ত্রিভুজ: ইতিহাস, উপাদান, শ্রেণিবিন্যাস, বৈশিষ্ট্য - বিজ্ঞান - 2025

ত্রিভুজ সমতল এবং জ্যামিতিক পরিসংখ্যান বন্ধ তিন পক্ষের গঠিত। একটি ত্রিভুজ তিনটি রেখার দ্বারা নির্ধারিত হয় যা দুটি দ্বারা দুটি ছেদ করে একে অপরের সাথে তিনটি কোণ গঠন করে। প্রতীকবাদে পূর্ণ ত্রিভুজাকার আকৃতি অসংখ্য বস্তুতে এবং নির্মাণের উপাদান হিসাবে উপস্থিত রয়েছে।

ত্রিভুজের উত্স ইতিহাসে হারিয়ে গেছে। প্রত্নতাত্ত্বিক প্রমাণ থেকে এটি জানা যায় যে আদিম মানবতা এটিকে ভালভাবে জানত, কারণ প্রত্নতাত্ত্বিক অবশেষগুলি নিশ্চিত করে যে এটি সরঞ্জাম এবং অস্ত্র ব্যবহৃত হয়েছিল।

চিত্র 1. ত্রিভুজ। সূত্র: পাবলিকডোমেনপিকচারস।

এটিও স্পষ্ট যে প্রাচীন মিশরীয়রা জ্যামিতির এবং বিশেষত ত্রিভুজাকার আকৃতির একটি শক্ত জ্ঞান ধারণ করেছিলেন। তারা এর স্মৃতিস্তম্ভের বিল্ডিংগুলির স্থাপত্য উপাদানগুলিতে প্রতিফলিত হয়েছিল।

রিহিন্ড পেপাইরাসগুলিতে আপনি ত্রিভুজ এবং ট্র্যাপিজয়েডগুলির ক্ষেত্রগুলি গণনা করার সূত্রগুলি আবিষ্কার করতে পারবেন, পাশাপাশি কিছু খণ্ড এবং প্রাথমিক উদ্বেগের ত্রিকোণমিতির অন্যান্য ধারণাগুলিও খুঁজে পাবেন।

তাদের পক্ষে, এটি জানা যায় যে ব্যাবিলনীয়রা ত্রিভুজ এবং অন্যান্য জ্যামিতিক পরিসংখ্যানগুলির অঞ্চল গণনা করতে সক্ষম হয়েছিল, যা তারা ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে যেমন জমির বিভাগ হিসাবে ব্যবহার করেছিল। তারা ত্রিভুজগুলির অনেক বৈশিষ্ট্য সম্পর্কেও জ্ঞাত ছিল।

তবে, প্রাচীন গ্রীকরা যিনি প্রচলিত জ্যামিতিক ধারণাগুলি আজকে প্রচলিত করেছিলেন, যদিও এই জ্ঞানের বেশিরভাগই একচেটিয়া ছিল না, কারণ এটি অবশ্যই অন্যান্য অন্যান্য প্রাচীন সভ্যতার সাথে ভাগ করা হয়েছিল।

ত্রিভুজ উপাদান

যে কোনও ত্রিভুজের উপাদানগুলি নিম্নলিখিত চিত্রটিতে নির্দেশিত হয়েছে। তিনটি রয়েছে: শীর্ষে, দিক এবং কোণগুলি।

চিত্র 2. ত্রিভুজ এবং তাদের উপাদানগুলির স্বরলিপি। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স, এফ.জাপাটা সংশোধিত

-পরিচালনা: রেখার ছেদগুলির বিন্দু যাগুলির বিভাগগুলি ত্রিভুজ নির্ধারণ করে। উপরের চিত্রটিতে, উদাহরণস্বরূপ, রেখাটি এল _{এসটিতে} সেগমেন্ট AC রয়েছে, রেখাটি L _AB কে ছেদ করে যেখানে খণ্ডটি AB এ অবিকল বিন্দুতে রয়েছে AB

