পদার্থবিজ্ঞানের ট্রাজেক্টোরি: বৈশিষ্ট্য, প্রকার, উদাহরণ এবং অনুশীলন - শারীরিক - 2024

পদার্থবিদ্যা গ্রহনক্ষত্রের নির্দিষ্ট আবক্র পথ বক্ররেখা যে একটি মোবাইল বর্ণনা যেমন তার আন্দোলনের সময় ধারাবাহিক পয়েন্ট মাধ্যমে প্রেরণ করা হয়। যেহেতু এটি অনেকগুলি রূপ নিতে পারে, তাই মোবাইল অনুসরণ করতে পারে এমন ট্রাজেক্টরিগুলিও।

এক জায়গা থেকে অন্য জায়গায় যাওয়ার জন্য, ব্যক্তি বিভিন্ন পথ এবং বিভিন্ন উপায়ে নিতে পারেন: রাস্তায় এবং পথের ফুটপাত দিয়ে পায়ে হেঁটে, বা একটি মহাসড়কে গাড়ি বা মোটরসাইকেলে পৌঁছে যেতে পারেন। বনের মধ্য দিয়ে হেঁটে যাওয়ার সময়, হাইকার একটি জটিল পথ অনুসরণ করতে পারে যার মধ্যে পালা, স্তরে ও নীচে এবং এমনকি একই পয়েন্টটি বেশ কয়েকবার অতিক্রম করা অন্তর্ভুক্ত থাকে includes

চিত্র 1. প্রতিটি অবস্থান ভেক্টরের শেষ পয়েন্টগুলি একত্রিত করে কণা অনুসরণকারী পাথ প্রাপ্ত হয়। সূত্র: আলগারাবিয়া

মোবাইল যে পয়েন্টগুলির মাধ্যমে মোবাইল ভ্রমণ করছে সেগুলি যদি একটি সরলরেখার অনুসরণ করে, তবে ট্রাজেক্টোরিটি পুনরায় পাঠ্য হবে। এটি সহজতম পথ, কারণ এটি এক-মাত্রিক। অবস্থান নির্দিষ্ট করার জন্য একটি একক স্থানাঙ্কের প্রয়োজন।

তবে মোবাইলটি বন্ধ বা খোলা থাকতে সক্ষম হয়ে একটি বক্ররেখার পথ অনুসরণ করতে পারে। এই ক্ষেত্রে, অবস্থানটি সন্ধান করতে দুই বা তিন স্থানাঙ্কের প্রয়োজন। এগুলি যথাক্রমে বিমান এবং মহাকাশে চলাচল। এটি লিঙ্কগুলির সাথে করতে হবে: চলাচলের উপাদানের শর্ত সীমিত করে। কয়েকটি উদাহরণ হ'ল:

- সূর্যের চারপাশে যে গ্রহগুলি বর্ণনা করে তার কক্ষপথগুলি একটি উপবৃত্তাকার আকারে বন্ধ পথ রয়েছে। যদিও, কিছু ক্ষেত্রে, এগুলি পৃথিবীর ক্ষেত্রে যেমন একটি বিজ্ঞপ্তি হিসাবে প্রায় করা যেতে পারে।

- গোলরক্ষক একটি গোল কিকের সাথে যে বলটি লিক করে তা একটি প্যারাবোলিক ট্র্যাজেক্টরি অনুসরণ করে।

- ফ্লাইটের একটি পাখি মহাকাশে কার্ভিলাইনার ট্রাজেক্টোরিগুলি বর্ণনা করে, কারণ একটি বিমানে চলা ছাড়াও, এটি ইচ্ছায় স্তরে বা নীচে যেতে পারে।

মোবাইলের অবস্থান যে কোনও সময় তাত্ক্ষণিকভাবে জানা গেলে পদার্থবিদ্যার ট্র্যাজেক্টরিটি গাণিতিকভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। আসুন অবস্থান ভেক্টর হিসাবে আসুন, যার পরিবর্তে ত্রিমাত্রিক গতির সর্বাধিক সাধারণ ক্ষেত্রে x, y এবং z স্থানাংক থাকে। R (t) ফাংশনটি জেনে ট্রাজেক্টোরি সম্পূর্ণ নির্ধারণ করা হবে।

