চতুর্ভুজ ক্রম: উদাহরণ, নিয়ম এবং সমাধান অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

দ্বিঘাত successions, গাণিতিক পদ, সংখ্যা যে একটি নির্দিষ্ট নিয়ম গাণিতিক অনুসরণ ক্রমের দ্বারা গঠিত। কোনও ক্রমের শর্তাবলী নির্ধারণের জন্য এই বিধিটি জানা আকর্ষণীয়।

এটি করার একটি উপায় হ'ল দুটি ধারাবাহিক শর্তাবলীর মধ্যে পার্থক্য নির্ধারণ করা এবং প্রাপ্ত মানটি সর্বদা পুনরুক্ত হয় কিনা তা দেখুন। যখন এটি হয়, এটি নিয়মিত ক্রম বলে।

সংখ্যা ক্রম সংখ্যার ক্রম সংগঠিত করার একটি উপায়। সূত্র: pixabay.com

তবে যদি এটি নিজেই পুনরাবৃত্তি না করে তবে আপনি পার্থক্যগুলির মধ্যে পার্থক্যটি পরীক্ষা করে দেখতে চেষ্টা করতে পারেন যে এই মানটি স্থির কিনা। যদি তাই হয় তবে এটি চতুর্ভুজ ক্রম ।

নিয়মিত ক্রম এবং চতুর্ভুজ ক্রমের উদাহরণ

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি এ পর্যন্ত কী ব্যাখ্যা করা হয়েছে তা পরিষ্কার করতে সহায়তা করে:

নিয়মিত উত্তরাধিকারের উদাহরণ

অনুক্রমটি এস = {4, 7, 10, 13, 16, ……, যাক

এই ক্রমটি, এস দ্বারা চিহ্নিত, এটি একটি অসীম সংখ্যা সেট, পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে।

এটি দেখা যায় যে এটি একটি নিয়মিত ক্রম, কারণ প্রতিটি শব্দটি পূর্ববর্তী শব্দ বা উপাদানটিতে 3 যোগ করে প্রাপ্ত হয়:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

অন্য কথায়: এই ক্রমটি নিয়মিত কারণ পরবর্তী পদ এবং পূর্ববর্তীটির মধ্যে পার্থক্য একটি নির্দিষ্ট মান দেয়। প্রদত্ত উদাহরণে এই মানটি 3।

পূর্ববর্তী পদে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ যুক্ত করে যে নিয়মিত ক্রমগুলি পাওয়া যায় তাদের গাণিতিক অগ্রগতিও বলা হয়। এবং পার্থক্য-কনস্ট্যান্ট- ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে অনুপাত বলা হয় এবং তাকে আর হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

নিয়মিত এবং চতুর্ভুজ ক্রমের উদাহরণ

এখন নিম্নলিখিত ক্রম দেখুন:

এস = {2, 6, 12, 20, 30,…।}

যখন ক্রমাগত পার্থক্য গণনা করা হয়, নিম্নলিখিত মানগুলি পাওয়া যায়:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

তাদের পার্থক্যগুলি স্থির নয়, সুতরাং এটি বলা যেতে পারে যে এটি একটি নিয়মিত অনুক্রম নয়।

তবে, আমরা যদি পার্থক্যের সেট বিবেচনা করি তবে আমাদের আরও একটি ধারা রয়েছে, যা এস _ডিফ হিসাবে চিহ্নিত করা হবে:

এস _ডিফ = = 4, 6, 8, 10,…।}

এই নতুন ক্রমটি প্রকৃতপক্ষে একটি নিয়মিত ক্রম, যেহেতু প্রতিটি শব্দটি পূর্বেরটির সাথে স্থির মান R = 2 যোগ করে প্রাপ্ত হয়। এজন্য আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে এস একটি চতুষ্কোণ ক্রম।

চতুর্ভুজ ক্রম নির্মানের জন্য সাধারণ নিয়ম

চতুর্ভুজ ক্রম তৈরির জন্য একটি সাধারণ সূত্র রয়েছে:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

এই সূত্রে, টি _এন অনুক্রমের অবস্থান n এ পদটি। এ, বি এবং সি নির্ধারিত মান, যখন n একে একে আলাদা হয়, যা, 1, 2, 3, 4,…