- পার্শ্বসমূহ: প্রতিটি জোড়ের মাঝে শীর্ষে একটি রেখাংশ অঙ্কিত হয় যা ত্রিভুজের এক পাশ গঠন করে। এই বিভাগটি শেষ বর্ণগুলি দ্বারা বা এটি নির্দিষ্ট করার জন্য নির্দিষ্ট বর্ণ ব্যবহার করে বোঝানো যেতে পারে। চিত্র 2 এর উদাহরণে, পাশের AB কে "গ "ও বলা হয়।

- কোণ: একটি সাধারণ প্রান্তের সাথে প্রতিটি পাশের মধ্যে একটি কোণ উত্পন্ন হয়, যার প্রান্তিকটি ত্রিভুজের সাথে মিলে যায়। সাধারণত কোণটি গ্রীক বর্ণ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেমনটি শুরুতে বলা হয়েছিল।

প্রদত্ত আকার এবং আকার সহ একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজ তৈরি করতে, কেবলমাত্র নিম্নলিখিত একটি ডেটা সেট রেখে দিন:

- তিনটি দিক, ত্রিভুজের ক্ষেত্রে বেশ স্পষ্ট।

-দু পক্ষ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ এবং তত্ক্ষণাত বাকী দিকটি টানা হবে।

-দু (অভ্যন্তরীণ) কোণ এবং তাদের মধ্যবর্তী দিক। এক্সটেনশনের মাধ্যমে দুটি অনুপস্থিত দিক আঁকা এবং ত্রিভুজটি প্রস্তুত।

স্বরলিপি

সাধারণত, ত্রিভুজ স্বরলিপিতে নিম্নলিখিত কনভেনশনগুলি ব্যবহার করা হয়: শীর্ষগুলি লাতিন বর্ণের বড় হাতের সাথে, ছোট হাতের ল্যাটিন বর্ণের পাশ এবং গ্রীক অক্ষর দ্বারা কোণগুলি প্রদর্শিত হয় (চিত্র 2 দেখুন)

এইভাবে ত্রিভুজের নামটি তার শীর্ষকে অনুসারে করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 2-এর বামে ত্রিভুজটি ত্রিভুজটি এবিসি, এবং ডানদিকে একটি ত্রিভুজ A'B'C ''

অন্যান্য স্বরলিপি ব্যবহার করাও সম্ভব; উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 2-এ কোণটি BAC হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। নোট করুন যে ভারটিেক্সের বর্ণটি মাঝখানে যায় এবং অক্ষরগুলি একটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিক দিয়ে লেখা হয়।

অন্যান্য সময় কোণ বোঝাতে একটি ক্যারেট ব্যবহৃত হয়:

α = ∠এ

ত্রিভুজ প্রকারের

ত্রিভুজগুলিকে শ্রেণিবদ্ধ করার জন্য কয়েকটি মানদণ্ড রয়েছে। সর্বাধিক সাধারণ জিনিসটি তাদের পক্ষের পরিমাপ অনুযায়ী বা তাদের কোণগুলির পরিমাপ অনুযায়ী শ্রেণিবদ্ধ করা। তাদের পক্ষের পরিমাপের উপর নির্ভর করে ত্রিভুজগুলি হতে পারে: স্কেলেন, আইসোসিল বা সমবাহিক:

-স্কেলানো: এর তিনটি দিকই আলাদা are

-সিসেলস: এর দুটি সমান দিক এবং একটি পৃথক দিক রয়েছে।

-Equilátero: তিন পক্ষ সমান।

চিত্র 3. তাদের পাশ দিয়ে ত্রিভুজগুলির শ্রেণিবদ্ধকরণ। সূত্র: এফ.জাপাটা

তাদের কোণগুলির পরিমাপ অনুসারে ত্রিভুজটির নাম এইভাবে রাখা হয়েছে:

- বাধা, যদি একটি অভ্যন্তরীণ কোণ 90º এর চেয়ে বেশি হয় º

- সূক্ষ্মকোণ, যখন ত্রিভুজ তিন অভ্যন্তরীণ কোণ তীব্র হলো, কম 90º তুলনায়

- আয়তক্ষেত্র, যদি এর অভ্যন্তরীণ কোণগুলির একটির মূল্য 90º হয় º যে দিকগুলি 90º গঠন করে তাদের পা বলা হয় এবং ডান কোণের বিপরীত দিকটি হ'ল অনুমান।

চিত্র 4. তাদের অভ্যন্তরীণ কোণ দ্বারা ত্রিভুজগুলির শ্রেণিবিন্যাস। সূত্র: এফ.জাপাটা।

ত্রিভুজগুলির সমাগম

যখন দুটি ত্রিভুজ একই আকার এবং একই আকার হয়, তখন তারা একত্রিত হয় বলে মনে করা হয়। অবশ্যই সম্মিলন সাম্যের সাথে সম্পর্কিত, তাই জ্যামিতি কেন "দুটি সমান ত্রিভুজ" এর পরিবর্তে "দুটি সমষ্টি ত্রিভুজ" বলবে?

ঠিক আছে, সত্যকে আঁকড়ে ধরতে "একত্রিত" শব্দটি ব্যবহার করা পছন্দ করা হয়, যেহেতু দুটি ত্রিভুজ একই আকার এবং আকার ধারণ করতে পারে তবে বিমানে ভিন্নভাবে দৃষ্টিভঙ্গি হতে হবে (চিত্র দেখুন 3)। জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, তারা আর কঠোরভাবে এক হবে না।

চিত্র ৫. একত্রিত ত্রিভুজ, তবে অগত্যা সমান নয়, যেহেতু বিমানটিতে তাদের অবস্থান ভিন্ন different সূত্র: এফ.জাপাটা।

সম্মিলন মাপদণ্ড

নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে কোনওটি ঘটলে দুটি ত্রিভুজ একত্রিত হয়:

- তিনটি পক্ষই একই পরিমাপ করে (আবার এটি সর্বাধিক সুস্পষ্ট)।

-তাদের দুটি অভিন্ন দিক এবং তাদের মধ্যে একই কোণ রয়েছে।

-দ্বয়ের দুটি অভিন্ন অভ্যন্তরীণ কোণ রয়েছে এবং এই কোণগুলির মধ্যে পার্শ্বটি একই পরিমাপ করে।

যেমন দেখা যায়, এটি দুটি ত্রিভুজগুলি প্রয়োজনীয় শর্ত পূরণ করে যাতে তারা তৈরি হয়, তখন তাদের আকার এবং আকার হুবহু এক হয়।

একত্রিত করার মানদণ্ডটি খুব কার্যকর, যেহেতু অনুশীলনে, অগণিত টুকরা এবং যান্ত্রিক অংশগুলি সিরিজে তৈরি করা উচিত, যাতে তাদের পরিমাপ এবং আকারটি একই রকম হয়।

ত্রিভুজগুলির মিল

একটি ত্রিভুজ অন্য আকারের মতো হয় যদি তাদের আকার একই থাকে তবে তা বিভিন্ন আকারের হলেও। আকৃতিটি একইরূপে তা নিশ্চিত করার জন্য, অভ্যন্তরীণ কোণগুলির একই মান হওয়া এবং পক্ষগুলি আনুপাতিক হওয়া প্রয়োজন।

চিত্র Two. দুটি অনুরূপ ত্রিভুজ: তাদের আকার পৃথক হলেও তাদের অনুপাত একই the সূত্র: এফ.জাপাটা।

চিত্র ২-এ ত্রিভুজগুলিও similar চিত্রের মতো figure

পক্ষ হিসাবে, নিম্নলিখিত অনুরূপ অনুপাত হোল্ড:

প্রোপার্টি

ত্রিভুজগুলির মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নরূপ:

যে কোনও ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির যোগফল সর্বদা 180º হয় º