প্রকারভেদ

সাধারণ কথায়, ট্রাজেক্টোরিটি একটি জটিল বাঁকানো হতে পারে, বিশেষত যদি আপনি এটি গাণিতিকভাবে প্রকাশ করতে চান। এই কারণে, এটি সহজতম মডেলগুলির সাথে শুরু হয়, যেখানে মোবাইলগুলি সরলরেখায় বা একটি বিমানে ভ্রমণ করে, যা মেঝে বা অন্য কোনও উপযুক্ত হতে পারে:

এক, দুই এবং তিন মাত্রায় চলাচল

সর্বাধিক অধ্যয়নকৃত ট্রাজেক্টোরিগুলি হ'ল:

- রেকটিলাইনার, যখন কোনও সোজা অনুভূমিক, উল্লম্ব বা ঝুঁকির লাইনে ভ্রমণ করা হয়। উল্লম্বভাবে উপরের দিকে ছুঁড়ে দেওয়া একটি বল এই পথটি অনুসরণ করে, বা কোনও প্রান্তের নীচে সরানো কোনও বস্তু অনুসরণ করে। তারা এক-মাত্রিক আন্দোলন, একক সমন্বয় তাদের অবস্থান পুরোপুরি নির্ধারণের জন্য যথেষ্ট being

- অধিবৃত্তসদৃশ, যা মোবাইল একটি অধিবৃত্ত চাপ বর্ণনা করা হয়েছে। এটি ঘন ঘন, যেহেতু মাধ্যাকর্ষণ ক্রিয়াকলাপের (কোনও অনুমান) তির্যকভাবে নিক্ষিপ্ত যে কোনও বস্তু এই পথটিকে অনুসরণ করে। মোবাইলের অবস্থান নির্দিষ্ট করতে আপনাকে দুটি এবং স্থানাঙ্ক দিতে হবে: এক্স এবং y।

- বিজ্ঞপ্তি, যখন সঞ্চালিত কণা একটি বৃত্ত অনুসরণ করে। এটি প্রকৃতিতে এবং প্রতিদিনের অনুশীলনেও প্রচলিত। অনেকগুলি দৈনন্দিন জিনিস কয়েকটি উদাহরণ দেওয়ার জন্য টায়ার, যন্ত্রপাতি যন্ত্রাংশ এবং প্রদক্ষিণের উপগ্রহগুলির মতো বৃত্তাকার পথ অনুসরণ করে।

- উপবৃত্তাকার, অববৃত্তের পরে অবজেক্টটি সরে যায়। শুরুতে যেমন বলা হয়েছিল, এটি সেই পথ যা অনুসরণ করে গ্রহগুলি সূর্যের প্রদক্ষিণ করে।

- হাইপারবোলিক, একটি কেন্দ্রীয় শক্তি (মহাকর্ষ) এর ক্রিয়াকলীন জ্যোতির্বিদ্যা সংক্রান্ত পদার্থগুলি উপবৃত্তাকার (বদ্ধ) বা হাইপারবোলিক (উন্মুক্ত) ট্র্যাজেক্টরিগুলি অনুসরণ করতে পারে, এটি পূর্বের তুলনায় কম ঘন ঘন হয়।

- হেলিক্যাল বা সর্পিল গতিবিধি, যেমন কোনও তাপীয় স্রোতে আরোহণকারী পাখির মতো।

- স্বয় বা পেনডুলাম, মোবাইল পিছনে এবং সামনের গতিবিধিতে একটি চাপকে বর্ণনা করে।

উদাহরণ

পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত ট্র্যাজেক্টরিজগুলি কোনও বস্তু কীভাবে চলাচল করছে তা দ্রুত ধারণা পেতে খুব দরকারী। যে কোনও ক্ষেত্রে, এটি স্পষ্ট করে বলা দরকার যে কোনও মোবাইলের ট্রাজেক্টরি পর্যবেক্ষকের অবস্থানের উপর নির্ভর করে। এর অর্থ হ'ল প্রতিটি ইভেন্ট যেখানে রয়েছে তার উপর নির্ভর করে একই ইভেন্টটি বিভিন্ন উপায়ে দেখা যায়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি মেয়ে একটি ধ্রুবক গতিতে পেডেল করে এবং একটি বল উপরের দিকে ছুড়ে দেয়। তিনি লক্ষ্য করেছেন যে বলটি সোজা পথ অনুসরণ করে।

