বহুবচনগুলির যোগফল, এটি কীভাবে করা যায়, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

Polynomials এর সমষ্টি অপারেশন যে দুই বা ততোধিক polynomials যোগ আরেক বহুপদী ফলে নিয়ে গঠিত হয়। এটি সম্পাদন করার জন্য, প্রতিটি বহুভুজের একই ক্রমের শর্তাদি যুক্ত করতে হবে এবং ফলাফলের যোগফলটি নির্দেশ করতে হবে।

প্রথমে সংক্ষেপে "একই ক্রমের শর্তাবলী" এর অর্থ পর্যালোচনা করা যাক। যে কোনও বহুত্বীয় পদ সংযোজন এবং / বা শর্তগুলির বিয়োগ দ্বারা গঠিত।

চিত্র 1. দুটি বহুভিত্তিক যুক্ত করতে তাদের আদেশ করতে হবে এবং তার পরে পদটি হ্রাস করতে হবে। সূত্র: পিক্সাবে + উইকিমিডিয়া কমন্স।

পদগুলি হ'ল সংখ্যার এবং এক বা একাধিক ভেরিয়েবলের পণ্যগুলি হতে পারে, অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, উদাহরণস্বরূপ: 3x ² এবং -√5.a ² বিসি ³ শর্তাবলী।

ঠিক আছে, একই ক্রমের শর্তগুলি হ'ল সেগুলির একই পদক্ষেপ বা শক্তি রয়েছে, যদিও তাদের আলাদা গুণক থাকতে পারে।

সমান ক্রমের শর্তাদি: 5x ³, x2 x ³ এবং -1 / 2x ³

-বিভিন্ন আদেশের শর্তাদি: -2x ^-2, ² অক্সি ^-1 এবং √6x ² এবং

এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে কেবল একই আদেশের শর্তাদি যোগ বা বিয়োগ করা যেতে পারে, এটি একটি অপারেশন যা হ্রাস হিসাবে পরিচিত। অন্যথায় যোগফলটি কেবল ইঙ্গিত করা যায়।

একবার একই আদেশের শর্তগুলির ধারণাটি স্পষ্ট হয়ে গেলে, এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে বহুবচনগুলি যুক্ত করা হয়:

- বৃদ্ধি বা হ্রাসমান পদ্ধতিতে, একইভাবে সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ বা বিপরীতভাবে যুক্ত করার জন্য প্রথম বহুবচনগুলি অর্ডার করুন।

- সম্পূর্ণ, যদি ক্রমটিতে কোনও শক্তি অনুপস্থিত হয়।

- পদগুলির মতো হ্রাস করুন ।

- ফলাফলের যোগফলটি নির্দেশ করুন।

বহুবচন যোগ করার উদাহরণ

আমরা x নামে একটি একক ভেরিয়েবলের সাহায্যে দুটি বহুভুজ যুক্ত করে শুরু করব, উদাহরণস্বরূপ প্রদত্ত বহুপদী P (x) এবং Q (x):

পি (x) = 2x ² - 5x ⁴ + 2x –x ⁵ - 3x ³ +12

প্রশ্ন (এক্স) = এক্স ⁵ - 25 এক্স + এক্স ²

বর্ণিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে, আপনি এগুলি অবতরণ ক্রমে অর্ডার করে শুরু করুন, যা সবচেয়ে সাধারণ উপায়:

পি (x) = 5x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 2x ² + 2x +12

প্রশ্ন (x) = x ⁵ + x ² - 25x

বহুবর্ষীয় কিউ (এক্স) সম্পূর্ণ নয়, এটি দেখা যায় যে 4, 3 এবং 0 এর সাথে ক্ষুদ্র শক্তি রয়েছে The পরেরটি কেবল স্বতন্ত্র পদ, এটি কোনও অক্ষর ছাড়াই।

প্রশ্ন (x) = x ⁵ + 0x ⁴ + 0x ³ + x ² - 25x + 0

এই পদক্ষেপটি শেষ হয়ে গেলে, তারা যুক্ত করতে প্রস্তুত। আপনি অনুরূপ পদগুলি যুক্ত করতে পারেন এবং তারপরে যোগফলটি নির্দেশ করতে পারেন, বা অর্ডারযুক্ত বহুভুজকে একে অপরের নীচে স্থাপন করতে পারেন এবং কলামগুলির সাহায্যে এইভাবে হ্রাস করতে পারেন:

- x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 2x ² + 2x +12

+ x ⁵ + 0x ⁴ + 0x ³ + x ² - 25x + 0 +

--------------------

0x ⁵ –5x ⁴ - 3x ³ + 3x ² - 23x + 12 = P (x) + Q (x)

এটি লক্ষণীয় গুরুত্বপূর্ণ যে এটি যুক্ত হওয়ার পরে এটি চিহ্নগুলির নিয়মের সম্মান করে বীজগণিতভাবে সম্পন্ন করা হয়, এভাবে 2x + (-25 x) = -23x। অর্থাৎ, সহগের যদি আলাদা চিহ্ন থাকে তবে সেগুলি বিয়োগ করা হয় এবং ফলাফলটি বৃহত্তর চিহ্নটি বহন করে।

একাধিক ভেরিয়েবলের সাথে দুটি বা ততোধিক বহুবচন যুক্ত করুন

যখন এটি একাধিক ভেরিয়েবলের সাথে বহুবচনগুলির ক্ষেত্রে আসে, তাদের মধ্যে একটির ক্রমটি অর্ডার করার জন্য বেছে নেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আপনি যোগ করতে বলেছেন:

আর (x, y) = 5x ² - 4y ² + 8xy - 6y ³

এবং:

টি (X, Y) = গণমাধ্যমে এক্স ² - 6y ² - 11xy + X ³ এবং

ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে একটি বেছে নেওয়া হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ x অর্ডার করতে:

আর (x, y) = 5x ² + 8xy - 6y ³ - 4y ²

টি (x, y) = + x ³ y + ½ x ² - 11xy - 6y ²

তাত্ক্ষণিকভাবে অনুপস্থিত শর্তাদি সম্পূর্ণ হয়, যার ভিত্তিতে প্রতিটি বহুপদী রয়েছে:

আর (x, y) = 0x ³ y + 5x ² + 8xy - 6y ³ - 4y ²

টি (x, y) = + x ³ y + ½ x ² - 11xy + 0y ³ - 6y ²

এবং আপনি উভয় মত পদ হ্রাস করতে প্রস্তুত:

0x ³ y + 5x ² + 8xy - 6y ³ - 4y ²

+ x ³ y + ½ x ² - 11 অক্টোবর + 0y ³ - 6y ² +

---------------------–

+ x ³ y + 11 / 2x ² - ³ অক্টোবর - 6y ³ - 10y ² = আর (x, y) + টি (x, y)

বহুপদী সংযোজন অনুশীলন

- অনুশীলনী 1

বহুবর্ষের নিম্নলিখিত সংখ্যায়, পদটি নির্দেশ করুন যা বহুপদী সমষ্টি পেতে ফাঁকা জায়গায় যেতে হবে:

-5x ⁴ + 0x ³ + 2x ² + 1

x ⁵ + 2x ⁴ - 21x ² + 8x - 3

2x ⁵ + 9x ³ -14x

----------------

-6x ⁵ + 10x ⁴ -0x ³ + 5x ² - 11x + 21

সমাধান

-6x ⁵ পেতে ফর্ম কুঠার ^{5 এর একটি পদ প্রয়োজন}, যেমন:

a + 1+ 2 = -6

এভাবে:

a = -6-1-2 = -9

এবং অনুসন্ধান শব্দটি হ'ল:

-9x ⁵

-আমরা একই পদে বাকী শর্তগুলি খুঁজে পেতে এগিয়ে চলি। ঘোষক 4 এর জন্য এখানে একটি:

-5 + 2 + এ = 10 → এ = 10 + 5-2 = 13

অনুপস্থিত শব্দটি হ'ল: 13x ⁴ ।

X ³ এর শক্তির জন্য ^এটি শব্দটি তাত্ক্ষণিক -9x ³ হওয়া উচিত, এইভাবে ঘনক পদটির সহগ 0 হয় 0

বর্গক্ষেত্রের শক্তির জন্য: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5 এবং শব্দটি -5x ^{2 হয়} ।

রৈখিক শব্দটি একটি +8 -14 = -11 → a = -11 + 14 - 8 = -5, অনুপস্থিত শব্দ -5x এর মাধ্যমে প্রাপ্ত হয়।