- যে কোনও ত্রিভুজের জন্য, এর বাহ্যিক কোণগুলির সমষ্টি 360 ° এর সমান °

- ত্রিভুজের একটি বাহ্যিক কোণ দুটি কোণ অভ্যন্তরের কোণগুলির সমান যা বলা কোণের সাথে সংলগ্ন নয়।

উপপাদ্য

থ্যালসের প্রথম উপপাদ্য

এগুলি দায়ী করা হয়েছে গ্রীক দার্শনিক এবং মাইলিটাসের গণিতবিদ থেলসকে, যিনি জ্যামিতির সাথে সম্পর্কিত বিভিন্ন উপপাদ্য বিকাশ করেছিলেন। তাদের মধ্যে প্রথমটি নিম্নরূপ বলে:

চিত্র 7. থ্যালিসের উপপাদ্য। সূত্র: এফ.জাপাটা।

অন্য কথায়:

a / a´ = b / b´ = c / c´

থ্যালিসের প্রথম উপপাদ্য একটি ত্রিভুজটির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, উদাহরণস্বরূপ আমাদের বাম দিকে নীল ত্রিভুজটি এবিসি রয়েছে, যা ডানদিকে লাল সমান্তরাল দ্বারা কাটা হয়েছে:

চিত্র 8. থ্যালিসের উপপাদ্য এবং অনুরূপ ত্রিভুজ।

ভায়োলেট ত্রিভুজ AB'C 'নীল ত্রিভুজ এবিসির অনুরূপ, সুতরাং, থ্যালসের উপপাদ্য অনুসারে, নিম্নলিখিতটি লেখা যেতে পারে:

এবি / এসি = এবি / এসি

এবং এটি ত্রিভুজগুলির মিলের বিভাগে পূর্বে যা ব্যাখ্যা করা হয়েছিল তার সাথে সামঞ্জস্য। উপায় দ্বারা, সমান্তরাল লাইনগুলি অনুভূমিক বা সমান্তরাল হতে পারে অনুমানের সমান্তরাল এবং অনুরূপ ত্রিভুজ একই পদ্ধতিতে প্রাপ্ত হয়।

থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্য

এই উপপাদ্যটি ত্রিভুজ এবং কেন্দ্র O এর সাথে একটি বৃত্তও বোঝায় যেমন নীচে দেখানো হয়েছে। এই চিত্রটিতে, এসি পরিধিটির ব্যাস এবং বি এর উপর একটি বিন্দু, বি এ এবং বি থেকে পৃথক being

থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্য বলে যে:

চিত্র 9. থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্য। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। সূক্ষ্ম লোড।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য

এটি ইতিহাসের অন্যতম বিখ্যাত উপপাদ্য। এটি গ্রীক গণিতবিদ সামোসের পাইথাগোরাস (569 - 475 বিসি) এর কারণে এবং এটি একটি ডান ত্রিভুজটির জন্য প্রযোজ্য। তাই বলে:

যদি আমরা উদাহরণ হিসাবে 8 নম্বরের নীল ত্রিভুজ বা বেগুনি ত্রিভুজ, যেহেতু উভয়ই আয়তক্ষেত্রাকার, তবে এটি বলা যেতে পারে:

এসি ² = এবি ² + বিসি ² (নীল ত্রিভুজ)

AC´ ² = AB´ ² + বিসি´ ² (বেগুনি ত্রিভুজ)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলটি তার বেস a এবং এর উচ্চতা h এর উত্পাদক দ্বারা 2 দিয়ে বিভক্ত করা হয় এবং ত্রিকোণমিতির দ্বারা এই উচ্চতাটিকে h = b sinθ হিসাবে লেখা যায় θ

চিত্র 10. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

ত্রিভুজগুলির উদাহরণ

উদাহরণ 1

কথিত আছে যে তার প্রথম উপপাদ্যটির মাধ্যমে থ্যালস মিশরের গ্রেট পিরামিডের উচ্চতা পরিমাপ করতে সক্ষম হয়েছিল, এটি প্রাচীন বিশ্বের of বিস্ময়ের মধ্যে একটি, এটি মাটিতে প্রক্ষেপিত ছায়া এবং মাটিতে চালিত একটি ঝুঁকির দ্বারা ছায়াটি অনুমান করে পরিমাপ করেছিল।

