উত্তল বহুভুজ: সংজ্ঞা, উপাদান, বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি উত্তল বহুভুজ একটি জ্যামিতিক চিত্র একটি প্লেনে কারণ এটির অভ্যন্তর এ এটির সকল কর্ণ আছে এবং তার কোণ 180º কম পরিমাপ চিহ্নিত করা যে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। এর বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে নিম্নরূপ:

1) এটি একটানা n টি বিভাগ নিয়ে গঠিত যেখানে বিভাগগুলির সর্বশেষ অংশটি প্রথমটিতে যোগদান করে। ২) কোনও অংশই এইভাবে ছেদ করে না যে কোনও অভ্যন্তরীণ অঞ্চল এবং বাইরের অঞ্চলে বিমানটি সীমান্তে ফেলে দেওয়া যায়। 3) অভ্যন্তর অঞ্চলে প্রতিটি এবং প্রতিটি কোণ একটি সমতল কোণের চেয়ে কম।

চিত্র 1. বহুভুজ 1, 2 এবং 6 উত্তল। (রিকার্ডো পেরেজ প্রস্তুত)।

বহুভুজটি উত্তল কি না তা নির্ধারণের একটি সহজ উপায় হ'ল তার কোন এক পাশ দিয়ে যাওয়ার রেখাটি বিবেচনা করা, যা দুটি অর্ধ-প্লেন নির্ধারণ করে। যদি প্রতিটি লাইনটি এক পাশ দিয়ে যায়, বহুভুজের অন্য দিকগুলি একই অর্ধ বিমানে থাকে তবে এটি একটি উত্তল বহুভুজ।

বহুভুজের উপাদানসমূহ

প্রতিটি বহুভুজ নিম্নলিখিত উপাদান নিয়ে গঠিত:

- পক্ষই

- ভার্টেস

পক্ষগুলি হল একটানা প্রতিটি বিভাগ যা বহুভুজ তৈরি করে। বহুভুজের মধ্যে যে অংশটি এটি তৈরি করে তাদের কোনওরই খোলা প্রান্ত থাকতে পারে না, সেক্ষেত্রে বহুভুজ নয় তবে বহুভুজ নয়।

ভার্টেসগুলি টানা দুটি বিভাগের জংশন পয়েন্ট। বহুভুজের মধ্যে, শীর্ষে সংখ্যা সর্বদা পার্শ্বের সংখ্যার সমান হয়।

যদি বহুভুজের দুটি দিক বা বিভাগগুলি ছেদ করে, তবে আপনার একটি ক্রস বহুভুজ রয়েছে। ক্রসিং পয়েন্টটি একটি শীর্ষবিন্দু হিসাবে বিবেচনা করা হয় না। ক্রস বহুভুজ হ'ল একটি নন-উত্তল বহুভুজ। স্টার বহুভুজগুলি ক্রস বহুভুজ এবং সুতরাং উত্তল নয়।

যখন বহুভুজটির সমস্ত পাশ একই দৈর্ঘ্য হয়, তখন আমাদের নিয়মিত বহুভুজ থাকে। সমস্ত নিয়মিত বহুভুজ উত্তল হয়।

উত্তল এবং নন-উত্তল বহুভুজ

চিত্র 1-এ বেশ কয়েকটি বহুভুজ দেখানো হয়েছে, এর কয়েকটি উত্তল এবং তাদের কয়েকটি নেই। আসুন তাদের বিশ্লেষণ করুন:

1 নম্বরটি একটি ত্রি-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজ (ত্রিভুজ) এবং সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণ 180 than এর চেয়ে কম, সুতরাং এটি উত্তল বহুভুজ। সমস্ত ত্রিভুজগুলি উত্তল বহুভুজ।

সংখ্যা 2 হ'ল একটি চতুর্মুখী বহুভুজ (চতুর্ভুজ) যেখানে পক্ষগুলির কোনওটি ছেদ করে না এবং প্রতিটি অভ্যন্তরের কোণ 180º এর কম হয় º এটি তখন চার পাশ (উত্তল চতুর্ভুজ) সহ একটি উত্তল বহুভুজ।

অন্যদিকে, 3 নম্বরটি বহু পক্ষযুক্ত বহুভুজ তবে এর অভ্যন্তরের একটি কোণ 180º এর চেয়ে বেশি, সুতরাং এটি জঞ্জাল শর্তটি পূরণ করে না। অর্থাত্ এটি একটি অববাহিত চতুর্ভুজ বহুভুজ যা অবতল চতুর্ভুজ বলে।

4 নম্বরটি একটি বহুভুজ যা চারটি বিভাগ (দিক) রয়েছে, যার দুটি ছেদ করে। চারটি অভ্যন্তর কোণটি 180º এর চেয়ে কম, তবে যেহেতু দুটি পক্ষই ছেদ করে এটি একটি নন-উত্তল ক্রসড বহুভুজ (ক্রসড চতুর্ভুজ)।

অন্য কেসটি হ'ল ৫ নম্বর This এটি একটি পাঁচ-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজ, তবে যেহেতু এর অভ্যন্তরগুলির একটি কোণ 180º এর চেয়ে বেশি, তারপরে আমাদের একটি অবতল বহুভুজ রয়েছে।

