- প্রস্তাবিত যুক্তি পর্যালোচনা
- হেত্বাভাস
- প্রস্তাবের
- মরগানের আইন
- প্রদর্শন
- সেট
- ইউনিয়ন, ছেদ এবং সেটগুলির পরিপূরক
- ইউনিয়ন এবং ছেদ
- পূরক
- মরগান এর জন্য আইন
- তথ্যসূত্র
ঠ মর্গান চোখের অনুমান propositional যুক্তিবিজ্ঞান ব্যবহৃত নিয়ম, যা কায়েম হয় কি একটি বিচ্ছিন্ন অবস্হা এবং প্রস্তাবের বা propositional ভেরিয়েবল একটি সংযোগ আত্মত্যাগী ফল। এই আইনগুলি গণিতবিদ অগাস্টাস ডি মরগান দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল।
মরগানের আইনগুলি গাণিতিক যুক্তির বৈধতা প্রদর্শনের জন্য একটি খুব দরকারী সরঞ্জাম উপস্থাপন করে। পরে সেগুলি গণিতবিদ জর্জ বুলে সেটগুলির ধারণার মধ্যে সাধারণীকরণ করেছিলেন।
বুলে তৈরি এই সাধারণীকরণ সম্পূর্ণ প্রাথমিকভাবে মরগানের আইনগুলির সমতুল্য, তবে এটি প্রস্তাবগুলির পরিবর্তে সেটগুলির জন্য বিশেষত বিকাশিত। এই সাধারণীকরণটি মরগানের আইন হিসাবেও পরিচিত।
প্রস্তাবিত যুক্তি পর্যালোচনা
মরগানের আইনগুলি কীভাবে নির্দিষ্টভাবে ব্যবহৃত হয় এবং সেগুলি কীভাবে ব্যবহৃত হয় তা দেখার আগে, প্রস্তাবিত যুক্তির কিছু প্রাথমিক ধারণা মনে রাখা সহায়ক। (আরও তথ্যের জন্য প্রস্তাবিত যুক্তি সম্পর্কিত নিবন্ধটি দেখুন)।
গাণিতিক (বা প্রস্তাবমূলক) যুক্তির ক্ষেত্রগুলিতে, একটি অনুমান একটি উপসংহার যা প্রাঙ্গণ বা অনুমানের সেট থেকে জারি করা হয়। এই উপসংহারটি পূর্বোক্ত প্রাঙ্গণগুলির সাথে একত্রে গাণিতিক যুক্তি হিসাবে পরিচিত যা জন্ম দেয়।
এই জাতীয় যুক্তি প্রদর্শনযোগ্য বা অস্বীকার করা উচিত; তা হচ্ছে, গাণিতিক যুক্তিতে সমস্ত অনুমান বা সিদ্ধান্তগুলি বৈধ নয়।
হেত্বাভাস
সত্য অনুমান করা হয় যে নির্দিষ্ট অনুমান থেকে তৈরি একটি মিথ্যা অনুমান একটি ভ্রান্তি হিসাবে পরিচিত। ত্রুটিগুলি সঠিক যুক্তিযুক্ত হওয়ার অদ্ভুততা রয়েছে তবে গাণিতিকভাবে সেগুলি হয় না।
প্রস্তাবিত যুক্তি হুবহু গণিতের যুক্তি যাচাই বা খণ্ডন করা সম্ভব, কোনও দ্ব্যর্থহীনতা ছাড়াই এমন পদ্ধতিগুলির বিকাশ ও সরবরাহের দায়িত্বে থাকে; এটি, প্রাঙ্গণ থেকে একটি বৈধ উপসংহার নির্ধারণ করা। এই পদ্ধতিগুলি অনুমানের নিয়ম হিসাবে পরিচিত, যার মধ্যে মরগানের আইন অংশ।
প্রস্তাবের
প্রজেকশনাল লজিকের প্রয়োজনীয় উপাদানগুলি হ'ল প্রস্তাবগুলি s প্রস্তাবগুলি হ'ল বিবৃতি যা বৈধ বা না বলা যায় তবে একই সাথে সত্য বা মিথ্যা হতে পারে না। এই বিষয়ে কোনও দ্বিধা থাকা উচিত নয়।
সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাগের ক্রিয়াকলাপগুলির মাধ্যমে সংখ্যাকে যেমন একত্রিত করা যায়, তেমনি প্রস্তাবগুলি সুপরিচিত লজিকাল সংযোগগুলি (বা সংযোজক) দ্বারা পরিচালনা করা যেতে পারে: প্রত্যাখ্যান (¬, "নয়"), বিভাজন (ভি), "বা"), সংমিশ্রণ (Ʌ, "এবং"), শর্তসাপেক্ষ (→, "যদি… তবে…") এবং দ্বি শর্তসাপেক্ষ (↔, "যদি, এবং কেবলমাত্র")
আরও সাধারণভাবে কাজ করার জন্য, নির্দিষ্ট প্রস্তাবগুলি বিবেচনা করার পরিবর্তে, কোনও প্রস্তাবের প্রতিনিধিত্বকারী প্রপোজেশনাল ভেরিয়েবলগুলি বিবেচনা করা হয় এবং সেগুলি সাধারণত ছোট হাতের অক্ষর পি, কিউ, আর, এস ইত্যাদি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়