কাহিনী অনুসারে প্রক্রিয়াটির রূপরেখা এটি:

চিত্র 11. ত্রিভুজগুলির মিলের দ্বারা গ্রেট পিরামিডের উচ্চতা পরিমাপের স্কিম। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। ডেকে

থেলস সঠিকভাবে ধরে নিয়েছিলেন যে সূর্যের রশ্মিগুলি সমান্তরালে আঘাত হানে। এই বিষয়টি মাথায় রেখে তিনি ডানদিকে থাকা বৃহত ডান ত্রিভুজটি কল্পনা করেছিলেন।

সেখানে ডি পিরামিডের উচ্চতা এবং সিটি মরুভূমির মেঝেতে পিরামিড দ্বারা ছায়া নিক্ষেপণের কেন্দ্র থেকে মাটির উপরে পরিমাপ করা হয়। এটি সি পরিমাপ করা শ্রমসাধ্য হতে পারে তবে পিরামিডের উচ্চতা পরিমাপ করার চেয়ে এটি অবশ্যই সহজ।

বামদিকে ছোট ত্রিভুজ রয়েছে, যার পা A এবং B রয়েছে, যেখানে A মাটির দিকে লম্বালম্বিভাবে চালিত অংশটির উচ্চতা এবং বি এটি ছায়াযুক্ত ছায়া। উভয় দৈর্ঘ্য পরিমাপযোগ্য, সি হিসাবে (সি ছায়া দৈর্ঘ্যের সমান + পিরামিডের অর্ধ দৈর্ঘ্যের)।

সুতরাং, ত্রিভুজগুলির মিলের দ্বারা:

এ / বি = ডি / সি

এবং গ্রেট পিরামিডের উচ্চতাটি পরিণত হয়: ডি = সি (এ / বি)

উদাহরণ 2

নাগরিক নির্মাণের ট্রসগুলি কাঠের ধাতু বা ধাতব ক্রিসক্রসড পাতলা সরু বার দিয়ে তৈরি কাঠামো, যা অনেকগুলি বিল্ডিংয়ে সমর্থন হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এগুলি ট্রসস, ট্রুসস বা ট্রসস নামেও পরিচিত।

তাদের মধ্যে ত্রিভুজগুলি সর্বদা উপস্থিত থাকে, যেহেতু বারগুলি নোড নামক পয়েন্টগুলিতে একে অপরের সাথে সংযুক্ত থাকে, যা স্থির বা বর্ণযুক্ত হতে পারে।

চিত্র 12. ত্রিভুজটি এই ব্রিজের ফ্রেমে উপস্থিত রয়েছে। সূত্র: পিএক্সহির।

উদাহরণ 3

ত্রিভুজুলেশন হিসাবে পরিচিত পদ্ধতিটি পরিমাপ করা সহজতর অন্যান্য দূরত্বগুলি জেনে দুর্গম পয়েন্টগুলির অবস্থান অর্জনের অনুমতি দেয়, তবে এমন একটি ত্রিভুজ গঠিত হয় যা তার উল্লম্বের মধ্যে পছন্দসই অবস্থান অন্তর্ভুক্ত করে।

উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত চিত্রটিতে আমরা জানতে চাই যে জাহাজটি সমুদ্রের মধ্যে কোথায় রয়েছে, বি হিসাবে চিহ্নিত রয়েছে B.