পূর্ববর্তী উদাহরণ A = 1, বি = 1 এবং সি = 0 এর ক্রম এস। সেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে সূত্রটি সমস্ত পদ তৈরি করে: টি _এন = এন ² + এন

ঐটাই বলতে হবে:

টি ₁ = 1 ² + 1 = 2

টি ₂ = 2 ² + 2 = 6

টি ₃ = 3 ² + 3 = 12

টি ₅ = 5 ² + 5 = 30

টি _এন = এন ² + এন

চতুর্ভুজ ক্রমের দুটি টানা শর্তের মধ্যে পার্থক্য

টি _{এন + 1} - টি _এন = -

উল্লেখযোগ্য পণ্যের মাধ্যমে অভিব্যক্তি বিকাশ অবধি:

টি _{এন + 1} - টি _এন = এ ∙ এন ² + এ ∙ 2 ∙ এন + এ + বি ∙ এন + বি + সি - এ ∙ n ² - বি ∙ n - সি

এটিকে সরল করে আপনি পাবেন:

টি _{এন + 1} - টি _এন = 2 ∙ এ ∙ এন + এ + বি

এটি এমন সূত্র যা পার্থক্যগুলিকে এস _{ডিফের} ক্রম দেয় যা এইভাবে লেখা যেতে পারে:

ডিফ _এন = এ ∙ (2 এন + 1) + বি

যেখানে স্পষ্টভাবে পরের শব্দটি 2 ∙ কখনও কখনও আগেরটি হয়। অর্থাৎ পার্থক্য এস ক্রম অনুপাত _{পরিবর্তন} হল: আর = 2 ∙ এ

চতুর্ভুজ ক্রমের সমস্যার সমাধান olved

অনুশীলনী 1

অনুক্রমটি এস = {1, 3, 7, 13, 21, ……, হোক} নির্ধারণ করুন যদি:

i) এটা কি নিয়মিত কিনা?

ii) এটি চতুষ্কোণ বা না

iii) এটি চতুর্ভুজ ছিল, পার্থক্যের ক্রম এবং তাদের অনুপাত ratio

উত্তর

i) আসুন নিম্নলিখিত এবং পূর্ববর্তী শর্তগুলির মধ্যে পার্থক্য গণনা করা যাক:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে সিকোয়েন্স এসটি নিয়মিত নয়, কারণ ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে পার্থক্য স্থির নয়।

ii) পার্থক্যগুলির ক্রমটি নিয়মিত, কারণ এর পদগুলির মধ্যে পার্থক্যটি স্থির মান 2 Therefore

iii) আমরা ইতিমধ্যে নির্ধারণ করেছি যে এসটি চতুষ্কোণ, পার্থক্যের ক্রমটি হ'ল:

এস _ডিফ = = 2, 4, 6, 8,…} এবং এর অনুপাত আর = 2 =

অনুশীলন 2

পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে S = {1, 3, 7, 13, 21, …… the ক্রমটি যাক, যেখানে এটি পরীক্ষিত ছিল যে এটি চতুর্ভুজযুক্ত। নির্ধারণ করুন:

i) সূত্র যা সাধারণ শব্দটি টি _এন নির্ধারণ করে _।

ii) তৃতীয় এবং পঞ্চম পদটি পরীক্ষা করুন।

iii) দশম পদটির মান।

উত্তর

i) টি _এন এর সাধারণ সূত্র হল A A n ² + B B n + C + তারপরে এটি এ, বি এবং সি এর মানগুলি জানা যায় remains

পার্থক্যগুলির ক্রমটি অনুপাত 2 রয়েছে Furthermore তদ্ব্যতীত, যে কোনও চতুর্ভুজ অনুক্রমের জন্য পূর্ববর্তী বিভাগগুলিতে দেখানো হিসাবে অনুপাত আর 2 ∙ A হয়।

আর = 2 ∙ এ = 2 যা আমাদের এ = 1 উপসংহারে নিয়ে যায়।

পার্থক্যের ক্রমের প্রথম পদটি এস _ডিফ 2 এবং এটি অবশ্যই এন 1 (2 এন + 1) + বি, এন = 1 এবং এ = 1 সহ সন্তুষ্ট করতে হবে:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + বি

