গাউস-সিডেল পদ্ধতি: ব্যাখ্যা, প্রয়োগ, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

গাউস-Seidel পদ্ধতি ইচ্ছামত মনোনীত স্পষ্টতা সঙ্গে রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণ একটি সিস্টেমের সাথে আনুমানিক সমাধান খোঁজার জন্য একটি পুনরাবৃত্ত পদ্ধতি। পদ্ধতিটি তাদের তির্যকগুলিতে নোনজারো উপাদানগুলির সাথে স্কোয়ার ম্যাট্রিকগুলিতে প্রয়োগ করা হয় এবং ম্যাট্রিক্স তির্যকভাবে প্রভাবশালী হলে অভিভাবনের গ্যারান্টিযুক্ত।

এটি কার্ল ফ্রেড্রিচ গাউস (1777-1855) দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল, যিনি 1823 সালে তাঁর এক ছাত্রকে একটি ব্যক্তিগত প্রদর্শন করেছিলেন। পরে এটি 1845 সালে ফিলিপ লুডভিগ ফন সিডেল (1821-1896) দ্বারা আনুষ্ঠানিকভাবে প্রকাশিত হয়েছিল, তাই এই নামটি তৈরি করা হয়েছিল উভয় গণিতবিদ।

চিত্র ১. গাউস-সিডেল পদ্ধতিটি সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান পেতে দ্রুত রূপান্তরিত করে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

পদ্ধতির সম্পূর্ণ বোঝার জন্য, এটি জেনে রাখা দরকার যে যখন প্রতিটি সারির তির্যক উপাদানটির পরম মান একই সারির অন্যান্য উপাদানগুলির পরম মানের যোগফলের চেয়ে বড় বা সমান হয় তখন কোনও ম্যাট্রিক্স তির্যকভাবে প্রভাবশালী হয়।

গাণিতিকভাবে এটি প্রকাশিত হয়:

একটি সাধারণ কেস ব্যবহার করে ব্যাখ্যা

গাউস-সিডেল পদ্ধতিটি কী কী অন্তর্ভুক্ত তা চিত্রিত করার জন্য, আমরা একটি সাধারণ কেস নেব, যেখানে এক্স এবং ওয়াইয়ের মান নীচে প্রদর্শিত লিনিয়ার সমীকরণের 2 × 2 সিস্টেমে পাওয়া যাবে:

5 এক্স + 2 ওয়াই = 1

এক্স - 4 ওয়াই = 0

অনুসরণ করার পদক্ষেপ

1- প্রথম স্থানটিতে, কনভার্সনটি নিরাপদ কিনা তা নির্ধারণ করা দরকার। অবিলম্বে এটি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যে, বাস্তবে, এটি একটি তির্যকভাবে প্রভাবশালী সিস্টেম, যেহেতু প্রথম সারিতে প্রথম সহগের প্রথম সারিতে থাকা অন্যদের তুলনায় উচ্চতর পরম মান থাকে:

-5 -> - 2-

তেমনি, দ্বিতীয় সারিতে দ্বিতীয় সহগটি তির্যকভাবে প্রভাবশালী:

--4 -> - 1-

2- এক্স এবং Y ভেরিয়েবলগুলি সাফ করা হয়েছে:

এক্স = (1 - 2Y) / 5

Y = এক্স / 4

3- একটি নির্বিচারে প্রাথমিক মান স্থাপন করা হয়, তাকে "বীজ" বলা হয়: Xo = 1, I = 2।

4-পুনরাবৃত্তিটি শুরু হয়: প্রথম অনুমান এক্স 1, ওয়াই 1 পাওয়ার জন্য, বীজটি প্রথম ধাপ 2 এর প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা হয় এবং দ্বিতীয় ধাপের দ্বিতীয় সমীকরণের ফলস্বরূপ:

এক্স 1 = (1 - 2 আই) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

ওয়াই 1 = এক্স 1/4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- সমীকরণের পদ্ধতির সমাধানের দ্বিতীয় অনুমানের জন্য আমরা একইভাবে এগিয়ে চলেছি:

এক্স 2 = (1 - 2 ওয়াই 1) / 5 = (1 - 2 এক্স (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = এক্স 2/4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- তৃতীয় পুনরাবৃত্তি:

এক্স 3 = (1 - 2 ওয়াই 2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = এক্স 3/4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- এই চিত্রের ক্ষেত্রে চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তি হিসাবে চতুর্থ পুনরাবৃত্তি:

এক্স 4 = (1 - 2 ওয়াই 3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = এক্স 4/4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

এই মানগুলি অন্যান্য রেজোলিউশন পদ্ধতির দ্বারা প্রাপ্ত সমাধানের সাথে বেশ ভালভাবে একমত হয়। একটি অনলাইন গণিত প্রোগ্রামের সাহায্যে পাঠক তাড়াতাড়ি এটি পরীক্ষা করতে পারেন।

পদ্ধতি বিশ্লেষণ

যেমন দেখা যায়, গাউস-সিডেল পদ্ধতিতে, একই ধাপে পূর্বের চলকটির জন্য প্রাপ্ত আনুমানিক মানগুলি নিম্নলিখিত পরিবর্তনশীলে প্রতিস্থাপিত হতে হবে। এটি এটিকে অন্যান্য পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলি থেকে যেমন জ্যাকবীর থেকে পৃথক করে, যেখানে প্রতিটি পদক্ষেপে পূর্ববর্তী পর্যায়েটির আনুমানিক প্রয়োজন হয়।

গাউস-সিডেল পদ্ধতি কোনও সমান্তরাল পদ্ধতি নয়, যখন গাউস-জর্ডান পদ্ধতি রয়েছে। জর্ডান পদ্ধতির তুলনায় গৌস-সিডেল পদ্ধতির দ্রুত সংযোগ - কম পদক্ষেপে - এটিও কারণ।

তির্যকভাবে প্রভাবশালী ম্যাট্রিক্স শর্ত হিসাবে, এটি সর্বদা সন্তুষ্ট হয় না। তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে শর্তটি পূরণ করার জন্য মূল সিস্টেম থেকে সারিগুলি সরিয়ে নেওয়া কেবল যথেষ্ট sufficient তদ্ব্যতীত, তির্যক আধিপত্য শর্ত পূরণ না হলেও এমনকি পদ্ধতিটি সর্বদা রূপান্তরিত হয়।

গৌস-সিডেল পদ্ধতির চারটি পুনরাবৃত্তি দ্বারা প্রাপ্ত পূর্ববর্তী ফলাফল দশমিক আকারে লেখা যেতে পারে:

এক্স 4 = 0.1826

Y4 = 0.04565

প্রস্তাবিত সমীকরণের সঠিক সমাধানটি হ'ল:

এক্স = 2/11 = 0.1818

Y = 1/22 = 0.04545।

সুতরাং মাত্র 4 টি পুনরাবৃত্তির সাথে আপনি এক হাজারতম নির্ভুলতার (0.001) ফলাফল পেয়েছেন।

চিত্র 1 ব্যাখ্যা করে যে ক্রমাগত পুনরাবৃত্তিগুলি কীভাবে দ্রুত সঠিক সমাধানে রূপান্তরিত হয়।

অ্যাপ্লিকেশন

গাউস-সিডেল পদ্ধতিটি কেবল লিনিয়ার সমীকরণের 2 × 2 সিস্টেমের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। পূর্ববর্তী পদ্ধতিটি এন অজানাগুলির সাথে n সমীকরণের রৈখিক সিস্টেমটি সমাধান করার জন্য সাধারণ করা যেতে পারে, যা ম্যাট্রিক্সে এই জাতীয় প্রতিনিধিত্ব করে:

এ এক্স = খ

যেখানে A হ'ল একটি এনএক্সএন ম্যাট্রিক্স, আর এক্স হ'ল এন ভেরিয়েবলের ভেক্টর এন উপাদান; এবং বি হ'ল একটি ভেক্টর যা স্বাধীন পদগুলির মানগুলিকে ধারণ করে।

উদাহরণস্বরূপ ক্ষেত্রে একটি এনএক্সএন সিস্টেমে প্রয়োগ করা পুনরাবৃত্তির ক্রমকে সাধারণ করতে, যেখান থেকে ভেরিয়েবল একাদশ গণনা করতে চায়, নিম্নলিখিত সূত্রটি প্রয়োগ করা হবে:

এই সমীকরণে:

- কে পুনরাবৃত্তি কে প্রাপ্ত মানের সূচক।

-k + 1 নিম্নলিখিত মানগুলিতে ইঙ্গিত করে।

পুনরাবৃত্তির চূড়ান্ত সংখ্যাটি নির্ধারিত হয় যখন পুনরাবৃত্তি k + 1 এ প্রাপ্ত মানটি তত্ক্ষণাত্ প্রাপ্ত পরিমাণের চেয়ে পৃথক হয়ে যায় an যা পরিমাণ দ্বারা যথাযথভাবে পছন্দসই নির্ভুল হয়।

গাউস-সিডেল পদ্ধতির উদাহরণ

- উদাহরণ 1

একটি সাধারণ অ্যালগরিদম যে আনুমানিক সমাধান ভেক্টর নিরূপণ করতে পারবেন লিখুন এক্স সমীকরণ nxn একটি রৈখিক ব্যবস্থার, কোফিসিয়েন্টস ম্যাট্রিক্স দেওয়া, স্বাধীন পদ ভেক্টর খ, পুনরাবৃত্তিও সংখ্যা (ঝ Ter) এবং প্রাথমিক মান বা "বীজ "ভেক্টর এক্স ।

সমাধান

অ্যালগরিদম দুটি "টু" চক্র নিয়ে গঠিত, একটি পুনরাবৃত্তির সংখ্যার জন্য এবং অন্যটি ভেরিয়েবলের সংখ্যার জন্য। এটি নিম্নলিখিত হিসাবে হবে:

কে For এর জন্য ∊

আমি ∊ জন্য

এক্স: = (1 / এ) * (খ - ∑ _{জে = 1} ^এন (এ * এক্স) + এ * এক্স)

- উদাহরণ 2

উইন্ডোজ এবং অ্যান্ড্রয়েডের জন্য উপলভ্য বিনামূল্যে এবং বিনামূল্যে ব্যবহারযোগ্য গাণিতিক সফটওয়্যার স্মাথ স্টুডিওতে এর প্রয়োগের মাধ্যমে পূর্ববর্তী অ্যালগরিদমের ক্রিয়াকলাপটি পরীক্ষা করুন। উদাহরণস্বরূপ 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন যা গাউস-সিডেল পদ্ধতিটি ব্যাখ্যা করতে আমাদের সহায়তা করেছিল।

সমাধান

চিত্র 2. স্মাথ স্টুডিও সফ্টওয়্যার ব্যবহার করে 2 x 2 উদাহরণস্বরূপ সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান। সূত্র: এফ.জাপাটা।

- উদাহরণ 3

নিম্নোক্ত 3 × 3 সমীকরণের সিস্টেমের জন্য গাউস-সিডেল অ্যালগরিদম প্রয়োগ করুন, যা পূর্বে এমনভাবে অর্ডার করা হয়েছিল যে ত্রিভুজের সহগগুলি প্রভাবশালী (যা এর সহগের পরম মানের চেয়ে বৃহত্তর নিরঙ্কুশ মান একই সারি):

9 এক্স 1 + 2 এক্স 2 - এক্স 3 = -2

7 এক্স 1 + 8 এক্স 2 + 5 এক্স 3 = 3

3 এক্স 1 + 4 এক্স 2 - 10 এক্স 3 = 6

নাল ভেক্টরটি বীজ হিসাবে ব্যবহার করুন এবং পাঁচটি পুনরাবৃত্তি বিবেচনা করুন। ফলাফল সম্পর্কে মন্তব্য।

সমাধান

চিত্র 3. এসএমএথ স্টুডিও ব্যবহার করে সমাধান উদাহরণ 3 এর সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান। সূত্র: এফ.জাপাটা।

একই সিস্টেমের জন্য 5 এর পরিবর্তে 10 টি পুনরাবৃত্তি সহ নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি পাওয়া যায়: এক্স 1 = -0.485; এক্স 2 = 1.0123; এক্স 3 = -0.3406

এটি আমাদের জানায় যে পাঁচটি পুনরাবৃত্তি নির্ভুলতার তিন দশমিক স্থান অর্জনের জন্য যথেষ্ট এবং পদ্ধতিটি দ্রুত দ্রবণে রূপান্তরিত করে।

- উদাহরণ 4

উপরে বর্ণিত গাউস-সিডেল অ্যালগরিদম ব্যবহার করে নীচে প্রদত্ত 4 × 4 সমীকরণের সমাধানটি খুঁজে বের করুন:

10 এক্স 1 - এক্স 2 + 2 এক্স 3 + 0 এক্স 4 = 6

-1 এক্স 1 + 11 এক্স 2 - 1 এক্স 3 + 3 এক্স 4 = 25

2 এক্স 1 - 1 এক্স 2 + 10 এক্স 3 - 1 এক্স 4 = -11

0 x1 + 3 এক্স 2 - 1 এক্স 3 + 8 এক্স 4 = 15

পদ্ধতিটি শুরু করতে, এই বীজটি ব্যবহার করুন:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 এবং x4 = 0

10 টি পুনরাবৃত্তি বিবেচনা করুন এবং পুনরাবৃত্তি সংখ্যা 11 এর সাথে তুলনা করে ফলাফলের ত্রুটিটি অনুমান করুন।

সমাধান

চিত্র 4. এসএমএথ স্টুডিও ব্যবহার করে সমাধান উদাহরণ 4 এর সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান। সূত্র: এফ.জাপাটা।

পরবর্তী পুনরাবৃত্তির (11 নম্বর) সাথে তুলনা করার সময় ফলাফলটি অভিন্ন। দুটি পুনরাবৃত্তির মধ্যে বৃহত্তম পার্থক্যগুলি 2 × 10 ^-8 এর ক্রম হয়, যার অর্থ প্রদর্শিত সমাধানটিতে কমপক্ষে সাত দশমিক স্থানের যথার্থতা রয়েছে।

তথ্যসূত্র

1. Iterative সমাধান পদ্ধতি। গাউস-Seidel। থেকে উদ্ধার: cimat.mx
2. সংখ্যা পদ্ধতি। গাউস-Seidel। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: test.cua.uam.mx
3. সংখ্যাসূচক: গাউস-সিডেল পদ্ধতি। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. উইকিপিডিয়া। গাউস-সিডেল পদ্ধতি। পুনরুদ্ধার থেকে: en। wikipedia.com
5. উইকিপিডিয়া। গাউস-সিডেল পদ্ধতি। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া