- কার্য সীমা
- আরও জটিল সীমা আছে?
- সাধারণ ত্রিকোণমিতিক সীমাগুলির উদাহরণ
- ত্রিকোণমিতিক সীমাবদ্ধতার পরিচয়
- সমাধান ব্যায়াম
- পর্যবেক্ষণ
- তথ্যসূত্র
ত্রিকোণমিতিক সীমা ফাংশন যেমন যে এই ফাংশন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা গঠিত হয় সীমা আছে।
একটি ত্রিকোণমিতিক সীমা কীভাবে গণনা করতে হবে তা বোঝার জন্য দুটি সংজ্ঞা রয়েছে।
এই সংজ্ঞাগুলি হ'ল:
- একটি ফাংশনের সীমাবদ্ধতা «f» যখন «x» «b» থাকে: এটিতে the বি without না পৌঁছানো, f (x) »x» কাছে «b aches হিসাবে পৌঁছাবার মানটি গণনা করে »।
- ট্রাইগনোমেট্রিক ফাংশন: ত্রিকোণোমেট্রিক ফাংশন হ'ল সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট ফাংশন, যথাক্রমে পাপ (এক্স), কোস (এক্স) এবং ট্যান (এক্স) দ্বারা চিহ্নিত।
অন্যান্য ট্রাইগনোমেট্রিক ফাংশনগুলি উল্লিখিত তিনটি ফাংশন থেকে প্রাপ্ত।
কার্য সীমা
একটি ফাংশন সীমা ধারণা স্পষ্ট করার জন্য, আমরা সহজ ফাংশন সহ কিছু উদাহরণ প্রদর্শন করা হবে।
- f (x) = 3 এর সীমা যখন "x" "8" এর দিকে যায় তখন "3" এর সমান হয়, যেহেতু ক্রিয়াটি সর্বদা স্থির থাকে। "X" এর মূল্য কতই না কম, চ (x) এর মান সর্বদা "3" থাকবে "
- f (x) = x-2 এর সীমা যখন «x« «6» থাকে তখন «4» হয় » যেহেতু "x" যখন "6" এ পৌঁছায় তখন "x-2" "6-2 = 4" এ পৌঁছায়।
- g (x) = x to এর সীমা যখন "x" "3" তে থাকে 9 এর সমান হয়, যেহেতু "x" "3" এর কাছে আসে তখন "x²" "3² = 9" এ পৌঁছায় ।
পূর্ববর্তী উদাহরণগুলিতে দেখা যায়, একটি সীমা গণনা করা সেই মূল্য নির্ধারণ করে যা "x" ফাংশনে নির্ভর করে এবং ফলাফলটি সীমাটির মান হবে, যদিও এটি কেবল ধারাবাহিক ক্রিয়াকলাপের জন্য সত্য।
আরও জটিল সীমা আছে?
