বাইজিক ফাংশন: এটি কী, এটি কীভাবে হয়, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

একজন bijective ফাংশন যে হচ্ছে ডবল শর্ত পূরণ injective এবং surjective । অর্থাত, ডোমেনের সমস্ত উপাদানগুলির কোডোমেনে একটি একক চিত্র থাকে এবং পরিবর্তে কোডোমেন ফাংশনের (R _f) র‌্যাঙ্কের সমান হয় ।

এটি ডোমেন এবং কোডোমেনের উপাদানগুলির মধ্যে একের মধ্যে সম্পর্কের বিষয়টি বিবেচনা করে পূর্ণ হয়। একটি সাধারণ উদাহরণ F: R → R লাইন F (x) = x দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে function

সূত্র: লেখক

এটি লক্ষ্য করা যায় যে ডোমেনের প্রতিটি মান বা শুরু করার সেট (উভয় পদ সমানভাবে প্রযোজ্য) এর জন্য কোডোমাইন বা আগমন সেটটিতে একটি একক চিত্র থাকে। তদুপরি, চিত্র ব্যতীত কোডোমেনের কোনও উপাদান নেই।

এইভাবে F: R → R লাইন F (x) = x দ্বারা সংজ্ঞায়িত বাইজেক্টিভ

আপনি কীভাবে দ্বিদ্বৈকীয় কার্য করবেন?

এর উত্তর দেওয়ার জন্য , কোনও ক্রিয়াকলাপের ইনজেকটিভিটি এবং ওভারজেসিটিভিটি সম্পর্কিত ধারণাগুলি এবং সেই সাথে প্রয়োজনীয়তার সাথে খাপ খাইয়ে নিতে শর্ত কার্যকারণের মানদণ্ড সম্পর্কে পরিষ্কার হওয়া প্রয়োজন।

একটি ফাংশন অকার্যকরতা

একটি ক্রিয়াকলাপটি ইনজেকশনযুক্ত হয় যখন এর ডোমেনের প্রতিটি উপাদান কোডোমেনের একটি একক উপাদানের সাথে সম্পর্কিত। কোডোমেনের একটি উপাদানটি কেবলমাত্র ডোমেনের একক উপাদানের চিত্র হতে পারে, এইভাবে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের মানগুলি পুনরাবৃত্তি করা যায় না।

কোনও ক্রিয়াকলাপটিকে ইনজেকশন বিবেচনা করার জন্য, নিম্নলিখিতগুলি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

একটি ফাংশন এর Surjectivity

কোনও ফাংশনকে সার্জেক্টিভ হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয় যদি এর কোডোমেনের প্রতিটি উপাদান ডোমেনের কমপক্ষে একটি উপাদানের চিত্র হয়।

একটি ক্রিয়াকলাপ surjective বিবেচনা করতে, নিম্নলিখিত অবশ্যই পূরণ করা আবশ্যক:

চলুন F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = খ

এটিই বীজগণিত পদ্ধতিতে প্রতিষ্ঠিত করার জন্য যে সি " _f " এর অন্তর্গত প্রতিটি "বি" এর জন্য একটি "ক" রয়েছে যা ডি _{চ এর সাথে সম্পর্কিত} যা "ক" এ মূল্যায়িত ফাংশনটি "বি" এর সমান।

ফাংশন কন্ডিশনার

কখনও কখনও দ্বিখণ্ডিত না এমন একটি ফাংশন নির্দিষ্ট শর্তের শিকার হতে পারে। এই নতুন শর্তাবলী এটি একটি দ্বিপ্রস্থ ফাংশন করতে পারে । ফাংশনের ডোমেন এবং কোডোমেনে সমস্ত ধরণের পরিবর্তনগুলি বৈধ, যেখানে উদ্দেশ্য সম্পর্কিত সম্পর্কটিতে ইনজেকটিভিটি এবং সার্জেটিভিটির বৈশিষ্ট্যগুলি অর্জন করা।

উদাহরণ: সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

F: R → R ফাংশনটি F (x) = 5x +1 রেখা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক

উত্তর:

এটি লক্ষ্য করা যায় যে ডোমেনের প্রতিটি মানের জন্য কোডোমেনে একটি চিত্র থাকে। এই ছবিটি অনন্য যা করে তোলে এফ একটি injective ফাংশন । একইভাবে, আমরা লক্ষ্য করি যে ফাংশনের কোডোমাইন তার র‌্যাঙ্কের সমান। সুতরাং surjectivity শর্ত পূরণ ।

ইনজেকশন এবং একই সাথে surjective হচ্ছে আমরা এটি উপসংহার করতে পারেন

F: R → R লাইন দ্বারা নির্ধারিত F (x) = 5x +1 একটি বাইজিক ফাংশন।

এটি সমস্ত লিনিয়ার ফাংশনগুলিতে প্রযোজ্য (ফাংশন যার ভেরিয়েবলের সর্বোচ্চ ডিগ্রি এক)।

অনুশীলন 2

F: R → R ফাংশনটি এফ (এক্স) = 3x ² - 2 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক

একটি অনুভূমিক রেখা অঙ্কন করার সময়, এটি গ্রাফটি একাধিক উপলক্ষে পাওয়া যায় এমনটি পর্যবেক্ষণ করা হয়। এই কারণে ফাংশন এফ injective নয় এবং সেইজন্য এটা হবে না bijective যতদিন যেমন সংজ্ঞায়িত করা হয় আর → আর

