বুলিয়ান বীজগণিত: ইতিহাস, উপপাদ্য এবং পোস্টুলেটস, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

বুলিয়ান বীজগণিত বা বুলিয়ান বীজগণিত বীজগাণিতিক বাইনারি ভেরিয়েবল চিকিত্সায় কাজে স্বরলিপি হয়। এটি এমন কোনও চলকের অধ্যয়নকে কভার করে যেখানে কেবলমাত্র 2 টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে, পরিপূরক এবং পারস্পরিক একচেটিয়া। উদাহরণস্বরূপ, ভেরিয়েবলগুলি যার একমাত্র সম্ভাবনা সত্য বা মিথ্যা, সঠিক বা ভুল, চালু বা বন্ধ, বুলিয়ান বীজগণিতের অধ্যয়নের ভিত্তি।

বুলিয়ান বীজগণিত ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের ভিত্তি গঠন করে, যা এটি আজকে বেশ উপস্থিত করে। এটি লজিক গেটের ধারণার দ্বারা পরিচালিত হয়, যেখানে traditionalতিহ্যবাহী বীজগণিতের পরিচিত অপারেশনগুলি বিশেষভাবে প্রভাবিত হয়।

সূত্র: পেক্সেলস ডট কম

ইতিহাস

১৮৫৪ সালে বুলিয়ান বীজগণিত প্রবর্তন করেছিলেন ইংরেজ গণিতবিদ জর্জ বুলে (১৮১৫ - ১৮64৪), যিনি তখনকার একজন স্ব-শিক্ষিত পন্ডিত ছিলেন। তাঁর উদ্বেগটি অগাস্টাস ডি মরগান এবং উইলিয়াম হ্যামিল্টনের মধ্যে বিদ্যমান এই বিতর্কিত ব্যবস্থাকে যে পরামিতিগুলি সংজ্ঞায়িত করে তা নিয়ে বিদ্যমান বিরোধ থেকেই উঠেছিল।

জর্জ বুলে যুক্তি দিয়েছিলেন যে সংখ্যার মান 0 এবং 1 এর সংজ্ঞাটি যুক্তির ক্ষেত্রে যথাক্রমে নথিং এবং ইউনিভার্সের ব্যাখ্যার সাথে মিলে যায়।

জর্জ বুলের উদ্দেশ্য বীজগণিতের বৈশিষ্ট্যগুলির মাধ্যমে, বাইনারি ধরণের ভেরিয়েবলগুলি মোকাবেলা করার জন্য প্রয়োজনীয় প্রপোজাল লজিকের অভিব্যক্তি সংজ্ঞায়িত করা ছিল।

১৮৫৪ সালে বুলিয়ান বীজগণিতের সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য বিভাগগুলি "চিন্তার আইনগুলির একটি তদন্ত যার ভিত্তিতে যুক্তি ও সম্ভাবনার গাণিতিক তত্ত্বগুলি ভিত্তি করে" বইটিতে প্রকাশিত হয়েছিল।

এই কৌতূহলী শিরোনামটি পরে "চিন্তার আইন" ("চিন্তার আইনগুলি") হিসাবে সংক্ষেপিত হবে। এই সময়ের গাণিতিক সম্প্রদায়ের তাত্ক্ষণিক মনোযোগ পাওয়ার কারণে শিরোনামটি খ্যাতিতে উঠেছিল।

1948 সালে ক্লোড শ্যানন এটি বিস্টেবল বৈদ্যুতিক স্যুইচিং সার্কিটগুলির নকশায় প্রয়োগ করেছিলেন। এটি পুরো বৈদ্যুতিন-ডিজিটাল স্কিমের মধ্যে বুলিয়ান বীজগণিত প্রয়োগের ভূমিকা হিসাবে কাজ করেছিল।

গঠন

এই ধরণের বীজগণিতের প্রাথমিক মানগুলি 0 এবং 1 হয় যা যথাক্রমে FALSE এবং সত্যের সাথে মিল রয়েছে। বুলিয়ান বীজগণিতের মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলি 3:

- এবং অপারেশন বা সংমিশ্রণ। একটি সময় দ্বারা প্রতিনিধিত্ব (।)। পণ্যের প্রতিশব্দ।

- অথবা অপারেশন বা বিযুক্তি। একটি ক্রস দ্বারা প্রতিনিধিত্ব (+)। যোগফল প্রতিশব্দ।

- অপারেশন বা অবহেলা নয়। উপ (নয় এ) উপসর্গ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা। এটি পরিপূরক হিসাবেও পরিচিত।

যদি কোনও সেটটিতে অভ্যন্তরীণ রচনার 2 টি আইনকে পণ্য এবং যোগফল হিসাবে চিহ্নিত করা হয় (। +), তবে বলা হয় ট্রিপল (এ।) একটি বুলিয়ান বীজগণিত যদি এবং কেবল যদি বলা হয় ট্রিপল জালির শর্ত পূরণ করে তবে বিভাজক।

বিতরণকারী জালির সংজ্ঞা দিতে, বিতরণ শর্তাবলী প্রদত্ত ক্রিয়াকলাপগুলির মধ্যে অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

। যোগফল + এ সম্মানের সাথে বিতরণ করা হয় । (খ + সি) = (ক। খ) + (ক। গ)

+ পণ্য সম্মানের সাথে বিতরণ করা হয়। a + (b। c) = (a + b)। (একটি + গ)

যে উপাদানগুলি সেট এ সেট আপগুলি অবশ্যই বাইনারি হওয়া উচিত, এতে মহাবিশ্ব বা অকার্যকর মান থাকবে।

অ্যাপ্লিকেশন

এর মূল প্রয়োগের দৃশ্যটি হ'ল ডিজিটাল শাখা, যেখানে এটি যুক্তিযুক্ত অপারেশনগুলিকে জড়িত সার্কিটগুলি গঠনে কাজ করে। অনুকূলকরণ প্রক্রিয়াগুলির পক্ষে সার্কিট সরলতার শিল্পটি বুলিয়ান বীজগণিতের সঠিক প্রয়োগ এবং অনুশীলনের ফলাফল।

বৈদ্যুতিক প্যানেলগুলির বিস্তৃতি থেকে শুরু করে ডেটা সংক্রমণের মধ্য দিয়ে যাওয়া, বিভিন্ন ভাষায় প্রোগ্রামিং পৌঁছানো পর্যন্ত, আমরা প্রায়শই সব ধরণের ডিজিটাল অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে বুলিয়ান বীজগণিতটি খুঁজে পেতে পারি।

প্রোগ্রামিং গঠনে বুলিয়ান ভেরিয়েবলগুলি খুব সাধারণ common ব্যবহৃত প্রোগ্রামিং ভাষার উপর নির্ভর করে, কোডগুলিতে এই ভেরিয়েবলগুলি ব্যবহার করে কাঠামোগত ক্রিয়াকলাপ হবে। প্রতিটি ভাষার শর্তাবলী এবং যুক্তিগুলি বুলিয়ান ভেরিয়েবলগুলি প্রক্রিয়াগুলি সংজ্ঞায়িত করতে স্বীকার করে।

স্বীকার্য

এমন কিছু উপপাদ্য রয়েছে যা বুলিয়ান বীজগণিতের কাঠামোগত যৌক্তিক আইনকে পরিচালনা করে। একইভাবে, অপারেশন পরিচালিত উপর নির্ভর করে বাইনারি ভেরিয়েবলের বিভিন্ন সংমিশ্রণে সম্ভাব্য ফলাফলগুলি জানতে পোস্টুলেটস রয়েছে।

যোগফল (+)

যে ওআর অপারেটরের যৌক্তিক উপাদানটি ইউনিয়ন (ইউ) তা বাইনারি ভেরিয়েবলের জন্য নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

পণ্য (।)

অ্যান্ড অপারেটর যার যৌক্তিক উপাদানটি ছেদ (∩) হয় বাইনারি ভেরিয়েবলের জন্য নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

0। 0 = 0

0। 1 = 0

এক. 0 = 0

এক. 1 = 1

বিপরীতে (না)