বি আমরা পেয়েছি এর জন্য সমাধান: বি = -1

তারপরে এস (এন = 1) এর প্রথম পদটির মূল্য 1, যা: 1 = এ ∙ 1 ² + বি ∙ 1 + সি হিসাবে আমরা ইতিমধ্যে জানি যে A = 1 এবং বি = -1, প্রতিস্থাপন করে আমাদের কাছে রয়েছে:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + সি

সি এর জন্য সমাধান করা আমরা এর মান পাই: সি = 1।

সংক্ষেপে:

এ = 1, বি = -1 এবং সি = 1

তারপরে নবম পদটি হবে টি _এন = এন ² - এন + 1

ii) তৃতীয় শব্দ টি ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 এবং এটি যাচাই করা হয়েছে। পঞ্চম টি ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 যা যাচাইও করা হয়।

iii) দশম পদটি টি ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91 হবে।

অনুশীলন 3

অনুশীলনের জন্য ক্ষেত্রগুলির সিকোয়েন্স ৩. উত্স: নিজস্ব বিস্তৃতি।

চিত্রটি পাঁচটি চিত্রের ক্রম দেখায় shows ল্যাটিস দৈর্ঘ্যের একককে উপস্থাপন করে।

i) পরিসংখ্যানগুলির ক্ষেত্রের জন্য ক্রম নির্ধারণ করুন।

ii) দেখান যে এটি একটি চতুর্ভুজ ক্রম।

iii) চিত্র # 10 এর ক্ষেত্রটি সন্ধান করুন (দেখানো হয়নি)।

উত্তর

i) পরিসংখ্যানের ক্রমের ক্ষেত্রের সাথে সম্পর্কিত সিকোয়েন্স এস:

এস = {0, 2, 6, 12, 20,. । । । । }

ii) এস এর পদগুলির ক্রমাগত পার্থক্যের সাথে সম্পর্কিত ক্রমটি হ'ল:

এস _ডিফ = {2, 4, 6, 8,. । । । । }

যেহেতু একটানা শর্তাবলীর মধ্যে পার্থক্য স্থির নয়, তাই এস নিয়মিত ক্রম নয়। এটি চতুর্ভুজ কিনা তা এখনও অবধি জানা যায় নি, যার জন্য আমরা আবারও পার্থক্যগুলির ক্রমটি করি, প্রাপ্ত করে:

{2, 2, 2, ……।}

যেহেতু সিকোয়েন্সের সমস্ত পদ পুনরাবৃত্তি করে, এটি নিশ্চিত হয়ে গেছে যে এস একটি চতুর্ভুজ ক্রম।

গ) ক্রম এস _DIF নিয়মিত এবং তার অনুপাত আর 2. সমীকরণ আর = 2 ∙ একটি উপরে দেখানো ব্যবহার করছে, এটা অবশেষ:

2 = 2 ∙ এ, যা বোঝায় যে এ = 1।

পার্থক্য এস ক্রম দ্বিতীয় মেয়াদে _{পার্থক্য} 4 হয় এবং S এর n তম মেয়াদ _{পার্থক্য} হল

এ ∙ (2 এন + 1) + বি

দ্বিতীয় পদটিতে n = 2 রয়েছে। তদ্ব্যতীত, এটি ইতিমধ্যে নির্ধারণ করা হয়েছে যে A = 1, সুতরাং পূর্ববর্তী সমীকরণ এবং বিকল্প ব্যবহার করে আমাদের কাছে:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + বি

বি এর জন্য সমাধান করা, আমরা পাই: বি = -1।

এটি পরিচিত যে এস এর দ্বিতীয় টার্মের মূল্য 2, এবং এটি অবশ্যই n = 2 দিয়ে সাধারণ পদটির সূত্রটি পূরণ করতে হবে:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; এ = 1; খ = -1; টি ₂ = 2

ঐটাই বলতে হবে

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + সি

এটি সি = 0 এ সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে যে সূত্রটি সিকোয়েন্সের সাধারণ শব্দটি দেয় যা হ'ল:

টি _এন = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = এন ² - এন

এখন পঞ্চম পদটি যাচাই করা হয়েছে:

টি ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) চিত্র # 10, যা এখানে অঙ্কিত হয়নি, এর সিকোয়েন্সের দশম পদের সাথে সম্পর্কিত ক্ষেত্র থাকবে:

টি ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

তথ্যসূত্র

1. https://www.geogebra.org