স্কেলিন ত্রিভুজ: বৈশিষ্ট্য, সূত্র এবং ক্ষেত্রগুলি, গণনা - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি স্কেলেন ত্রিভুজ তিনটি বাহু সহ বহুভুজ, যার সবকটিরই বিভিন্ন পদক্ষেপ বা দৈর্ঘ্য রয়েছে; সেই কারণেই এটিকে স্কেলেনের নাম দেওয়া হয়েছে, যা লাতিন ভাষায় বোঝা হিসাবে আরোহণ।

ত্রিভুজগুলি জ্যামিতির মধ্যে বহুলাংশ হিসাবে বিবেচিত, কারণ এগুলি তিনটি দিক, তিনটি কোণ এবং তিনটি কোণে গঠিত। স্কেলেন ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমস্ত পক্ষ পৃথক করে, এটি বোঝায় যে এর তিনটি কোণটিও হবে।

স্কেলেন ত্রিভুজগুলির বৈশিষ্ট্য

স্কেলিন ত্রিভুজগুলি একাধিক বহুভুজ কারণ আইসোসিল এবং সমবাহিক ত্রিভুজগুলির বিপরীতে তাদের উভয় দিক বা কোণগুলির কোনওরূপই সমান পরিমাপ হয় না।

যেহেতু তাদের সমস্ত পক্ষের এবং কোণগুলির বিভিন্ন পদক্ষেপ রয়েছে, এই ত্রিভুজগুলি অনিয়মিত উত্তল বহুভুজ হিসাবে বিবেচিত হয়।

অভ্যন্তরীণ কোণগুলির প্রশস্ততার উপর ভিত্তি করে স্কেলেন ত্রিভুজগুলি এই হিসাবে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়েছে:

• স্কেলিন ডান ত্রিভুজ: সমস্ত পক্ষই আলাদা। এর একটি কোণ সঠিক (90 ^বা) এবং অন্যটি তীক্ষ্ণ এবং বিভিন্ন ব্যবস্থা সহ।
• অবটস স্কেলেন ত্রিভুজ: সমস্ত পক্ষই আলাদা এবং এর একটি কোণ হ'ল অবসেট (> 90 ^বা)।
• স্কেলিন তীব্র ত্রিভুজ: সমস্ত পক্ষই আলাদা। সমস্ত কোণ বিভিন্ন পদক্ষেপ সহ তীব্র (<90 ^বা)।

স্কেলেন ত্রিভুজগুলির আর একটি বৈশিষ্ট্য হ'ল তাদের পার্শ্ব এবং কোণগুলির অসংলগ্নতার কারণে তাদের প্রতিসাম্যের অক্ষ থাকে না।

উপাদান

মিডিয়ান: এটি এমন একটি লাইন যা এক পাশের মধ্যবিন্দু থেকে শুরু হয়ে বিপরীত শীর্ষে পৌঁছায়। তিনটি মধ্যমাধ্যক্ষের মিলিত হয় বারেয়েনস্টার বা সেন্ট্রয়েড নামক একটি বিন্দুতে।

দ্বিখণ্ডক: এটি একটি রশ্মি যা প্রতিটি কোণকে সমান পরিমাপের দুটি কোণে বিভক্ত করে। একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকরা উত্সাহক বলে একটি বিন্দুতে মিলিত হয়।

দ্বিখণ্ডক: এটি ত্রিভুজের পাশের লম্ব অংশ, এটির মাঝখানে এটির উত্স রয়েছে। একটি ত্রিভুজটিতে তিনটি দ্বিখণ্ডক রয়েছে এবং তারা সংঘবদ্ধ নামক স্থানে মিলিত হয়।

উচ্চতা: এটি এমন রেখাটি যা শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত দিকে চলে যায় এবং এই লাইনটি side পাশের লম্ব হয়। সমস্ত ত্রিভুজগুলির তিনটি উচ্চতা রয়েছে যা অর্থোসেন্টার নামক একটি বিন্দুতে মিলে যায়।

সম্পত্তি

স্কেলেন ত্রিভুজগুলি সংজ্ঞায়িত বা চিহ্নিত করা হয় কারণ তাদের বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা তাদের প্রতিনিধিত্ব করে, দুর্দান্ত গণিতবিদদের দ্বারা প্রস্তাবিত তাত্ত্বিক উত্স থেকে উত্পন্ন। তারা হ'ল:

অভ্যন্তরীণ কোণ

অভ্যন্তর কোণের সমষ্টি সবসময় 180 সমান ^° ।

পক্ষের যোগফল

দুই পক্ষের পরিমাপের যোগফল সর্বদা তৃতীয় পক্ষের পরিমাপের চেয়ে বড় হতে হবে, a + b> সি c

বেমানান দিক

স্কেলেন ত্রিভুজগুলির সমস্ত পক্ষের বিভিন্ন পদক্ষেপ বা দৈর্ঘ্য রয়েছে; অর্থাৎ এগুলি অসম্পূর্ণ।

অসম্পূর্ণ কোণ

যেহেতু স্কেলেন ত্রিভুজের সমস্ত দিক আলাদা, এর কোণগুলিও খুব বেশি হবে। যাইহোক, অভ্যন্তরীণ কোণগুলির যোগফল সর্বদা 180º এর সমান হবে এবং কিছু ক্ষেত্রে এর এর একটি কোণ অবজেক্ট বা ডান হতে পারে, অন্যদিকে এর সমস্ত কোণ তীব্র হবে।

উচ্চতা, মধ্যমা, দ্বিখণ্ডক এবং দ্বিখণ্ডক কাকতালীয় নয়

যে কোনও ত্রিভুজগুলির মতো, স্কেলেনের বিভিন্ন লাইন বিভাগ রয়েছে যা এটি রচনা করে: যেমন উচ্চতা, মধ্যক, দ্বিখণ্ডক এবং দ্বিখণ্ডক।

এর পক্ষগুলির বৈশিষ্ট্যের কারণে, এই ধরণের ত্রিভুজটিতে এই রেখাগুলির কোনওটিই একের সাথে মিলবে না।

অর্থোসেন্টার, ব্যারেন্সেন্টার, উত্সাহক এবং পরিবাহক কাকতালীয় নয়

উচ্চতা হিসাবে, মিডিয়ান, দ্বিখণ্ডক এবং দ্বিখণ্ডককে বিভিন্ন লাইন বিভাগ দ্বারা উপস্থাপিত করা হয়, একটি স্কেলেন ত্রিভুজে সভা পয়েন্টগুলি - অর্থোসেন্টার, উত্সাহক এবং ত্রি-কেন্দ্র - বিভিন্ন পয়েন্টে পাওয়া যাবে (তারা মিলছে না)।

ত্রিভুজটি তীব্র, ডান বা স্কেলিন কিনা তার উপর নির্ভর করে অর্থোসেন্টারের বিভিন্ন অবস্থান রয়েছে:

প্রতি. ত্রিভুজটি তীব্র হলে অর্থোসেন্টারটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরে থাকবে।

খ। ত্রিভুজটি যদি সঠিক হয় তবে অর্থোসেন্টারটি ডান পাশের মেরুটির সাথে মিলবে।

গ। যদি ত্রিভুজটি অবজেক্ট হয় তবে অর্থোসেন্টারটি ত্রিভুজটির বাইরের দিকে থাকবে।

আপেক্ষিক উচ্চতা

উচ্চতা উভয় পক্ষের তুলনামূলক।

স্কেলেন ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, এই উচ্চতাগুলির পৃথক পরিমাপ হবে। প্রতিটি ত্রিভুজের তিনটি আপেক্ষিক উচ্চতা থাকে এবং হেরনের সূত্র সেগুলি গণনা করার জন্য ব্যবহৃত হয়।

পরিধিটি কীভাবে গণনা করব?

বহুভুজের পরিধি পার্শ্বগুলি যোগ করে গণনা করা হয়।

যেহেতু এই ক্ষেত্রে স্কেলেন ত্রিভুজটির বিভিন্ন দিকের সমস্ত দিক রয়েছে তাই এর ঘেরটি হবে:

পি = পাশ এ + সাইড বি + সাইড গ।

অঞ্চলটি কীভাবে গণনা করা যায়?

ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রটি সর্বদা একই সূত্র দিয়ে গণনা করা হয়, বেস সময় উচ্চতাকে গুণিত করে এবং দুটি দ্বারা ভাগ করে:

ক্ষেত্রফল = (বেস _* জ) ÷ 2

কিছু ক্ষেত্রে স্কেলেন ত্রিভুজের উচ্চতা জানা যায় না, তবে একটি সূত্র আছে যা গণিতবিদ হেরেন প্রস্তাব করেছিলেন, ত্রিভুজের তিনটি দিকের পরিমাপ জেনে অঞ্চলটি গণনা করার জন্য to

কোথায়:

• a, b এবং c, ত্রিভুজের দিকগুলি উপস্থাপন করে।
• এসপি, ত্রিভুজের অর্ধপরিমিতিটির সাথে মিলিত, অর্থাৎ ঘেরের অর্ধেক:

sp = (a + b + c) ÷ 2

আমাদের ক্ষেত্রে কেবল ত্রিভুজের দুটি দিক এবং তাদের মধ্যে গঠিত কোণগুলির পরিমাপ রয়েছে, ত্রিভুজমিত্রিক অনুপাত প্রয়োগ করে অঞ্চলটি গণনা করা যেতে পারে। সুতরাং আপনি করতে হবে:

ক্ষেত্রফল = (পার্শ্ব _* জ) ÷ 2

যেখানে উচ্চতা (জ) এক পক্ষের পণ্য এবং বিপরীত কোণের সাইন। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি পক্ষের জন্য, অঞ্চলটি হবে:

• অঞ্চল = (খ _* সি _* পাপ এ) ÷ 2
• ক্ষেত্র = (ক _* সি _* পাপ বি) ÷ 2।
• ক্ষেত্র = (ক _* খ _* পাপ সি) ÷ 2

উচ্চতা গণনা কিভাবে?

যেহেতু স্কেলেন ত্রিভুজের সমস্ত দিক পৃথক, তাই পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা উচ্চতা গণনা করা সম্ভব নয়।

হিরনের সূত্র থেকে, যা ত্রিভুজের তিনটি পক্ষের পরিমাপের উপর ভিত্তি করে, অঞ্চলটি গণনা করা যায়।

উচ্চতা অঞ্চলটির সাধারণ সূত্র থেকে পরিষ্কার করা যেতে পারে:

পাশটি a, b, বা c এর পরিমাপের দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

কোণগুলির একটির মান জানা গেলে উচ্চতা গণনা করার আরেকটি উপায় হ'ল ট্রিগনোমেট্রিক অনুপাত প্রয়োগ করা, যেখানে উচ্চতাটি ত্রিভুজটির একটি অংশকে উপস্থাপন করবে।

উদাহরণস্বরূপ, যখন উচ্চতার বিপরীত কোণটি জানা যায়, তখন এটি সাইন দ্বারা নির্ধারিত হবে:

পক্ষগুলি কীভাবে গণনা করবেন?

যখন আপনার দুটি পক্ষের পরিমাপ এবং তার বিপরীত কোণ রয়েছে, তখন কোসাইন উপপাদ্য প্রয়োগ করে তৃতীয় দিকটি নির্ধারণ করা সম্ভব।

উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজ এ বিতে, বিভাগের এসির সাথে সম্পর্কিত উচ্চতা প্লট করা হয়েছে। এইভাবে ত্রিভুজটি দুটি ডান ত্রিভুজগুলিতে বিভক্ত হয়।

পাশের সি (সেগমেন্ট এবি) গণনা করতে প্রতিটি ত্রিভুজের জন্য পাইথাগোরিয়ান উপপাদ প্রয়োগ করুন:

• নীল ত্রিভুজটির জন্য আমাদের রয়েছে:

সি ² = এইচ ² + এম ²

যেহেতু মি = বি - এন, আমরা বিকল্প:

সি ² = এইচ ² + বি ² (বি - এন) ²

সি ² = এইচ ² + বি ² - ² বিএন + এন ² ।

• গোলাপী ত্রিভুজটির জন্য আপনাকে:

এইচ ² = এ ² - এন ²

এটি পূর্ববর্তী সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয়:

সি ² = এ ² - এন ² + বি ² - ² বিএন + এন ²

সি ² = এ ² + বি ² - ² বিএন

N = a _* cos C জেনেও এটি পূর্ববর্তী সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয় এবং পাশের সি এর মান পাওয়া যায়:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C।

কোসিনস আইন দ্বারা, পক্ষগুলি হিসাবে গণনা করা যেতে পারে:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• বি ² = এ ² + সি ² - 2 এ _* সি _* কোস বি।
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C।

এমন কেস রয়েছে যেখানে ত্রিভুজের পক্ষগুলির পরিমাপগুলি জানা যায় না, বরং তাদের উচ্চতা এবং শীর্ষে কোণগুলি গঠন করে। এই ক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল নির্ধারণের জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রয়োগ করা প্রয়োজন।

এর যে কোনও একটি শীর্ষকোণের কোণটি জানা, পাগুলি চিহ্নিত করা যায় এবং ত্রিভুজমিতি অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত হয়:

উদাহরণস্বরূপ, লেগের এবি কোণ কোণের বিপরীতে হবে তবে কোণ এ এর ​​সাথে সংলগ্ন এবং উচ্চতার সাথে সম্পর্কিত লেগের উপর নির্ভর করে অন্য দিকটি এর মান পেতে পরিষ্কার করা হয়েছে।

অনুশীলন

প্রথম অনুশীলন

এর দিকগুলি জেনে জেনে এবং স্কেলেন ত্রিভুজ টিবিটির একটি উচ্চতা গণনা করুন:

a = 8 সেমি।

খ = 12 সেমি।

সি = 16 সেমি।

সমাধান

তথ্য হিসাবে, স্কেলেন ত্রিভুজটির তিনটি পক্ষের পরিমাপ দেওয়া হয়।

যেহেতু উচ্চতার মান পাওয়া যায় না, তাই হেরনের সূত্র প্রয়োগ করে এলাকাটি নির্ধারণ করা যেতে পারে।

প্রথমে সেমিপ্রিমিটার গণনা করা হয়:

sp = (a + b + c) ÷ 2

এসপি = (8 সেমি + 12 সেমি + 16 সেমি) ÷ 2

এসপি = 36 সেমি ÷ 2

স্প = 18 সেমি।

এখন মানগুলি হেরনের সূত্রে প্রতিস্থাপিত হয়েছে:

অঞ্চলটি জেনে, পাশের খের সাথে সম্পর্কিত উচ্চতা গণনা করা যেতে পারে। সাধারণ সূত্র থেকে এটি পরিষ্কার করে আমাদের কাছে:

ক্ষেত্রফল = (পার্শ্ব _* জ) ÷ 2

46, 47 সেমি ² = (12 সেমি _* জ) ÷ 2

h = (2 _* 46.47 সেমি ²) ÷ 12 সেমি

h = 92.94 সেমি ² ÷ 12 সেমি

h = 7.75 সেমি।

দ্বিতীয় অনুশীলন

স্কেলেন ত্রিভুজ এবিসি দেওয়া, যার পদক্ষেপগুলি:

• বিভাগ খালি = 25 মি।
• খণ্ড বিসি = 15 মি।

শীর্ষবর্ণ বিতে 50º এর কোণ গঠিত হয়। পাশের সি, পরিধি এবং সেই ত্রিভুজের ক্ষেত্রের তুলনায় উচ্চতা গণনা করুন।

সমাধান

এক্ষেত্রে আমাদের দুটি পক্ষের পরিমাপ রয়েছে। উচ্চতা নির্ধারণের জন্য তৃতীয় পক্ষের পরিমাপ গণনা করা প্রয়োজন।

যেহেতু প্রদত্ত পক্ষের বিপরীত কোণটি দেওয়া হয়েছে, তাই পাশের এসি (খ) এর পরিমাপ নির্ধারণের জন্য কোসাইনগুলির আইন প্রয়োগ করা সম্ভব:

বি ² = এ ² + সি ² - 2 এ _* সি _* কোস বি

কোথায়:

a = বিসি = 15 মি।

সি = এবি = 25 মি।

খ = এসি।

খ = 50 ^ও ।

ডেটা প্রতিস্থাপন করা হয়েছে:

বি ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* কস 50

বি ² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

বি ² = (225) + (625) - (482,025)

