বিনামূল্যে ভেক্টর ঐ যে সম্পূর্ণরূপে তার মাত্রার, দিক এবং ইন্দ্রিয় দ্বারা নির্দিষ্ট প্রয়োজনীয় ছাড়া হয় থেকে অ্যাপ্লিকেশন অথবা একটি নির্দিষ্ট উৎপত্তি একটি বিন্দু নির্দেশ করে।
যেহেতু অসীম ভেক্টরগুলি এভাবে আঁকতে পারে, নিখরচায় ভেক্টর কোনও একক সত্তা নয়, সমান্তরাল এবং অভিন্ন ভেক্টরগুলির একটি সেট যা তারা যেখানে রয়েছে তার থেকে পৃথক।
চিত্র 1. বিভিন্ন বিনামূল্যে ভেক্টর। সূত্র: স্বনির্মিত।
আসুন ধরা যাক আমাদের চিত্র 3 এর মতো উলম্বভাবে দিকনির্দেশ 3, বা 5 মাত্রার ডানদিকে ঝোঁকযুক্ত বেশ কয়েকটি ভেক্টর রয়েছে।
এই ভেক্টরগুলির কোনওটিই বিশেষভাবে কোনও পয়েন্টে প্রয়োগ করা হয় না। তারপরে নীল বা সবুজ ভেক্টরগুলির যে কোনও তাদের নিজ নিজ গোষ্ঠীর প্রতিনিধি, যেহেতু তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি - মডেল, দিক এবং ইন্দ্রিয়- যখন তারা বিমানের অন্য কোনও জায়গায় স্থানান্তরিত হয় তখন কোনও পরিবর্তন হয় না।
একটি নিখরচায় ভেক্টর সাধারণত মুদ্রিত পাঠ্যে একটি সাহসী, ছোট হাতের অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ v। অথবা একটি ছোট হাতের অক্ষর এবং এটি উপরে একটি তীর সহ যদি এটি হাতে লেখা লেখা ।
ফ্রি ভেক্টরগুলির সুবিধাটি হ'ল এগুলি বিমানের মাধ্যমে বা স্থানের মাধ্যমে সরানো যেতে পারে এবং তাদের সম্পত্তিগুলি বজায় রাখা যায়, যেহেতু সেটের কোনও প্রতিনিধি সমানভাবে বৈধ।
এজন্য পদার্থবিজ্ঞান এবং যান্ত্রিকগুলিতে এগুলি ঘন ঘন ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, কোনও শক্তির অনুবাদ করা হচ্ছে এর রৈখিক গতিবেগ নির্দেশ করার জন্য অবজেক্টের নির্দিষ্ট বিন্দুটি বেছে নেওয়া প্রয়োজন হবে না। সুতরাং বেগ ভেক্টর একটি মুক্ত ভেক্টরের মতো আচরণ করে।
একটি মুক্ত ভেক্টরের আরও একটি উদাহরণ হ'ল বাহিনীর জুটি। একটি দম্পতি সমান প্রস্থ এবং দিকের দুটি বাহিনী নিয়ে গঠিত, তবে বিপরীত দিকের, শক্তের উপর বিভিন্ন পয়েন্টে প্রয়োগ করা হয়। একটি দম্পতির প্রভাব অবজেক্টটি সরানো নয়, তবে উত্পাদিত মুহুর্তের জন্য একটি আবর্তনকে ধন্যবাদ দেয়।
চিত্র 2 এ স্টিয়ারিং হুইলে প্রয়োগ করা বেশ কয়েকটি বাহিনী দেখানো হয়েছে। এফ 1 এবং এফ 2 বাহিনীর মাধ্যমে, টর্ক তৈরি করা হয়েছে যা ফ্লাইওহিলটিকে তার কেন্দ্রের চারপাশে এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরিয়ে দেয়।
চিত্র 2. একটি স্টিয়ারিং হুইলে প্রয়োগ করা বেশ কয়েকটি বাহিনী এটিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরিয়ে দেয়। সূত্র: বিলেসকো।
আপনি টর্কে কিছু পরিবর্তন করতে পারেন এবং এখনও একই ঘূর্ণায়মান প্রভাব পেতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ বল বাড়ানো, তবে তাদের মধ্যে দূরত্ব হ্রাস করতে। বা বল এবং দূরত্ব বজায় রাখুন, তবে স্টিয়ারিং হুইলে অন্য জোড়া পয়েন্টে টর্ক প্রয়োগ করুন, অর্থাৎ, কেন্দ্রের চারপাশে টর্কটি ঘোরান।
দম্পতি বা সহজ দম্পতির মুহুর্তটি একটি ভেক্টর যার মডুলাস এফডি হয় এবং এটি উড়ানের পাতায় উল্লম্বভাবে নির্দেশিত হয়। কনভেনশন দ্বারা প্রদর্শিত উদাহরণে ঘড়ির কাঁটার ঘোরের একটি নেতিবাচক দিক রয়েছে।
বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য
নিখরচায় ভেক্টর ভিয়ের বিপরীতে, ভ্যাক্টরগুলি এবি এবং সিডি নির্দিষ্ট করা হয়েছে (চিত্র 3 দেখুন), যেহেতু তাদের নির্দিষ্ট বিন্দু এবং আগমন পয়েন্ট রয়েছে। কিন্তু যেহেতু তারা দলকে কোমল একে অপরের সঙ্গে, এবং ভেক্টর দিয়ে ঘুরে হয় বনাম তারা বিনামূল্যে ভেক্টর প্রতিনিধি বনাম ।
চিত্র 3. নিখরচায় ভেক্টর, টিম লেন্স ভেক্টর এবং স্থির ভেক্টর। সূত্র: স্বনির্মিত।
নিখরচায় ভেক্টরগুলির প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নরূপ:
যে কোনও ভেক্টর এবি (চিত্র 2 দেখুন) যেমন বলা হয়েছে, নিখরচায় ভেক্টরের প্রতিনিধি ভি ।
- মুক্ত ভেক্টরের যে কোনও প্রতিনিধিতে মডিউল, দিক এবং ইন্দ্রিয় একই the চিত্র 2-এ, ভেক্টর এ বি এবং সিডি নিখরচায় ভেক্টর ভি উপস্থাপন করে এবং টিম-লেন্সিং।
মহাকাশে একটি বিন্দু পি দিন, মুক্ত ভেক্টর ভি এর উত্স যে পিতে রয়েছে এবং এই প্রতিনিধিটি অনন্য, তার প্রতিনিধি খুঁজে পাওয়া সর্বদা সম্ভব । এটি বিনামূল্যে ভেক্টরগুলির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি এবং এটি তাদেরকে বহুমুখী করে তোলে।
নাল মুক্ত ভেক্টরকে 0 হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং এটি সমস্ত ভেক্টরগুলির সেট যেগুলির দৈর্ঘ্য, দিক এবং সংজ্ঞা নেই।
-যদি ভেক্টর এবি নিখরচায় ভ্যাক্টর ভি উপস্থাপন করে তবে ভেক্টর বিএ ফ্রি ভেক্টরকে উপস্থাপন করে - ভি ।
-নোটেশন ভি 3 বিমানের সমস্ত নিখর ভেক্টরকে মনোনীত করতে মহাকাশে সমস্ত নিখরচায় ভেক্টরগুলির সেটকে মনোনীত করতে এবং ভি 2 ব্যবহার করা হবে।
সমাধান ব্যায়াম
বিনামূল্যে ভেক্টর সহ, নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা যেতে পারে:
-সুম
-শক্তি
- কোনও ভেক্টর দ্বারা স্কেলারের বহুবৃত্তি
দুটি ভেক্টর মধ্যে স্কেলার পণ্য।
দুটি ভেক্টর মধ্যে ক্রস পণ্য
-ভেক্টরগুলির লাইনার সংমিশ্রণ
এবং আরও।
-অনুশীলনী 1
একজন শিক্ষার্থী নদীর তীরে একদিক থেকে অন্য নদীর তীরে সরাসরি সাঁতার কাটতে চেষ্টা করে যা সরাসরি বিপরীত হয়। এটি অর্জনের জন্য, এটি 6 কিলোমিটার / ঘন্টা বেগে সরাসরি সাঁতার কাটে, একটি লম্ব দিকের দিকে, তবে বর্তমানের গতি 4 কিলোমিটার / ঘন্টা যা এটিকে প্রতিবিম্বিত করে।
সাঁতারের ফলাফলের গতি এবং স্রোত দ্বারা তিনি কতটা প্রতিফলিত হন তা গণনা করুন।
সমাধান
সাঁতারের ফলাফলের গতি হ'ল তার গতির ভেক্টর যোগফল (নদীর তীব্র দিকে উল্লম্বভাবে টানা) এবং নদীর গতি (বাম থেকে ডানে আঁকা) যা নিচের চিত্রটিতে নির্দেশিত হিসাবে বাহিত হয়:
ফলস্বরূপ বেগটির প্রস্থটি প্রদর্শিত ডান ত্রিভুজটির অনুমানের সাথে মিলে যায়, সুতরাং:
v = (6 2 + 4 2) ½ কিমি / ঘন্টা = 7.2 কিমি / ঘন্টা
তীরের লম্বকে লম্বরের সাথে দিকটি কোণ দিয়ে গণনা করা যেতে পারে:
α = আর্টটিজি (4/6) = 33.7º বা 56.3º সমুদ্রের তীরে।
অনুশীলন 2
চিত্রটিতে প্রদর্শিত বাহিনীর জোড়ার মুহূর্তটি আবিষ্কার করুন:
সমাধান
মুহূর্তটি দ্বারা গণনা করা হয়:
এম = আর এক্স এফ
মুহুর্তের ইউনিটগুলি lb-f.ft are দম্পতি যেহেতু পর্দার প্লেনটিতে রয়েছে তাই মুহুর্তটি বাহ্যিক বা অভ্যন্তরের দিকে লম্ব নির্দেশিত হয়।
উদাহরণস্বরূপ টর্কটি যে বস্তুর উপরে এটি প্রয়োগ করা হয় (যা চিত্রে প্রদর্শিত হয় না) ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরিয়ে দেওয়ার প্রবণতা হিসাবে, এই মুহূর্তটি পর্দার অভ্যন্তরের দিকে এবং একটি নেতিবাচক চিহ্নের সাথে ইশারা করা হিসাবে বিবেচিত হয়।
এই মুহুর্তের দৈর্ঘ্য এম = এফডসেন এ, যেখানে শক্তি এবং ভেক্টর আর এর মধ্যবর্তী কোণ the আপনাকে এই মুহুর্তটি গণনা করতে হবে এমন একটি বিন্দু চয়ন করতে হবে, যা একটি নিখরচায় ভেক্টর। রেফারেন্স সিস্টেমের উত্সটি বেছে নেওয়া হয়েছে, সুতরাং r ও থেকে প্রতিটি বাহিনীর প্রয়োগের বিন্দুতে যায়।
এম 1 = এম 2 = -Fdsen60º = -500। 20.sen 60º lb-f। ft = -8660.3 lb-f। পা
নেট মুহূর্তটি এম 1 এবং এম 2 এর যোগফল: -17329.5 lb-f। পা।
তথ্যসূত্র
- বিয়ার্ডন, টি। 2011. ভেক্টরগুলির একটি ভূমিকা। উদ্ধার করা হয়েছে: nrich.maths.org থেকে।
- বেডফোর্ড, 2000. উ। ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স: স্ট্যাটিক্স। অ্যাডিসন ওয়েসলি 38-52।
- ফিগুয়েরো, ডি সিরিজ: বিজ্ঞান ও প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. গতিবিদ্যা। 31-68।
- শারীর। মডিউল 8: ভেক্টর। থেকে উদ্ধার করা: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, আর। 2006. ইঞ্জিনিয়ার্স জন্য মেকানিক্স। স্থির 6th ষ্ঠ সংস্করণ। কন্টিনেন্টাল প্রকাশনা সংস্থা। 15-53।
- ভেক্টর সংযোজন ক্যালকুলেটর। থেকে প্রাপ্ত: 1728.org
- ভেক্টর। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikibooks.org থেকে