একইভাবে, কোডোমেন মান রয়েছে যা ডোমেনের কোনও উপাদানগুলির চিত্র নয়। এর কারণে, ফাংশনটি সার্জেক্টিভ নয়, যা আগমন সেটকে শর্ত করারও যোগ্য।

আমরা ফাংশনের ডোমেন এবং কোডোমাইন শর্তে এগিয়ে যাই

চ: →

যেখানে এটি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যে নতুন ডোমেন শূন্য থেকে ধনাত্মক অনন্তের মানগুলিকে coversেকে রাখে। ইনজেকটিভিটি প্রভাবিত করে এমন মানগুলির পুনরাবৃত্তি এড়ানো।

অনুরূপভাবে, কোডোমেন পরিবর্তন করা হয়েছে, "-২" থেকে ধনাত্মক অনন্ত পর্যন্ত গণনা করা হয়, কোডোমেন থেকে এই মানগুলি ডোমেনের কোনও উপাদানের সাথে মিল রাখে না

এভাবে এটা নিশ্চিত করা সম্ভব যে এফ : → দ্বারা সংজ্ঞায়িত এফ (x) = 3x ² - 2

এটি দ্বিপ্রদীপক

অনুশীলন 3

F: R → R ফাংশনটি এফ (এক্স) = সেন (এক্স) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক

ব্যবধানে সাইন ফাংশন তার ফলাফলগুলি শূন্য এবং একের মধ্যে পরিবর্তিত করে।

সূত্র: লেখক।

এফ ফাংশনটি ইনজেকটিভিটি এবং সার্জেসিভিটির মানদণ্ডের সাথে মিলে যায় না, কারণ নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের মানগুলি every এর প্রতিটি বিরতিতে পুনরাবৃত্তি হয় π তদুপরি, অন্তরটির বাইরে কোডোমেন শর্তাবলী ডোমেনের কোনও উপাদানগুলির চিত্র নয়।

F (x) = Sen (x) ফাংশনের গ্রাফ অধ্যয়ন করার সময়, যখন বক্ররেখা আচরণ দ্বিঘাতের মানদণ্ডের সাথে মিলিত হয় সেখানে অন্তরগুলি পর্যবেক্ষণ করা হয় । উদাহরণস্বরূপ ডোমেনের জন্য ব্যবধান ডি _এফ = এবং সি _এফ = কোডোমেনের জন্য।

যেখানে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের কোনও মান পুনরাবৃত্তি না করে ফাংশনটি ফলাফল 1 থেকে -1 পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়। এবং একই সাথে কোডোমেন সেন (এক্স) এক্সপ্রেশন দ্বারা গৃহীত মানগুলির সমান

সুতরাং ফাংশন এফ: → এফ (এক্স) = সেন (এক্স) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । এটি দ্বিপ্রদীপক

অনুশীলন 4

D _f এবং C _{f এর} জন্য প্রয়োজনীয় শর্তাবলী লিখুন । তাই প্রকাশ

F (x) = -x ² দ্বিখণ্ডিত হতে হবে।

সূত্র: লেখক

পরিবর্তনগুলি বিপরীত মানগুলি গ্রহণ করলে ফলাফলগুলির পুনরাবৃত্তিটি পর্যবেক্ষণ করা হয়:

এফ (2) = এফ (-2) = -4

এফ (3) = এফ (-3) = -9

এফ (4) = এফ (-4) = -16

ডোমেনটি শর্তযুক্ত, এটিকে আসল লাইনের ডান দিকে সীমাবদ্ধ করে।

ডি _চ =

একইভাবে, এটি পর্যবেক্ষণ করা হয় যে এই ফাংশনটির পরিসর হ'ল বিরতি, যা কোডোমেন হিসাবে কাজ করার পরে সার্জেটিভিটির শর্ত পূরণ করে।

এইভাবে আমরা এটি উপসংহার করতে পারি

অভিব্যক্তি এফ: → দ্বারা সংজ্ঞায়িত f (x) = -x ² এটা bijective হয়

প্রস্তাবিত অনুশীলন

নিম্নলিখিত ফাংশনগুলি দ্বিপ্রস্থ কিনা তা পরীক্ষা করুন:

F: → R F (x) = 5ctg (x) দ্বারা সংজ্ঞায়িত

এফ: → আর এফ দ্বারা নির্ধারিত (এক্স) = কর (এক্স - 3)

F: R → R রেখাটি F (x) = -5x + 4 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

তথ্যসূত্র

1. যুক্তি এবং সমালোচনামূলক চিন্তাভাবনার পরিচিতি। মেরিলি এইচ। সালমন পিটসবার্গ বিশ্ববিদ্যালয়
2. গাণিতিক বিশ্লেষণে সমস্যা। পাইওটর বেলার, আলফ্রেড উইটকোস্কি। রোকলা বিশ্ববিদ্যালয়। পোল্যান্ড.
3. বিমূর্ত বিশ্লেষণের উপাদানসমূহ। মাচেল ও'সার্কয়েড পিএইচডি। গণিত বিভাগ। বিশ্ববিদ্যালয় কলেজ ডাবলিন, বেলফিল্ড, ডাবলিন্ড ৪
4. যুক্তি এবং অনুদান বিজ্ঞানের পদ্ধতি সম্পর্কে পরিচিতি। আলফ্রেড তারস্কি, নিউ ইয়র্ক অক্সফোর্ড। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস.
5. গাণিতিক বিশ্লেষণের নীতিমালা। এনরিক লিন্স এসকার্ডে সম্পাদকীয় রিভার্টé এস এ 1991. বার্সেলোনা স্পেন।