খ ² = 367.985

খ = √367,985

খ = 19.18 মি।

যেহেতু আমাদের কাছে ইতিমধ্যে তিন পক্ষের মান রয়েছে, সেই ত্রিভুজের পরিধিটি গণনা করা হচ্ছে:

পি = পাশ এ + সাইড বি + সাইড গ

পি = 15 মি + 25 মি + 19, 18 মি

পি = 59.18 মি

এখন হেরনের সূত্র প্রয়োগ করে অঞ্চলটি নির্ধারণ করা সম্ভব তবে প্রথমে সেমিপ্রিমিটারটি গণনা করতে হবে:

sp = পি ÷ 2

এসপি = 59.18 মি। 2

এসপি = 29.59 মি।

পক্ষগুলির পরিমাপ এবং সেমিপারিমিটার হেরনের সূত্রে প্রতিস্থাপিত হয়:

পরিশেষে অঞ্চলটি জেনে, পাশের সি এর সাথে সম্পর্কিত উচ্চতা গণনা করা যেতে পারে। সাধারণ সূত্র থেকে এটি সাফ করে আপনার করতে হবে:

ক্ষেত্রফল = (পার্শ্ব _* জ) ÷ 2

143.63 মি ² = (25 মি _* ঘন্টা) ÷ 2

h = (2 _* 143.63 মি ²) m 25 মি

h = 287.3 মি ² ÷ 25 মি

h = 11.5 মি।

তৃতীয় অনুশীলন

স্কেলেন ত্রিভুজের এবিসি পাশের বি 40 সেন্টিমিটার, পাশের সি 22 সেন্টিমিটার এবং শীর্ষ এ, কোণ 90 গঠন হয় ^{বা হয়} । সেই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করুন।

সমাধান

এই ক্ষেত্রে, স্কেলেন ত্রিভুজ এবিসির দুই পক্ষের ব্যবস্থাগুলি দেওয়া হয়, পাশাপাশি কোণটি যেটি কোণে গঠিত হয় as

অঞ্চলটি নির্ধারণের জন্য, পার্শ্ব a এর পরিমাপ গণনা করা প্রয়োজন নয়, কারণ ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মাধ্যমে কোণটি এটি সন্ধান করতে ব্যবহৃত হয়।

যেহেতু উচ্চতার বিপরীত কোণটি জানা যায়, তাই এটি এক পাশের পণ্য এবং কোণটির সাইন দ্বারা নির্ধারিত হবে।

আমাদের কাছে যে অঞ্চল সূত্র রয়েছে তা প্রতিস্থাপন করুন:

• ক্ষেত্রফল = (পার্শ্ব _* জ) ÷ 2
• h = c _* পাপ এ

অঞ্চল = (খ _* সি _* পাপ এ) ÷ 2

অঞ্চল = (40 সেমি _* 22 সেমি _* পাপ 90) ÷ 2

আয়তন = (40 সেমি _* 22 সেমি _* 1)। 2

ক্ষেত্রফল = 880 সেমি ² ÷ 2

ক্ষেত্রফল = 440 সেমি ² ।

তথ্যসূত্র

1. আলভারো রেনডেন, এআর (2004) প্রযুক্তিগত অঙ্কন: ক্রিয়াকলাপ নোটবুক।
2. অ্যাঞ্জেল রুইজ, এইচবি (2006)। জ্যামিতি। সিআর প্রযুক্তি,।
3. অ্যাঞ্জেল, এআর (2007) প্রাথমিক বীজগণিত। পিয়ারসন শিক্ষা,.
4. বালডোর, এ। (1941)। বীজগণিত। হাভানা: সংস্কৃতি।
5. বার্বোসা, জেএল (2006) প্লেন ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি। রিও ডি জেনিরো,
6. কক্সেটর, এইচ। (1971) জ্যামিতির মৌলিক বিষয়সমূহ। মেক্সিকো: লিমুসা-উইলে।
7. ড্যানিয়েল সি আলেকজান্ডার, জিএম (২০১৪)। কলেজ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রাথমিক জ্যামিতি। কেনেজ লার্নিং।
8. হার্প, পি। ডি। (2000)। জ্যামিতিক গ্রুপ থিওরিতে বিষয়গুলি। শিকাগো প্রেস বিশ্ববিদ্যালয়।