নোট অপারেটর যার যৌক্তিক উপাদান পরিপূরক (এক্স) 'বাইনারি ভেরিয়েবলের জন্য নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে:

নং 0 = 1

1 = 0 নয়

প্রচলিত বীজগণিতের অনেকগুলিই তাদের সমকক্ষ থেকে পৃথক হয়। এটি ভেরিয়েবলগুলির ডোমেনের কারণে। উদাহরণস্বরূপ, বুলিয়ান বীজগণিত (1 + 1) তে মহাবিশ্ব উপাদান যুক্ত করা 2 এর প্রচলিত ফলাফল দিতে পারে না, কারণ এটি বাইনারি সংস্থার উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত নয়।

উপপাদ্য

শূন্য ও unityক্যের বিধি

বাইনারি ভেরিয়েবলের সাথে কোনও উপাদান জড়িত কোনও সাধারণ অপারেশন সংজ্ঞায়িত করা হয়:

0 + এ = এ

1 + এ = 1

0। এ = 0

এক. এ = এ

সমান শক্তি বা আদর্শশক্তি

সমান ভেরিয়েবলের মধ্যে অপারেশনগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়:

এ + এ = এ

প্রতি. এ = এ

Complementation

একটি ভেরিয়েবল এবং এর পরিপূরকগুলির মধ্যে যে কোনও ক্রিয়াকলাপটিকে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

এ + নং এ = 1

প্রতি. না এ = 0

অন্তর্ভুক্তি বা দ্বিগুণ অবহেলা

যে কোনও দ্বিগুণ প্রত্যাখ্যানকে প্রাকৃতিক পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা হবে।

নয় (না এ) = এ

বিনিময়

এ + বি = বি + এ; যোগফলের পরিবর্তনশীলতা।

প্রতি. খ = বি। প্রতি; পণ্যটির পরিবহনশীলতা।

মিশুক

এ + (বি + সি) = (এ + বি) + সি = এ + বি + সি; যোগফলের সহযোগিতা।

প্রতি. (বি সি) = (এ বি)। সি = এ বি সি; পণ্য সাহস।

বিভাজক

এ + (বি সি) = (এ + বি)। (এ + সি); পণ্যের সম্মানের সাথে যোগফলের বিতরণ tivity

প্রতি. (বি + সি) = (এ। বি) + (এ + সি); যোগফলের সাথে সম্মানের সাথে পণ্যটির বিতরণ।

শোষণ আইন

একাধিক তথ্যসূত্রগুলির মধ্যে অনেকগুলি শোষণ আইন রয়েছে, এর মধ্যে কয়েকটি সর্বাধিক পরিচিত:

প্রতি. (এ + বি) = এ

প্রতি. (না এ + বি) = এ বি

না এ (এ + বি) = না এ। বি

(এ + বি) (এ + নট বি) = এ

এ + এ খ = ক

এ + নয় এ। খ = এ + বি

নন এ + এ খ = নয় এ + বি

প্রতি. বি + এ নট বি = এ

মরগানের উপপাদ্য

এগুলি রূপান্তর আইন, যা বুলিয়ান বীজগণিত (+।) এর সংজ্ঞায়িত ক্রিয়াকলাপগুলির মধ্যে ইন্টারেক্ট করে এমন ভেরিয়েবলগুলির জুড়ি পরিচালনা করে।

নট (এ বি) = নয় এ + নন বি

না (এ + বি) = না এ। না

এ + বি = নয় (না এ + নয় বি)

প্রতি. বি = না (না এ। বি বি)

দ্বৈত

সমস্ত পোস্টুলেট এবং তত্ত্বগুলি দ্বৈত অনুষদের অধিকারী। এর থেকে বোঝা যায় যে ভেরিয়েবল এবং ক্রিয়াকলাপের বিনিময় দ্বারা ফলাফল প্রস্তাবিত যাচাই করা হয়। এটি হ'ল, 1 এর জন্য 0 এবং ওআর বা এর বিপরীতে 0 বিনিময় করার সময়; একটি অভিব্যক্তি তৈরি করা হয়েছে যা সম্পূর্ণ বৈধ হবে।