যাইহোক, রাস্তায় দাঁড়িয়ে থাকা একজন পর্যবেক্ষকের জন্য যিনি এটি কেটে দেখেন, বলটির একটি প্যারাবোলিক নড়াচড়া থাকে। তার জন্য, বলটি প্রথমে একটি বাঁকানো গতি দিয়ে নিক্ষেপ করা হয়েছিল, মেয়ের হাতের সাথে সাইকেলের গতি দ্বারা upর্ধ্বমুখী গতির ফলস্বরূপ।

চিত্র ২. এই অ্যানিমেশনটি কোনও মেয়েকে বাইসাইকেল চালিয়ে তৈরি করা বলের উল্লম্ব নিক্ষেপ দেখায়, যেহেতু সে এটি দেখায় (আবৃত্তিকারী ট্র্যাজেক্টোরি) এবং একজন পর্যবেক্ষক এটি (প্যারাবোলিক ট্র্যাজেক্টোরি) দেখেন। (এফ। জাপাটা প্রস্তুত)।

সুস্পষ্ট, অন্তর্নিহিত এবং প্যারামিট্রিক উপায়ে কোনও মোবাইলের পথ

- স্পষ্টত, সরাসরি সমীকরণ y (x) দ্বারা প্রদত্ত বক্র বা লোকস নির্দিষ্ট করে

- অন্তর্নিহিত, যাতে একটি বক্ররেখকে f (x, y, z) = 0 হিসাবে প্রকাশ করা হয়

- প্যারামেট্রিক, এইভাবে স্থানাঙ্কগুলি x, y এবং z একটি প্যারামিটারের ফাংশন হিসাবে দেওয়া হয় যা সাধারণভাবে টাইম টি হিসাবে বেছে নেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে, ট্র্যাজেক্টোরিটি ফাংশনগুলি দ্বারা গঠিত: x (টি), y (টি) এবং জেড (টি)।

এরপরে, গতিবিদ্যায় ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা দুটি ট্র্যাজেক্টোরির বিস্তারিত রয়েছে: প্যারাবোলিক ট্র্যাজেক্টোরি এবং বৃত্তাকার ট্রাজেক্টোরি।

শূন্য মধ্যে launchালু লঞ্চ

একটি বস্তু (প্রজেক্ট) অনুভূমিক সঙ্গে একটি কোণের একটি এবং প্রাথমিক বেগ সঙ্গে নিক্ষিপ্ত হয় বনাম _ণ যেমন ছবিতে দেখানো হয়েছে। বায়ু প্রতিরোধের বিষয়টি আমলে নেওয়া হয় না। আন্দোলনটিকে দুটি স্বতন্ত্র এবং যুগপত আন্দোলন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে: একটি ধ্রুবক গতির সাথে অনুভূমিক এবং অন্যটি মহাকর্ষের ক্রিয়নের অধীনে উল্লম্ব।

এই সমীকরণগুলি প্রজেক্টাইল লঞ্চের প্যারামেট্রিক সমীকরণ। উপরে বর্ণিত হিসাবে, তাদের একটি সাধারণ প্যারামিটার টি রয়েছে, যা সময়।

চিত্রটিতে ডান ত্রিভুজটিতে নিম্নলিখিতটি দেখা যাবে:

চিত্র 3. প্যারাবোলিক ট্রাজেক্টোরির পরে একটি অনুমান হয়, যার মধ্যে বেগ ভেক্টরের উপাদানগুলি প্রদর্শিত হয়। এইচ সর্বোচ্চ উচ্চতা এবং আর সর্বাধিক অনুভূমিক প্রান্ত। সূত্র: আয়ুষ 12গুপ্ত

প্যারামেট্রিক সমীকরণের ফলাফলগুলিতে লঞ্চ কোণ যুক্ত এই সমীকরণগুলি প্রতিস্থাপন:

প্যারাবোলিক পথের সমীকরণ

পথের স্পষ্ট সমীকরণটি x (টি) এর সমীকরণ থেকে টি সমাধান করে এবং y (টি) এর সমীকরণে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে পাওয়া যায়। বীজগণিতের কাজের সুবিধার্থে, এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে উত্স (0,0) লঞ্চ পয়েন্টে অবস্থিত এবং সুতরাং x _o = y _o = 0।