চিত্র 13. শিপটি সনাক্ত করার জন্য ত্রিভঙ্গীকরণ পরিকল্পনা। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। কোলেট

প্রথমত, উপকূলের দুটি পয়েন্টের মধ্যকার দূরত্বটি পরিমাপ করা হয়, যা চিত্রটিতে A এবং C রয়েছে। এর পরে, কোণ এবং β β অবশ্যই একটি থিয়োডোলাইট ব্যবহার করে একটি ডিভাইস উল্লম্ব এবং অনুভূমিক কোণ পরিমাপ করতে হবে determined

এই সমস্ত তথ্যের সাথে একটি ত্রিভুজ তৈরি করা হয়েছে যার উপরের শীর্ষটি জাহাজটি। এটি সমুদ্রের জাহাজের অবস্থান নির্ধারণের জন্য, ত্রিভুজগুলির বৈশিষ্ট্য এবং দূরত্বে AB এবং CB ব্যবহার করে সমুদ্রের জাহাজের অবস্থান নির্ধারণ করে remains

অনুশীলন

অনুশীলনী 1

দেখানো চিত্রটিতে সূর্যের রশ্মি সমান্তরাল। এইভাবে, 5 মিটার লম্বা গাছটি মাটিতে 6 মিটার ছায়া ফেলে। একই সময়ে, বিল্ডিংয়ের ছায়া 40 মিটার। থ্যালসের প্রথম উপপাদ্য অনুসরণ করে, বিল্ডিংয়ের উচ্চতাটি সন্ধান করুন।

চিত্র 14. সমাধান করা অনুশীলনের জন্য প্রকল্প 1. উত্স: এফ.জাপাটা।

সমাধান

লাল ত্রিভুজটির পাশ যথাক্রমে 5 এবং 6 মিটার হয়, যখন নীল একটির উচ্চতা H হয় - বিল্ডিংয়ের উচ্চতা - এবং বেস 40 মিটার। উভয় ত্রিভুজ একই, তাই:

অনুশীলন 2

A এবং B দুটি পয়েন্টের মধ্যে অনুভূমিক দূরত্বটি আপনাকে জানতে হবে, তবে তারা খুব অসম স্থলে অবস্থিত।

প্রায় উক্ত ভূখণ্ডের মিডপয়েন্ট (পি _মি) এ, 1.75 মিটার উঁচুতে একটি বিশিষ্টতা দাঁড়িয়ে আছে। যদি টেপ পরিমাপটি এ থেকে প্রধানত্ব পর্যন্ত 26 মাইল দৈর্ঘ্যের এবং বি থেকে একই পয়েন্ট পর্যন্ত 27 মিটার দৈর্ঘ্যের নির্দেশ করে তবে দূরত্বের AB নির্ধারণ করুন।

চিত্র 15. সমাধান করা অনুশীলনের জন্য প্রকল্প 2 উত্স: জিমনেজ, আর। গণিত II। জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি।

সমাধান

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি চিত্রের দুটি ডান ত্রিভুজগুলির একটিতে প্রয়োগ করা হয়েছে। বাম দিকের একটি দিয়ে শুরু:

হাইপোটেনজ = সি = 26 মিটার

উচ্চতা = a = 1.75 মিটার

এপি _মি = (26 ² - 1.75 ²) ^1/2 = 25.94 মি

এবার পাইথাগোরাস ডানদিকে ত্রিভুজটিতে প্রয়োগ করুন, এবার সি = 27 মিটার, a = 1.75 মিটার। এই মান সহ:

বিপি _এম = (27 ² - 1.75 ²) ^1/2 = 26.94 মি

এই ফলাফলগুলি যুক্ত করে দূরত্ব AB খুঁজে পাওয়া যায়:

এবি = 25.94 মি + 26.94 মি = 52.88 মি।

তথ্যসূত্র

1. বাল্ডোর, জেএ 1973. প্লেন এবং স্পেস জ্যামিতি। মধ্য আমেরিকান সাংস্কৃতিক।
2. বারেদো, ডি ত্রিভুজের জ্যামিতি। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: ficus.pntic.mec.es।
3. জিমনেজ, আর। 2010. গণিত II। জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি। দ্বিতীয় সংস্করণ. পিয়ারসন।
4. ভেন্টওয়ার্থ, জি প্লেন জ্যামিতি। উদ্ধার: গুটেনবার্গ.অর্গ।
5. উইকিপিডিয়া। ত্রিভুজ। থেকে উদ্ধার: এস। wikipedia.org।