উত্তরটি হল হ্যাঁ. উপরোক্ত উদাহরণগুলি সীমাবদ্ধতার সহজ উদাহরণ। ক্যালকুলাস বইগুলিতে, প্রধান সীমাবদ্ধতা অনুশীলনগুলি সেগুলি হয় যা 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ (, (0) ^ 0 এবং (∞) টাইপের একটি অনির্দিষ্টতা তৈরি করে ^ 0
এই এক্সপ্রেশনগুলিকে অনিয়ন্ত্রিত বলা হয় যেহেতু এগুলি এমন ভাব যা গাণিতিকভাবে বোঝায় না।
এছাড়াও, মূল সীমাতে জড়িত কার্যাবলীর উপর নির্ভর করে, অনিশ্চিত সমাধানের সময় প্রাপ্ত ফলাফল প্রতিটি ক্ষেত্রে পৃথক হতে পারে different
সাধারণ ত্রিকোণমিতিক সীমাগুলির উদাহরণ
সীমাবদ্ধতা সমাধানের জন্য, জড়িত ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি জানার জন্য এটি সর্বদা দরকারী very সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট ফাংশনের গ্রাফগুলি নীচে দেখানো হয়েছে।
সাধারণ ত্রিকোণমিতিক সীমাগুলির কয়েকটি উদাহরণ হ'ল:
- যখন «x« «0 to থাকে তখন পাপের সীমা (x) গণনা করুন»
গ্রাফটি দেখার সময় দেখা যায় যে "x" যদি "0" (বাম এবং ডানদিক থেকে উভয়) এর কাছে চলে যায় তবে সাইন গ্রাফটিও "0" এর কাছাকাছি চলে যায়। সুতরাং, "x" যখন "0" তে থাকে তখন পাপের সীমা (x) হয় "0"।
- যখন «x« «0 to থাকে তখন কোস (x) এর সীমা গণনা করুন»
কোজিনের গ্রাফ পর্যবেক্ষণ করে দেখা যায় যে "x" যখন "0" এর কাছাকাছি থাকে তখন কোজিনের গ্রাফ "1" এর কাছাকাছি থাকে। এটি সূচিত করে যে "x" যখন "0" তে থাকে তখন কোস (x) এর সীমা "1" এর সমান হয়।
পূর্ববর্তী উদাহরণগুলির মতো একটি সীমা অস্তিত্ব থাকতে পারে (একটি সংখ্যা হতে পারে), তবে এটিও ঘটতে পারে যা নিম্নলিখিত উদাহরণে প্রদর্শিত হিসাবে এটির অস্তিত্ব নেই।
- যখন «x» বাম দিক থেকে «Π / 2 to থাকে তখন টান (x) এর সীমা« + ∞ »এর সমান, গ্রাফটিতে দেখা যায়। অন্যদিকে, "x" ডান থেকে "-Π / 2" তে সঞ্চারিত হলে টান (x) এর সীমা "-∞" এর সমান।
ত্রিকোণমিতিক সীমাবদ্ধতার পরিচয়
ত্রিকোণমিত্রিক সীমা গণনা করার সময় দুটি খুব কার্যকর সনাক্তকরণ হ'ল:
- যখন «x» «0» থাকে তখন «sin (x) / x of এর সীমা« 1 »এর সমান»
- «(1-কোস (এক্স)) / x of এর সীমা যখন« x »« 0 »থাকে তখন« 0 »এর সমান»
আপনার কোনও ধরণের অনির্দিষ্টতা থাকলে এই পরিচয়গুলি প্রায়শই ব্যবহার করা হয়।
সমাধান ব্যায়াম
উপরে বর্ণিত পরিচয় ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সীমাবদ্ধতার জন্য সমাধান করুন।
- যখন «x) sin 0» থাকে তখন «f (x) = sin (3x) / x of এর সীমা গণনা করুন»
"F" ফাংশনটি যদি "0" এ মূল্যায়ন করা হয় তবে 0/0 টাইপের একটি অনির্দিষ্টতা পাওয়া যাবে। সুতরাং, বর্ণিত পরিচয় ব্যবহার করে আমাদের অবশ্যই এই অনির্দিষ্টতা সমাধানের চেষ্টা করতে হবে।