-শেষে, স্বতন্ত্র শব্দটি হ'ল: 1 -3 + a = -21 → a = -19।

- অনুশীলন 2

চিত্রের মতো দেখানো হয়েছে একটি সমতল ভূখণ্ড বেড়া হয়েছে। এর জন্য একটি অভিব্যক্তি সন্ধান করুন:

ক) পরিধি এবং

খ) এর ক্ষেত্রফল, নির্দেশিত দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে:

চিত্র 2. একটি সমতল ভূখণ্ডটি নির্দেশিত আকার এবং মাত্রা সহ বেড়া করা হয়েছে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সমাধান

পেরিমিটারটি চিত্রের পাশ এবং সংকোচনের যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। নীচের বাম কোণে শুরু করে, ঘড়ির কাঁটার দিকে, আমাদের রয়েছে:

পেরিমিটার = y + x + অর্ধবৃত্তের দৈর্ঘ্য + z + তির্যক দৈর্ঘ্য + z + z + x

অর্ধবৃত্তটির ব্যাস x সমান has ব্যাসার্ধটি ব্যাসের অর্ধেক হওয়ায় আপনাকে অবশ্যই:

ব্যাসার্ধ = x / 2।

সম্পূর্ণ পরিধির দৈর্ঘ্যের সূত্রটি হ'ল:

এল = 2π এক্স ব্যাসার্ধ

সুতরাং:

অর্ধবৃত্তের দৈর্ঘ্য = ½। 2π (x / 2) = /x / 2

এর অংশের জন্য, পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি পার্শ্বগুলিতে প্রয়োগ করা হয়েছে সঙ্গে তির্যকটি গণনা করা হয়: (x + y) যা উল্লম্ব দিক এবং z, যা অনুভূমিক:

তির্যক = ^1/2

এই এক্সপ্রেশনগুলি পরিসীমাটির পরিবর্তে, প্রাপ্ত করতে:

পরিধি = y + x + /x / 2 + z + ^1/2 + z + x + z

মত শর্তগুলি হ্রাস করা হয়েছে, যেহেতু সংযোজনটির জন্য প্রয়োজনীয় ফলাফলটি যতটা সম্ভব সরল করা প্রয়োজন:

পরিধি = y + + z + z + z + ^1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z

সমাধান খ

ফলস্বরূপ অঞ্চলটি আয়তক্ষেত্র, অর্ধবৃত্ত এবং ডান ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের যোগফল। এই অঞ্চলগুলির জন্য সূত্রগুলি হ'ল:

- আয়তক্ষেত্র: বেস এক্স উচ্চতা

- অর্ধবৃত্ত: ½ π (ব্যাসার্ধ) ²

- ত্রিভুজ: বেস এক্স উচ্চতা / 2

আয়তক্ষেত্র অঞ্চল

(x + y) (x + z) = x ² + xz + yx + yz

অর্ধবৃত্ত অঞ্চল

গণমাধ্যমে π (এক্স / 2) ² = π এক্স ² /8

ত্রিভুজ অঞ্চল

½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy

মোট এলাকা

মোট অঞ্চলটি সন্ধান করতে, প্রতিটি আংশিক অঞ্চলের জন্য পাওয়া এক্সপ্রেশনগুলি যুক্ত করা হয়:

মোট এলাকা = এক্স ² + + ভাবে XZ লস + + YZ + X + + (π এক্স ² /8) + + Zx + + গণমাধ্যমে গণমাধ্যমে ZY

এবং অবশেষে অনুরূপ সমস্ত পদ হ্রাস করা হয়েছে:

মোট আয়তন = (1 + π / 8) x ² + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx

তথ্যসূত্র

1. বালডোর, এ। 1991. বীজগণিত। সম্পাদকীয় সংস্কৃতি ভেনিজোলনা এসএ
2. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
3. গণিতটি মজাদার pol বহুভুজ যুক্ত এবং বিয়োগ করে। পুনরুদ্ধার করা: mathsisfun.com থেকে।
4. মন্টেরি ইনস্টিটিউট। পলিনোমিয়াল যুক্ত এবং বিয়োগ করা। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: montereyinst વિકલ્પ.org।
5. ইউসি বার্কলে। বহুবর্ষের বীজগণিত। উদ্ধারকৃত থেকে: math.berkeley.edu।