গুণক নীতি: গণনা কৌশল এবং উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

গুণনশীল নীতি কাউন্টিং সমস্যার সমাধানের তার উপাদানের তালিকা করেও সমাধান খুঁজে বের করার ব্যবহৃত একটি কৌশল। এটি সম্মিলন বিশ্লেষণের মৌলিক নীতি হিসাবেও পরিচিত; এটি কীভাবে ঘটনা ঘটতে পারে তা নির্ধারণের জন্য এটি ক্রমাগত গুণনের উপর ভিত্তি করে।

এই নীতিতে বলা হয়েছে যে, যদি সিদ্ধান্ত (d ₁) n উপায়ে নেওয়া যেতে পারে এবং অন্য সিদ্ধান্ত (d ₂) মি পদ্ধতিতে নেওয়া যেতে পারে, d ₁ এবং d ₂ সিদ্ধান্ত নেওয়া মোট উপায়ের সমান হবে এন _* মি থেকে গুণ করা নীতি অনুসারে, প্রতিটি সিদ্ধান্ত একের পর এক করা হয়: উপায় সংখ্যা = এন _{1 *} এন ₂ … _* এন _এক্স উপায় ways

উদাহরণ

উদাহরণ 1

পলা তার বন্ধুদের সাথে সিনেমাগুলিতে যাওয়ার পরিকল্পনা করেছে এবং যে পোশাকটি সে পরবে তা বেছে নিতে আমি 3 টি ব্লাউজ এবং 2 স্কার্ট আলাদা করি separate পাওলা কত উপায়ে পোষাক করতে পারেন?

সমাধান

এই ক্ষেত্রে, পলা অবশ্যই দুটি সিদ্ধান্ত নিতে হবে:

d ₁ = 3 টি ব্লাউজ = এন এর মধ্যে চয়ন করুন

d ₂ = 2 টি স্কার্টের মধ্যে নির্বাচন করুন = মি

এইভাবে পাওলাকে ড্রেসিংয়ের বিভিন্ন সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য নয় _* মি।

n _* মি = 3 _* 2 = 6 সিদ্ধান্ত।

গুণগত নীতিটি গাছের চিত্রের কৌশল থেকে জন্মগ্রহণ করে, যা এমন একটি চিত্র যা সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলকে সম্পর্কিত করে, যাতে প্রত্যেকেই সীমাবদ্ধ সংখ্যক বার ঘটতে পারে।

উদাহরণ 2

মারিও খুব তৃষ্ণার্ত ছিল, তাই তিনি রস কিনতে বেকারিতে গেলেন। লুই তার যত্ন নেয় এবং তাকে বলে যে এটি দুটি আকারে আসে: বড় এবং ছোট; এবং চার স্বাদ: আপেল, কমলা, লেবু এবং আঙ্গুর। মারিও কত উপায়ে রস চয়ন করতে পারে?

সমাধান

ডায়াগ্রামে দেখা যায় যে মারিওর রস বেছে নেওয়ার জন্য 8 টি বিভিন্ন উপায় রয়েছে এবং এটি গুণক নীতি অনুসারে এই ফলাফলটি n _* মিটার দ্বারা গুণিত দ্বারা প্রাপ্ত হয় । পার্থক্য কেবলমাত্র এই চিত্রের মাধ্যমে আপনি দেখতে পারবেন যে মারিও যে পদ্ধতিতে রস চয়ন করেন সেগুলি কেমন।

অন্যদিকে, যখন সম্ভাব্য ফলাফলগুলির সংখ্যা খুব বেশি হয়, তখন এটি গুণক নীতিটি ব্যবহার করা আরও কার্যকর।

গণনা কৌশল

গণনা কৌশলগুলি এমন একটি পদ্ধতি যা প্রত্যক্ষ গণনা করার জন্য ব্যবহৃত হয় এবং এভাবে প্রদত্ত সংস্থার উপাদানগুলি যে কতগুলি সম্ভব ব্যবস্থা করতে পারে তা জানে। এই কৌশলগুলি বিভিন্ন নীতি উপর ভিত্তি করে:

সংযোজন নীতি

এই নীতিটিতে বলা হয়েছে যে, মি এবং এন দুটি একই সময়ে ঘটতে না পারলে প্রথম বা দ্বিতীয় ঘটনা যেভাবে ঘটতে পারে তার সংখ্যা মি + এন এর যোগফল হবে:

আকারের সংখ্যা = এম + এন… + x বিভিন্ন আকারের।

উদাহরণ

অ্যান্টোনিও একটি ট্রিপ নিতে চায় তবে কোন গন্তব্যের সিদ্ধান্ত নেয় না; সাউদার্ন ট্যুরিজম এজেন্সিতে তারা আপনাকে নিউইয়র্ক বা লাস ভেগাসে ভ্রমণের জন্য একটি পদোন্নতি দেয়, যখন পূর্ব পর্যটন সংস্থা ফ্রান্স, ইতালি বা স্পেন ভ্রমণ করার পরামর্শ দেয়। অ্যান্টোনিও আপনাকে কতগুলি ভ্রমণের বিকল্প প্রস্তাব করে?