এটি সুস্পষ্ট আকারে পথের সমীকরণ।

বৃত্তাকার পথ

একটি বৃত্তাকার পথ দেওয়া হয়:

চিত্র ৪. একটি কণা বিমানে বৃত্তাকার পথে চলাচল করে। উত্স: উইকিমিডিয়া কমন্স থেকে এফ.জাপাটা সংশোধিত।

এখানে x _বা yy _o মোবাইল দ্বারা বর্ণিত পরিধিটির কেন্দ্রকে উপস্থাপন করে এবং আর এর ব্যাসার্ধ। পি (x, y) পথের একটি বিন্দু। শেডযুক্ত ডান ত্রিভুজ (চিত্র 3) থেকে এটি দেখা যায় যে:

প্যারামিটার, এক্ষেত্রে, অবিচ্ছিন্ন কোণ angle, যাকে কৌণিক স্থানচ্যুতি বলা হয়। বিশেষ ক্ষেত্রে যে কৌণিক গতিবেগ ω (প্রতি ইউনিটের সময় কোণে প্রবাহিত হয়) ধ্রুবক, এটি বলা যেতে পারে যে:

Θ _o কণার প্রাথমিক কৌণিক অবস্থান যেখানে 0 হিসাবে নেওয়া হয় তা হ্রাস করে:

এই ক্ষেত্রে, সময়টি প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণগুলিতে ফিরে আসে:

ইউনিট ভেক্টর i এবং j কোনও বস্তুর r (t) এর অবস্থান ফাংশন লেখার জন্য খুব সুবিধাজনক । তারা যথাক্রমে x- অক্ষ এবং y- অক্ষের দিক নির্দেশ করে। এর শর্তাদিতে, একটি ইউনিফর্ম সার্কুলার মোশন বর্ণনা করে এমন একটি কণার অবস্থান:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

সমাধান ব্যায়াম

সমাধান ব্যায়াম 1

একটি কামান 200 মি / সেকেন্ডের গতিবেগ এবং অনুভূমিকের সাথে 40º কোণের একটি গুলি দিয়ে গুলি চালাতে পারে। যদি নিক্ষেপ সমতল ভূমিতে থাকে এবং বায়ু প্রতিরোধের অবহেলিত থাকে, সন্ধান করুন:

ক) পথের সমীকরণ y (x)..

খ) প্যারামেট্রিক সমীকরণ x (টি) এবং y (টি)।

গ) অনুভূমিক পরিসর এবং সময়টি বায়ুমণ্ডলে স্থিরভাগ থাকে।

d) x = 12,000 মিটারের উচ্চতা যেখানে প্রক্ষিপ্ত হয়

সমাধান)

ক) ট্রাজেক্টোরিটি খুঁজতে, পূর্ববর্তী বিভাগের সমীকরণ y (x) এ দেওয়া মানগুলি প্রতিস্থাপন করা হয়:

সমাধান খ)

খ) লঞ্চ পয়েন্টটি স্থানাঙ্ক পদ্ধতির উত্সতে নির্বাচিত হয়েছে (0,0):

সমাধান গ)

গ) প্রক্ষেপণটি বাতাসে স্থিত হয় এমন সময়টির জন্য y (t) = 0 যাক, যেখানে সমতল ভূমিতে লঞ্চটি করা হয়:

X (টি) এ এই মানটি স্থাপন করে সর্বাধিক অনুভূমিক প্রান্তটি পাওয়া যায়:

সরাসরি এক্স _{সর্বাধিক সন্ধানের} অন্য উপায় হ'ল পথের সমীকরণে y = 0 নির্ধারণ করা:

দশমিকের বৃত্তাকার কারণে একটি সামান্য পার্থক্য রয়েছে।

সমাধান d)

d) x = 12000 মিটারের উচ্চতা সন্ধান করতে, এই মানটি সরাসরি পথের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা হয়:

অনুশীলন সমাধান 2

কোনও অবজেক্টের অবস্থান ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়:

r (t) = 3t i + (4 -5t ²) j m

অনুসন্ধান:

ক) পথের সমীকরণ। এটা কি বক্ররেখা?