পরিশেষে, number নম্বর, যার পাঁচ দিক রয়েছে, এর অভ্যন্তরের সমস্ত কোণ 180º এর চেয়ে কম রয়েছে, সুতরাং এটি পাঁচটি পাশের (উত্তল পেন্টাগন) সহ একটি উত্তল বহুভুজ।

উত্তল বহুভুজের বৈশিষ্ট্য

1- একটি অ-ক্রসড বহুভুজ বা সাধারণ বহুভুজ বিমানটিকে দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করে। অভ্যন্তরীণ অঞ্চল এবং বাইরের অঞ্চল, বহুভুজ দুটি অঞ্চলের মধ্যে সীমান্ত।

তবে যদি বহুভুজটি অতিরিক্তভাবে উত্তল হয়, তবে আমাদের অভ্যন্তর অঞ্চল রয়েছে যা কেবল সংযুক্ত, যার অর্থ অভ্যন্তরীণ অঞ্চল থেকে কোনও দুটি পয়েন্ট নেওয়া, এটি সর্বদা অভ্যন্তর অঞ্চলের সাথে পুরোপুরি অন্তর্গত একটি বিভাগে যোগ দিতে পারে।

চিত্র 2. একটি উত্তল বহুভুজটি সহজেই সংযুক্ত থাকে, যখন অবতলটি হয় না। (রিকার্ডো পেরেজ প্রস্তুত)।

2- উত্তল বহুভুজের প্রতিটি অভ্যন্তর কোণ একটি সমতল কোণ (180º) এর চেয়ে কম।

3- উত্তল বহুভুজের সমস্ত অভ্যন্তরীণ পয়েন্টগুলি সর্বদা লাইন দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি সেমিপ্লেনের অন্তর্ভুক্ত যা ক্রমাগত দুটি শীর্ষে প্রবেশ করে।

4- একটি উত্তল বহুভুজের মধ্যে সমস্ত তির্যকটি সম্পূর্ণরূপে অভ্যন্তরের বহুভুজ অঞ্চলে থাকে।

5- একটি উত্তল বহুভুজের অভ্যন্তরীণ পয়েন্টগুলি প্রতিটি অভ্যন্তরের কোণ দ্বারা নির্ধারিত উত্তল কৌণিক ক্ষেত্রের সাথে সম্পূর্ণরূপে অন্তর্গত।

Every- প্রতিটি বহুভুজের যেখানে এর সমস্ত অনুভূমিকাগুলি একটি পরিধির উপরে থাকে তা একটি উত্তল বহুভুজ যা একটি চক্রাকার বহুভুজ বলে।

7- প্রতিটি চক্রীয় বহুভুজ উত্তল, তবে প্রতিটি উত্তল বহুভুজটি চক্রীয় নয়।

8- যে কোনও নন-ক্রসড বহুভুজ (সরল বহুভুজ) যার সমান দৈর্ঘ্যের সমস্ত দিক রয়েছে তা উত্তল এবং নিয়মিত বহুভুজ হিসাবে পরিচিত।

উত্তল বহুভুজগুলিতে ডায়াগোনাল এবং কোণ

9- এন পাশগুলির সাথে উত্তল বহুভুজের মোট তির্যক সংখ্যা N নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে:

এন = ½ এন (এন - 3)

প্রুফ: প্রতিটি শীর্ষবর্গের n টির সাথে উত্তল বহুভুজের মধ্যে 3 - ত্রিভুজ আঁকা হয়, যেহেতু ভার্টেক্স নিজেই এবং দুটি সংলগ্ন অংশ বাদ যায়। যেহেতু n টি শীর্ষে রয়েছে তাই এন (এন - 2) ত্রিভুজগুলি মোট অঙ্কিত হয় তবে প্রতিটি তির্যকটি দ্বিগুণ আঁকানো হয়, সুতরাং ত্রিভুজগুলির সংখ্যা (পুনরাবৃত্তি ছাড়াই) এন (এন -2) / 2 হয়।

10- এন পক্ষগুলির সাথে উত্তল বহুভুজের অভ্যন্তরের কোণগুলির যোগফল নীচের সম্পর্কের দ্বারা দেওয়া হয়েছে:

এস = (এন - 2) 180º º

উদাহরণ

উদাহরণ 1

চক্রীয় ষড়ভুজটি একটি বহুভুজ যা ছয় পক্ষ এবং ছয়টি শীর্ষে রয়েছে, তবে সমস্ত অনুভূমিকাগুলি একই পরিধিতে রয়েছে। প্রতিটি চক্রাকার বহুভুজ উত্তল হয়।

চক্রীয় ষড়ভুজ।

উদাহরণ 2

নিয়মিত এনেগনের অভ্যন্তরের কোণগুলির মান নির্ধারণ করুন।

সমাধান: এনেগন একটি 9-পক্ষযুক্ত বহুভুজ, তবে এটি যদি নিয়মিত হয় তবে এর সমস্ত দিক এবং কোণ সমান।

9-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজের সমস্ত অভ্যন্তরের কোণগুলির সমষ্টি:

এস = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º º

তবে সমান পরিমাপের 9 টি অভ্যন্তরীণ কোণ রয়েছে so সুতরাং নিম্নলিখিত সমতাটি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

এস = 9 α = 1260º º

যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে নিয়মিত এনগনের প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপ is

º = 1260º / 9 = 140º º