সমাধান

সাউদার্ন ট্যুরিজম এজেন্সিটির সাথে অ্যান্টোনিওর 2 টি বিকল্প রয়েছে (নিউ ইয়র্ক বা লাস ভেগাস), ইস্টার্ন ট্যুরিজম এজেন্সির সাথে তার 3 টি বিকল্প রয়েছে (ফ্রান্স, ইতালি বা স্পেন)। বিভিন্ন বিকল্পের সংখ্যা:

বিকল্পের সংখ্যা = এম + এন = 2 + 3 = 5 বিকল্প।

আজ্ঞা নীতি

এটি উপাদানগুলির সাথে তৈরি করা যেতে পারে এমন সমস্ত সম্ভাব্য ব্যবস্থার গণনা করার সুবিধার জন্য একটি সেট তৈরি করা সমস্ত উপাদান বা কিছু উপাদানকে বিশেষভাবে অর্ডার দেওয়ার বিষয়ে।

একবারে একসাথে নেওয়া সমস্ত আলাদা আলাদা উপাদানগুলির ক্রমের সংখ্যাটি এইভাবে উপস্থাপিত হয়:

_n পি _এন = এন!

উদাহরণ

চার বন্ধু একটি ছবি তুলতে চায় এবং জানতে চায় যে তাদের কতগুলি বিভিন্ন উপায়ে সাজানো যেতে পারে।

সমাধান

আপনি সমস্ত সম্ভাব্য উপায়গুলির সেটটি জানতে চান যাতে ছবি তোলার জন্য 4 জন লোককে অবস্থিত করা যায়। সুতরাং, আপনি করতে হবে:

₄ পি ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 টি বিভিন্ন আকার।

এন উপাদানসমূহের ক্রমসংখ্যার ক্রম সংখ্যা যদি আর উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত সেটের অংশগুলি দ্বারা নেওয়া হয় তবে তা উপস্থাপিত হয়:

_n পি _{আর =} এন! ÷ (এন - আর)!

উদাহরণ

একটি শ্রেণিকক্ষে 10 টি আসন রয়েছে। যদি 4 জন শিক্ষার্থী ক্লাসে উপস্থিত হয় তবে শিক্ষার্থীরা বিভিন্ন উপায়ে কতগুলি পদ পূরণ করতে পারে?

সমাধান

আমাদের কাছে চেয়ারগুলির মোট সংখ্যা 10 টি, এবং এর মধ্যে কেবল 4 টি ব্যবহৃত হবে given প্রদত্ত সূত্রটি আদেশের সংখ্যা নির্ধারণের জন্য প্রয়োগ করা হয়:

_n পি _আর = এন! ÷ (এন - আর)!

₁₀ পি ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ পি ₄ = 10! ! 6!

₁₀ পি ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 পজিশন পূরণের উপায়।

এমন কেস রয়েছে যেখানে কোনও সেটের উপলব্ধ কিছু উপাদান পুনরাবৃত্তি হয় (সেগুলি একই)। একই সাথে সমস্ত উপাদান গ্রহণ করে অ্যারেগুলির সংখ্যা গণনা করতে, নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহৃত হয়:

_n পি _আর = এন! ! N ₁ ! _* এন ₂ !… এন _আর !

উদাহরণ

"নেকড়ে" শব্দটি থেকে চারটি বর্ণের কতগুলি পৃথক শব্দ গঠিত হতে পারে?

সমাধান

এই ক্ষেত্রে 4 টি উপাদান (অক্ষর) রয়েছে যার মধ্যে দুটি হুবহু একই। প্রদত্ত সূত্রটি প্রয়োগ করে জানা যায় যে কতগুলি পৃথক শব্দের ফলাফল:

_n পি _আর = এন! ! N ₁ ! _* এন ₂ !… এন _আর !

₄ পি _{2, 1,1} = 4! ! 2! _* 1! _* 1!