উদাহরণস্বরূপ যদি পোষ্টুলেট নেওয়া হয়

এক. 0 = 0

এবং দ্বৈততা প্রয়োগ করা হয়

0 + 1 = 1

আরেকটি পুরোপুরি বৈধ পোষ্টুলেট প্রাপ্ত হয় is

কর্নোখ মানচিত্র

করনো মানচিত্রটি বুলিয়ান বীজগণিতগুলিতে যৌক্তিক ক্রিয়াকলাপ সহজ করার জন্য ব্যবহৃত ডায়াগ্রাম। এটি প্রস্তাবিত যুক্তির সত্য সারণির অনুরূপ একটি দ্বি-মাত্রিক ব্যবস্থা নিয়ে গঠিত consists সত্যের টেবিলগুলি থেকে প্রাপ্ত তথ্যগুলি কর্নোখের মানচিত্রে সরাসরি ক্যাপচার করা যায়।

কর্নোখের মানচিত্রে 6 টি পর্যন্ত ভেরিয়েবলের প্রক্রিয়া সমন্বিত করা যায়। উচ্চতর সংখ্যক ভেরিয়েবল সহ ফাংশনগুলির জন্য, প্রক্রিয়াটি সহজ করার জন্য সফ্টওয়্যার ব্যবহারের পরামর্শ দেওয়া হয়।

১৯৫৩ সালে মরিস কর্নহো দ্বারা প্রস্তাবিত, এটি বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে একটি স্থির হাতিয়ার হিসাবে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, কারণ এর বাস্তবায়ন ডিজিটাল প্রক্রিয়াগুলির তরলতার একটি মূল দিক বুলিয়ান অভিব্যক্তিগুলি সরলকরণের প্রয়োজনের সাথে মানুষের সম্ভাবনাকে সমন্বিত করে।

উদাহরণ

বুলিয়ান বীজগণিতটি একটি সার্কিটের লজিক গেটগুলি হ্রাস করতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে সার্কিটের জটিলতা বা স্তরটিকে তার সর্বনিম্ন সম্ভাব্য অভিব্যক্তিতে আনা প্রাধান্য দেয়। এটি প্রতিটি গেটটি গণনা করে যে বিলম্বের কারণে ঘটে।

নিম্নলিখিত উদাহরণে আমরা বুলিয়ান বীজগণিতের উপপাদাগুলি এবং পোস্টুলেটগুলি ব্যবহার করে এর ন্যূনতম অভিব্যক্তিতে যৌক্তিক অভিব্যক্তির সরলকরণ পর্যবেক্ষণ করব।

নয় (এবি + এ + বি)। না (এ + নয় বি)

না. না (এ + নট বি); একটি সাধারণ ফ্যাক্টর সহ ফ্যাক্টরিং এ।

না. না (এ + নট বি); উপপাদ্য এ + 1 = 1 দ্বারা।

নয় (এ + বি)। না (এ + নট বি); উপপাদ্য এ দ্বারা 1 = এ

(না এ। নয় বি)।;

মরগানের উপপাদ্য নয় (এ + বি) = না এ। না

(না এ। নয় বি)। (নং এ বি); দ্বিগুণ প্রত্যাখ্যানের মাধ্যমে উপপাদ্য নয় (না এ) = এ

না এ। না. না এ। বি; বীজগণিত গ্রুপিং।

না এ। না এ। না. বি; পণ্যের এ পরিবহণের এ। খ = বি। প্রতি

না এ। না. বি; উপপাদ্য এ। এ = এ

না এ। 0; উপপাদ্য এ। না এ = 0

0; উপপাদ্য এ। 0 = 0

প্রতি. বি সি + নন এ + এ না. সি

প্রতি. সি (বি + নট বি) + নং এ; একটি সাধারণ উপাদান সহ ফ্যাক্টরিং (এ। সি)।

প্রতি. সি (1) + নয় এ; উপপাদ্য এ + নন এ = 1 দ্বারা

প্রতি. সি + নট এ; শূন্য উপপাদ্য এবং unityক্যের বিধি দ্বারা 1। এ = এ

নন এ + সি; মরগান এ + নন এ এর ​​আইন অনুসারে খ = এ + বি

এই সমাধানের জন্য, মরগানের আইন সংজ্ঞায়িত করার জন্য বাড়ানো উচিত:

না (না এ) সি + নট এ = নট এ + সি

কারণ (নোট এ) = আক্রমণের মাধ্যমে।

যুক্তি ফাংশন সরল করুন

না এ। না. নট সি + নন এ। না. সি + নং এ। এটির সর্বনিম্ন অভিব্যক্তিতে নামবে না

না এ। না. (না সি + সি) + নয় এ। সি না; সাধারণ ফ্যাক্টর সহ ফ্যাক্টরিং (না এ। বি বি)

না এ। না. (1) + না এ। সি না; উপপাদ্য এ + নন এ = 1 দ্বারা

(না। এ। নন্ট বি) + (নট এ। নট সি); শূন্য উপপাদ্য এবং unityক্যের বিধি দ্বারা 1। এ = এ

না এ (নট বি + নট সি); একটি সাধারণ কারণের সাথে ফ্যাক্টরিং নং এ

না এ। নট (বি সি); মরগান আইনগুলি দ্বারা (এ বি) = না এ + নয় বি

না মর্গান আইন দ্বারা নয় (উ: বি) = না + + না বি

সাহসী 4 টি বিকল্পের যে কোনওটি সার্কিটের স্তর হ্রাস করার একটি সম্ভাব্য সমাধান উপস্থাপন করে

লজিকাল ফাংশনটিকে এর সহজতম ফর্মটিতে সরল করুন

(এ। বি। সি। সি। এ। নন। বি। ডি + নট এ। নয় বি)) সি

(এ। বি। সি + এ। ০. ডি + নট এ। নন বি)। সি; উপপাদ্য এ। না এ = 0

(এ। বি। সি + ০ + নং এ। নন বি)। সি; উপপাদ্য এ। 0 = 0

(এ। বি। সি। নট এ। নন বি)। সি; উপপাদ্য দ্বারা A + 0 = A

প্রতি. না. সি সি + নং এ। না. সি; যোগফলের সাথে সম্মানের সাথে পণ্য বিতরণ করে

প্রতি. না. সি + নং এ। না. সি; উপপাদ্য এ। এ = এ

না. সি (এ + নট এ) ; সাধারণ ফ্যাক্টর সহ ফ্যাক্টরিং (নট বি সি)

না. সি (1); উপপাদ্য এ + নন এ = 1 দ্বারা

না. সি; শূন্য উপপাদ্য এবং unityক্যের বিধি দ্বারা 1। এ = এ

তথ্যসূত্র

1. বুলিয়ান বীজগণিত এবং এর প্রয়োগসমূহ জে। এলডন হোয়াইটসিত। কন্টিনেন্টাল পাবলিশিং সংস্থা, ১৯৮০
2. কম্পিউটার বিজ্ঞানে গণিত ও প্রকৌশল। ক্রিস্টোফার জে ভ্যান উইক। ইনস্টিটিউট ফর কম্পিউটার সায়েন্সেস অ্যান্ড টেকনোলজি। জাতীয় মান ব্যুরো। ওয়াশিংটন, ডিসি 20234
3. কম্পিউটার বিজ্ঞানের জন্য গণিত। এরিক লেহম্যান। গুগল ইনক।

   এফ থমসন লাইটন গণিত বিভাগ এবং কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং এআই পরীক্ষাগার, ম্যাসাচুসেটস ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি; আকামাই টেকনোলজিস।

4. বিমূর্ত বিশ্লেষণের উপাদানসমূহ। মাচেল ও'সার্কয়েড পিএইচডি। গণিত বিভাগ। বিশ্ববিদ্যালয় কলেজ ডাবলিন, বেলফিল্ড, ডাবলিন্ড।
5. যুক্তি এবং অনুদান বিজ্ঞানের পদ্ধতি সম্পর্কে পরিচিতি। আলফ্রেড তারস্কি, নিউ ইয়র্ক অক্সফোর্ড। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস.