছে। তারপরে, ইতিবাচক হওয়ার জন্য, নিম্নরকের সংখ্যার মানটি বিভাজনের সাথে উল্টে যায়:

- (ক / খ) ^-ন = (খ / ক) ^এন = বি ^এন / এ ^এন ।

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ ।

অষ্টম আইন: একটি শক্তির শক্তি

যখন আপনার কাছে একটি শক্তি থাকে যা অন্য শক্তিতে উত্থাপিত হয় - এটি একই সময়ে দুটি এক্সটেনশন হয়-, বেসটি বজায় রাখা হয় এবং এক্সটোনারগুলি বহুগুণিত হয়: (একটি ^মি) ^এন = ^{ম মি * এন} ।

উদাহরণ

- (8 ³) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ ।

- (13 ⁹) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ ।

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ ।

নবম আইন: ভগ্নাংশ প্রকাশক

যদি পাওয়ারটির একটি ভগ্নাংশ হিসাবে ভগ্নাংশ থাকে, তবে এটি একটি এন-তৃতীয় রুটে রূপান্তরিত করে সমাধান করা হবে, যেখানে অংকটি একটি সূচক হিসাবে থাকে এবং ডিনোমিনেটর মূলটির সূচককে উপস্থাপন করে:

উদাহরণ

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

বিভিন্ন ঘাঁটিযুক্ত শক্তির মধ্যে ক্রিয়াকলাপ গণনা করুন:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² ।

সমাধান

এক্সটোনারদের বিধি প্রয়োগ করে, ঘাঁটিগুলিকে অংকগুলিতে গুণিত করা হয় এবং সূচকটি এইভাবে বজায় থাকে:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

এখন, যেহেতু আমাদের একই ঘাঁটি রয়েছে তবে বিভিন্ন ঘর্ষণকারীদের সাথে, বেসটি রাখা হয় এবং ক্ষয়কারীকে বিয়োগ করা হয়:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

অনুশীলন 2

অন্য শক্তিতে উত্থাপিত শক্তির মধ্যে ক্রিয়াকলাপ গণনা করুন:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

সমাধান

আইন প্রয়োগ করে, আপনাকে:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46,656

তথ্যসূত্র

1. অ্যাওন্টে, জি। (1998)। বুনিয়াদি গণিতের মৌলিক বিষয়সমূহ। পিয়ারসন শিক্ষা.
2. Corbalán, এফ। (1997)। প্রতিদিনের জীবনে গাণিতিক প্রয়োগ হয়।
3. জিমনেজ, জেআর (২০০৯) গণিত 1 এসইপি।
4. ম্যাক্স পিটারস, ডাব্লুএল (1972)। বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি।
5. রিস, পিকে (1986)। Reverte।