₄ পি _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ পি _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 বিভিন্ন শব্দ।

সম্মিলন নীতি

এটি নির্দিষ্ট বা আদেশ ছাড়াই একটি সেট তৈরি করে এমন কিছু বা কিছু উপাদানকে সাজানোর বিষয়ে। উদাহরণস্বরূপ, আপনার যদি একটি এক্সওয়াইজেড ব্যবস্থা থাকে তবে এটি অন্যদের মধ্যে জেডএক্সওয়াই, ওয়াইজেডএক্স, জেডওয়াইक्स ব্যবস্থা হিসাবে অভিন্ন হবে; এটি কারণ, একই ক্রমে না থাকা সত্ত্বেও, প্রতিটি ব্যবস্থার উপাদানগুলি একই।

যখন কিছু উপাদান (র) সেট (এন) থেকে নেওয়া হয়, সংশ্লেষের নীতিটি নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়:

_n সি _{আর =} এন! ÷ (এন - আর)! আর!

উদাহরণ

একটি দোকানে তারা 5 টি বিভিন্ন ধরণের চকোলেট বিক্রি করে। 4 টি চকোলেট কতগুলি পৃথক উপায়ে নির্বাচন করা যেতে পারে?

সমাধান

এক্ষেত্রে তারা দোকানে যে 5 টি প্রকার বিক্রি করে তার মধ্যে 4 টি চকোলেট বেছে নিতে হয়। যে ক্রমে তারা চয়ন করা যায় তা বিবেচ্য নয় এবং তদ্ব্যতীত, এক ধরণের চকোলেটটি দ্বিগুণেরও বেশি চয়ন করা যেতে পারে। সূত্র প্রয়োগ করে, আপনাকে:

_n সি _আর = এন! ÷ (এন - আর)! আর!

₅ সি ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ সি ₄ = 5! ÷ (1) 4!

₅ সি ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ সি ₄ = 120 ÷ 24 = 5 বিভিন্ন উপায় 4 চকোলেট চয়ন করার জন্য।

যখন সেট (এন) এর সমস্ত উপাদান (র) নেওয়া হয়, সংশ্লেষ নীতির নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়:

_n সি _{এন =} এন!

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

14 সদস্যের সাথে একটি বেসবল দল রয়েছে। একটি গেমের জন্য 5 টি পদকে কত উপায়ে নির্ধারিত করা যেতে পারে?

সমাধান

সেটটি 14 টি উপাদান নিয়ে গঠিত এবং আপনি 5 নির্দিষ্ট অবস্থান নির্ধারণ করতে চান; তা হ'ল অর্ডার বিষয়গুলি। ক্রমের সূত্রটি প্রয়োগ করা হয় যেখানে এন উপলব্ধ উপাদানগুলিকে সেটের অংশ দ্বারা নেওয়া হয় যা আর দ্বারা গঠিত হয়।

_n পি _{আর =} এন! ÷ (এন - আর)!

যেখানে n = 14 এবং r = 5 এটি সূত্রে প্রতিস্থাপিত হয়েছে:

₁₄ পি ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ পি ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ পি ₅ = 240 240 টি 9 গেমের অবস্থান নির্ধারণের জন্য।

অনুশীলন 2

যদি 9 বছরের একটি পরিবার ভ্রমণে যায় এবং টানা টানা আসনগুলির সাথে তাদের টিকিট কিনে, তবে তারা কয়টি ভিন্ন উপায়ে বসে থাকতে পারেন?

সমাধান

এটি প্রায় 9 টি উপাদান যা ক্রমাগত 9 টি আসন দখল করবে।

পি ₉ = 9!

পি ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 বসার বিভিন্ন উপায়।

তথ্যসূত্র

1. হপকিনস, বি। (২০০৯) বিচ্ছিন্ন গণিত শেখানোর সংস্থান: শ্রেণিকক্ষ প্রকল্প, ইতিহাস মডিউল এবং নিবন্ধসমূহ।
2. জনসনবগ, আর। (2005) বিচ্ছিন্ন গণিত. পিয়ারসন শিক্ষা,.
3. লুৎফিয়া, এলএ (২০১২)। সীমাবদ্ধ এবং বিচ্ছিন্ন গণিত সমস্যা সমাধানকারী। গবেষণা এবং শিক্ষা সমিতি সম্পাদক।
4. প্যাড্রে, এফসি (2001) বিচ্ছিন্ন গণিত. রাজনীতি কাতালুনিয়ার
5. স্টেইনার, ই। (2005)। ফলিত বিজ্ঞানের জন্য গণিত। Reverte।