একটি প্রজেকশনাল ফর্মুলা হ'ল কিছু যৌক্তিক সংযোগের মাধ্যমে প্রোপজেশনাল ভেরিয়েবলের সংমিশ্রণ। অন্য কথায়, এটি প্রোপজিশনাল ভেরিয়েবলের সংমিশ্রণ। এগুলি সাধারণত গ্রীক অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
বলা হয় যে প্রস্তাবিত সূত্রটি যুক্তিযুক্তভাবে অন্যটিকে বোঝায় যখন প্রতিটি ক্ষেত্রে পূর্বেরটি সত্য হয়। এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে:
যখন দুটি প্রস্তাবমূলক সূত্রের মধ্যে যৌক্তিক জড়িত হওয়া পরস্পর হয় - অর্থাত্ যখন পূর্বসূত্রটিও বিপরীত অর্থে বৈধ হয় - সূত্রগুলি যৌক্তিকভাবে সমতুল্য বলে মনে হয়, এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়
যৌক্তিক সমতুল্যতা হ'ল প্রস্তাবিত সূত্রগুলির মধ্যে এক ধরণের সাম্যতা এবং যখন প্রয়োজন হয় তখন অন্যটিকে প্রতিস্থাপনের অনুমতি দেয়।
মরগানের আইন
মরগানের আইন দুটি প্রস্তাবমূলক ফর্মের মধ্যে দুটি যৌক্তিক সমতা নিয়ে গঠিত: যথা:
এই আইনগুলি একটি বিযুক্তি বা সংমিশ্রণের অবহেলা পৃথক করার অনুমতি দেয়, জড়িত ভেরিয়েবলগুলির অবহেলা হিসাবে।
প্রথমটি নিম্নরূপে পড়া যায়: একটি বিচ্ছিন্নতা অবহেলা negণাত্মক সংমিশ্রণের সমান। এবং দ্বিতীয়টি এইভাবে পড়ে: সংযুক্তির অবহেলা হ'ল উপেক্ষার বিভাজন।
অন্য কথায়, দুটি প্রস্তাবমূলক ভেরিয়েবলের বিভাজন অস্বীকার করা উভয় ভেরিয়েবলের অবহেলার সংমিশ্রনের সমতুল্য। তেমনিভাবে দুটি প্রস্তাবিত ভেরিয়েবলের সংমিশ্রণকে অস্বীকার করা উভয় ভেরিয়েবলের অবহেলার বিভাজনের সমান।
যেমনটি আগেই উল্লেখ করা হয়েছে, এই যৌক্তিক সমতাটি স্থাপন করা অন্যান্য বিদ্যমান অনুমানের নিয়মের পাশাপাশি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলগুলি প্রমাণ করতে সহায়তা করে। এগুলির সাহায্যে আপনি অনেকগুলি প্রস্তাবমূলক সূত্রকে সহজ করতে পারেন, যাতে সেগুলি নিয়ে কাজ করার জন্য আরও দরকারী।
নিম্নলিখিতটি মরগানের আইনগুলি সহ অনুমানের বিধিগুলি ব্যবহার করে গাণিতিক প্রমাণের উদাহরণ is বিশেষত, এটি প্রদর্শিত হয় যে সূত্র:
এটি সমান:
পরেরটি বোঝা এবং বিকাশ করা সহজ।
প্রদর্শন
এটি উল্লেখ করার মতো যে মরগানের আইনগুলির বৈধতা গাণিতিকভাবে প্রদর্শিত হতে পারে। একটি উপায় আপনার সত্য সারণী তুলনা করে হয়।
সেট
প্রস্তাবের ক্ষেত্রে প্রয়োগ একই যুক্তির নিয়ম এবং যুক্তির ধারণাগুলিও সেটগুলি বিবেচনা করে বিকাশ করা যেতে পারে। গণিতবিদ জর্জ বুলের পরে এটিই বুলিয়ান বীজগণিত হিসাবে পরিচিত।
কেসগুলি পৃথক করার জন্য, প্রজ্ঞাপনের যুক্তির সমস্ত ইতিমধ্যে দেখা ধারণাগুলি চিহ্নিতকরণ এবং সেটগুলিতে স্থানান্তর করা দরকার।
একটি সেট অবজেক্টের সংকলন। সেটগুলি মূল অক্ষর A, B, C, X,… দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং একটি সেটের উপাদানগুলি ছোট হাতের অক্ষর a, b, c, x, ইত্যাদি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় etc. যখন একটি এলিমেন্ট একটি সেট এক্স এর অন্তর্গত তখন এটিকে দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:
এটি X এর সাথে সম্পর্কিত না হলে চিহ্নিতকরণটি হ'ল:
সেট উপস্থাপনের উপায় হ'ল তাদের উপাদানগুলিকে ধনুর্বন্ধকের ভিতরে রেখে। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির সেটটি প্রতিনিধিত্ব করে:
সেটগুলি তাদের উপাদানগুলির একটি সুস্পষ্ট তালিকা না লিখেও প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। এগুলি {:} আকারে প্রকাশ করা যায়} কোলন "এমন" পড়া হয়। দুটি পয়েন্টের বাম দিকে একটি ভেরিয়েবল স্থাপন করা হয় যা সেটের উপাদানগুলিকে উপস্থাপন করে এবং ডানদিকে এমন সম্পত্তি বা শর্ত স্থাপন করা হয় যা তারা সন্তুষ্ট করে। এই:
উদাহরণস্বরূপ, -4 এর বেশি সংখ্যক সম্পূর্ণ সংখ্যা সেট হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:
বা সমতুল্য, এবং আরও সংক্ষিপ্ত হিসাবে:
একইভাবে, নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশন যথাক্রমে বিজোড় এবং এমনকি সংখ্যার সেটগুলি উপস্থাপন করে:
ইউনিয়ন, ছেদ এবং সেটগুলির পরিপূরক
এরপরে আমরা সেটগুলির ক্ষেত্রে লজিকাল সংযোগগুলির অ্যানালগগুলি দেখতে পাবো, যা সেটের মধ্যে মৌলিক ক্রিয়াকলাপের অংশ।
ইউনিয়ন এবং ছেদ
ইউনিট এবং সেটগুলির ছেদটি যথাক্রমে সংজ্ঞায়িত হয়:
উদাহরণস্বরূপ, সেটগুলি বিবেচনা করুন:
সুতরাং, আপনাকে:
পূরক
একটি সেটের পরিপূরকগুলি সেই উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত যা বলা সেটটির সাথে সম্পর্কিত নয় (একই ধরণের যে আসলটি উপস্থাপন করে)। একটি সেট এ এর পরিপূরক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:
উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যার মধ্যে, সমান সংখ্যার সেটের পরিপূরক হ'ল বিজোড় সংখ্যা এবং তদ্বিপরীত।
কোনও সেটটির পরিপূরক নির্ধারণ করার জন্য, বিবেচনাধীন উপাদানগুলির সর্বজনীন বা মূল সেটটি শুরু থেকেই পরিষ্কার হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যার তুলনায় যৌক্তিক সংখ্যার তুলনায় সেটগুলির পরিপূরক বিবেচনা করা এক নয়।
পূর্বের সংজ্ঞায়িত সেটগুলিতে অপারেশনগুলির মধ্যে বিদ্যমান সম্পর্ক বা সাদৃশ্যটি এবং প্রস্তাবনামূলক যুক্তির সংযোগগুলি নীচের সারণিটি দেখায়:
মরগান এর জন্য আইন
অবশেষে, সেটগুলিতে মরগানের আইনগুলি হ'ল:
কথায় আছে: একটি ইউনিয়নের পরিপূরক হল পরিপূরকগুলির ছেদ এবং একটি ছেদকের পরিপূরক পরিপূরকগুলির মিল।
প্রথম সাম্যের একটি গাণিতিক প্রমাণ নিম্নলিখিত হবে:
দ্বিতীয়টির প্রমাণটি সাদৃশ্যযুক্ত।
তথ্যসূত্র
- আলমাগুয়ার, জি। (2002) গণিত 1. সম্পাদকীয় লিমুসা।
- আইলউইন, সিইউ (২০১১)। যুক্তি, সেট এবং নম্বর। মেরিদা - ভেনিজুয়েলা: পাবলিকেশন কাউন্সিল, ইউনিভার্সিডেড ডি লস অ্যান্ডেস।
- ব্যারান্টেস, এইচ।, ডাজ, পি।, মুরিলো, এম।, এবং সোটো, এ। (1998)। সংখ্যা তত্ত্বের পরিচিতি। EUNED।
- কাস্তেদা, এস (২০১ 2016)। সংখ্যা তত্ত্বের বেসিক কোর্স। নর্দান বিশ্ববিদ্যালয়।
- কোফ্রে, এ।, এবং তাপিয়া, এল। (1995)। গাণিতিক যৌক্তিক যুক্তি কীভাবে বিকাশ করা যায়। বিশ্ববিদ্যালয় প্রকাশনা হাউস।
- গুয়েভারা, এমএইচ (এনডি) নাম্বার তত্ত্ব। EUNED।
- জারাগোজা, এসি (এসফ)। সংখ্যা তত্ত্ব সম্পাদকীয় দৃষ্টি লিব্রোস।