খ) প্রাথমিক অবস্থান এবং অবস্থান যখন টি = 2 এস।

গ) টি = 2 এর পরে স্থানচ্যুতি

সমাধান

ক) অবস্থান ফাংশনটি ইউনিট ভেক্টর i এবং j এর ক্ষেত্রে দেওয়া হয়েছে, যা যথাক্রমে x এবং y অক্ষের দিক নির্ধারণ করে:

Y (x) পথের সমীকরণটি x (t) থেকে t সমাধান করে y (t) এ স্থির করে পাওয়া যায়:

খ) প্রাথমিক অবস্থানটি হ'ল: r (2) = 4 জে এম; t = 2 s এ অবস্থানটি r (2) = 6 আই -16 জে মি

গ) স্থানচ্যুতি ডি আর দুটি অবস্থান ভেক্টরের বিয়োগফল:

অনুশীলন সমাধান 3

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ আর = 6300 কিলোমিটার এবং এটি জানা যায় যে এটির অক্ষের চারপাশে তার গতিপথের আবর্তনের সময়কাল একদিন। অনুসন্ধান:

ক) পৃথিবীর পৃষ্ঠ এবং এর অবস্থানের কার্যের বিন্দুর গতির সমীকরণ।

খ) যে বিন্দুর গতি এবং ত্বরণ।

সমাধান)

ক) বিজ্ঞপ্তি কক্ষপথে যে কোনও পয়েন্টের জন্য অবস্থান কার্যকারিতা:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

আমাদের কাছে পৃথিবী আর এর ব্যাসার্ধ আছে তবে কৌণিক বেগ নয় ω তবে এটি পর্যায় থেকে গণনা করা যেতে পারে, তা জেনেও যে বৃত্তাকার গতির জন্য এটি বলা বৈধ:

চলাচলের সময়কাল: 1 দিন = 24 ঘন্টা = 1440 মিনিট = 86 400 সেকেন্ড, অতএব:

পজিশন ফাংশনে প্রতিস্থাপন:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j) কিলোমিটার

প্যারামেট্রিক আকারে পথটি হ'ল:

সমাধান খ)

খ) বৃত্তাকার গতির জন্য, একটি বিন্দুর লিনিয়ার বেগ v এর দৈর্ঘ্য কৌণিক বেগের সাথে সম্পর্কিত:

এমনকি 145.8 মি / সেকেন্ডের ধ্রুব গতি সহ একটি গতি হওয়া সত্ত্বেও, একটি ত্বরণ রয়েছে যা বৃত্তাকার কক্ষপথের কেন্দ্রের দিকে নির্দেশ করে, পয়েন্টটি আবর্তিত রাখার দায়িত্বে। এটি _সি- এ সেন্ট্রিপেটাল ত্বরণ, দ্বারা প্রদত্ত:

তথ্যসূত্র

1. জিয়ানকোলি, ডি ফিজিক্স। (2006)। অ্যাপ্লিকেশন সহ নীতিমালা। 6 ^ম প্রেন্টিস হল। 22-25।
2. কিরকপ্যাট্রিক, এল। 2007. পদার্থবিদ্যা: দ্য দ্য ওয়ার্ল্ড। 6 ^টা সম্পাদনা সংক্ষেপে। কেনেজ লার্নিং। 23 - 27।
3. রেজনিক, আর। (1999)। শারীর। খণ্ড 1. স্প্যানিশ মধ্যে তৃতীয় সংস্করণ। মক্সিকো। Compañía সম্পাদকীয় কন্টিনেন্টাল এসএ ডি সিভি 21-22।
4. রেক্স, এ (২০১১)। পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক বিষয়সমূহ। পিয়ারসন। 33 - 36
5. সিয়ারস, জেমেনস্কি (2016)। আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সাথে বিশ্ববিদ্যালয় পদার্থবিজ্ঞান। 14 ^ম । সম্পাদনা ভলিউম 1। 50 - 53।
6. সার্ওয়ে, আর।, জুয়েট, জে। (২০০৮)। বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। আয়তন 1. 7 ^মা । সংস্করণ। মেক্সিকো। কেনেজ লার্নিং এডিটররা। 23-25।
7. সার্ওয়ে, আর।, ভুলি, সি (২০১১)। পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক বিষয়সমূহ। 9 ^না এড। কেঞ্জেজ লার্নিং। 43 - 55।
8. উইলসন, জে। (2011) পদার্থবিজ্ঞান 10. ​​পিয়ারসন শিক্ষা। 133-149।