এই সীমা এবং পরিচয়ের মধ্যে কেবলমাত্র পার্থক্যটি 3 নম্বর যা সাইন ফাংশনের মধ্যে উপস্থিত হয় appears পরিচয় প্রয়োগ করতে, the f (x) function ফাংশনটি অবশ্যই নিম্নলিখিত উপায়ে w 3 * (পাপ (3x) / 3x) w পুনরায় লিখতে হবে » এখন সাইন আর্গুমেন্ট এবং ডিনোমিনেটর উভয়ই সমান।
সুতরাং যখন "x" "0" এর দিকে ঝুঁকবে তখন পরিচয় ব্যবহার করে "3 * 1 = 3" দেয়। সুতরাং, "x" যখন "0" তে থাকে তখন f (x) এর সীমা "3" এর সমান হয়।
- যখন «x« «0 to থাকে তখন« g (x) = 1 / x - cos (x) / x of এর সীমা গণনা করুন »
যখন "x = 0" কে g (x) এ প্রতিস্থাপন করা হয়, তখন ∞-type টাইপের একটি অনির্দিষ্টতা পাওয়া যায়। এটির সমাধানের জন্য ভগ্নাংশটি প্রথমে বিয়োগ করা হয়, যা "(1-কোস (এক্স)) / এক্স" দেয়।
এখন, দ্বিতীয় ত্রিকোণমিতিক পরিচয় প্রয়োগ করে আমাদের কাছে «x» যখন (0 to থাকে তখন g (x) এর সীমা থাকে।
- যখন «x« «0 to থাকে তখন« h (x) = 4tan (5x) / 5x of এর সীমা গণনা করুন »
আবার, এইচ (এক্স) যদি "0" এ মূল্যায়ন করা হয় তবে 0/0 টাইপের একটি অনির্দিষ্টতা পাওয়া যাবে।
(5x) হিসাবে পাপ (5x) / cos (5x) হিসাবে পুনরায় লেখার ফলে এইচ (এক্স) = (পাপ (5x) / 5x) * (4 / কোস (এক্স)) হয়।
4 x / x (x) এর সীমাটি ব্যবহার করে যখন "x" "0" তে সমান হয় তখন "4/1 = 4" এর সমান হয় এবং প্রথম ত্রিকোণমিতিক পরিচয় পাওয়া যায় যে "x" প্রবণতা থাকলে h (x) এর সীমা থাকে a "0" "1 * 4 = 4" এর সমান।
পর্যবেক্ষণ
ত্রিকোণমিতিক সীমা সমাধান করা সর্বদা সহজ নয়। এই নিবন্ধে কেবলমাত্র প্রাথমিক উদাহরণগুলি দেখানো হয়েছিল।
তথ্যসূত্র
- ফ্লেমিং, ডব্লিউ।, এবং ভারবার্গ, ডিই (1989)। প্রিক্যালকুলাস গণিত। প্রেন্টাইস হল পিটিআর।
- ফ্লেমিং, ডব্লিউ।, এবং ভারবার্গ, ডিই (1989)। প্রিক্যালকুলাস গণিত: সমস্যা সমাধানের পদ্ধতির (২, ইলাস্ট্রেটেড এডি।)। মিশিগান: প্রিন্টাইস হল।
- ফ্লেমিং, ডাব্লু।, এবং ভারবার্গ, ডি। (1991)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
- লারসন, আর। (2010) প্রিক্যালকুলাস (8 ইড।) কেনেজ লার্নিং।
- লিয়াল, জেএম, এবং ভিলোরিয়া, এনজি (2005)। প্লেন অ্যানালিটিকাল জ্যামিতি। মেরিদা - ভেনিজুয়েলা: সম্পাদকীয় ভেনিজোলানা সিএ
- পেরেজ, সিডি (2006)। Precalculation। পিয়ারসন শিক্ষা.
- পুরসেল, ইজে, ভারবার্গ, ডি, এবং রিগডন, এসই (2007)। ক্যালকুলাস (নবম সংস্করণ)। প্রেন্টিস হল.
- সায়েঞ্জ, জে। (2005) বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল (দ্বিতীয় সংস্করণ সংস্করণ) এর প্রথম দিকের ট্রান্সেন্ডেন্ট ফাংশন সহ ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস। অতিভুজ।
- স্কট, সিএ (২০০৯)। কার্টেসিয়ান প্লেন জ্যামিতি, পার্ট: অ্যানালিটিক্যাল কনিক্স (1907) (পুনর্মুদ্রণ সম্পাদনা)। বাজ উত্স।
- সুলিভান, এম। (1997)। Precalculation। পিয়ারসন শিক্ষা.