চেবিশভের উপপাদ্য: এটি কী, প্রয়োগ এবং উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

উপপাদ্য Chebyshev (Chebyshev বা বৈষম্য) সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ শাস্ত্রীয় ফলাফল অন্যতম। এটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর ক্ষেত্রে বর্ণিত ইভেন্টের সম্ভাবনা অনুমানের অনুমতি দেয়, যা আমাদের এমন একটি বাউন্ড সরবরাহ করে যা এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণের উপর নির্ভর করে না তবে এক্স এর বৈচিত্রের উপর নির্ভর করে providing

এই উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছিল রাশিয়ান গণিতবিদ পাফনুটি চেবিশভের নামে (চেবিচেভ বা টেবিচেইফ নামেও রচিত) যিনি, এই উপপাদ্যটি প্রথম প্রকাশ না করেও 1867 সালে প্রথম প্রমাণ দিয়েছিলেন।

এই অসমতা বা তাদের বৈশিষ্ট্যগুলির কারণে চেবিশভের অসমতা বলা হয় তাদের উচ্চতা গণনা করে প্রায় সম্ভাব্যতার জন্য ব্যবহৃত হয়।

এর মধ্যে কী রয়েছে?

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের অধ্যয়নের ক্ষেত্রে, এটি ঘটে যায় যে যদি কোনও এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর বিতরণ ফাংশনটি জানা যায় তবে এর প্রত্যাশিত মান-গাণিতিক প্রত্যাশা ই (এক্স) - এবং এর বৈচিত্র্য ভার (এক্স) হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, যতক্ষণ না যেমন পরিমাণে বিদ্যমান। তবে, কনভার্সটি অগত্যা সত্য নয়।

অর্থাৎ, ই (এক্স) এবং ভার (এক্স) জেনে X এর বিতরণ ফাংশনটি অর্জন করা অগত্যা সম্ভব নয়, সুতরাং কিছু k> 0 এর জন্য পি (-X-> কে) এর পরিমাণগুলি পাওয়া খুব কঠিন are তবে চেবিশভের অসমতার জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীলটির সম্ভাবনা অনুমান করা সম্ভব।

চেবিশভের উপপাদ্যটি আমাদের বলেছে যে যদি আমাদের একটি সম্ভাব্যতা ফাংশন সহ একটি নমুনা স্পেস এস এর উপর র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স থাকে এবং যদি কে> 0 হয় তবে:

অ্যাপ্লিকেশন এবং উদাহরণ

চেবিশভের উপপাদ্যের অনেকগুলি প্রয়োগের মধ্যে নিম্নলিখিতগুলির উল্লেখ করা যেতে পারে:

সম্ভাবনা সীমাবদ্ধ করা হচ্ছে

এটি সর্বাধিক প্রচলিত অ্যাপ্লিকেশন এবং পি (-XE (এক্স)-ank) এর জন্য একটি উচ্চতর বাউন্ড দিতে ব্যবহৃত হয় যেখানে k> 0, কেবলমাত্র বৈকল্পিক এক্স এবং সম্ভাবনা ফাংশনটি না জেনে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সের প্রত্যাশা নিয়ে bound ।

উদাহরণ 1

মনে করুন যে এক সপ্তাহে কোনও সংস্থায় উত্পাদিত পণ্যের সংখ্যা গড় 50 এর সাথে এলোমেলো পরিবর্তনশীল।

যদি এক সপ্তাহের উত্পাদনের বৈকল্পিক 25 টির সমান হিসাবে পরিচিত হয়, তবে আমরা এই সপ্তাহে উত্পাদনটি গড় থেকে 10 টিরও বেশি দ্বারা পৃথক হওয়ার সম্ভাবনা সম্পর্কে কী বলতে পারি?

সমাধান

চবিশভের অসমতার প্রয়োগ আমাদের মধ্যে রয়েছে:

এটি থেকে আমরা জানতে পারি যে উত্পাদন সপ্তাহে নিবন্ধের সংখ্যা 10 এরও বেশি দ্বারা গড় ছাড়িয়ে যায় এমন সম্ভাবনা সর্বাধিক 1/4।

সীমাবদ্ধ তাত্ত্বিকতার প্রমাণ

চেবিশভের অসমতা সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ সীমাবদ্ধ তত্ত্বগুলি প্রমাণ করার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। উদাহরণ হিসাবে আমাদের নিম্নলিখিত রয়েছে:

বিপুল সংখ্যার দুর্বল আইন

এই আইনটিতে বলা হয়েছে যে একই গড় ডিস্ট্রিবিউশন E (Xi) = μ এবং ভেরিয়েন্স ভার (এক্স) = σ ^{2 সহ} একটি নির্মান এক্স 1, এক্স 2,…, এক্সএন,… স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি দেওয়া হয়েছে: এবং এর একটি পরিচিত গড় নমুনা:

তারপরে কে> 0 এর জন্য আমাদের রয়েছে:

বা, সমতুল্য:

প্রদর্শন

প্রথমে নিম্নলিখিতটি লক্ষ্য করুন:

এক্স 1, এক্স 2,…, এক্সএন স্বতন্ত্র হওয়ায় এটি অনুসরণ করে:

সুতরাং, নিম্নলিখিতটি বলা সম্ভব:

তারপরে, চেবিশভের উপপাদ্যটি ব্যবহার করে আমাদের কাছে রয়েছে:

অবশেষে, উপপাদ্যটি এই সিদ্ধান্তে ফলাফল করে যে ডানদিকে সীমাটি শূন্যের সাথে এন অসীমের কাছে পৌঁছেছে।

এটি লক্ষ করা উচিত যে এই পরীক্ষাটি কেবল সেই মামলার জন্যই করা হয়েছিল যেখানে সি'র বৈকল্পিকতা বিদ্যমান; এটি হ'ল এটি বিচ্যুত হয় না। সুতরাং আমরা পর্যবেক্ষণ করি যে E (Xi) উপস্থিত থাকলে তত্ত্বটি সর্বদা সত্য।

চেবিশভ প্রপঞ্চকে সীমাবদ্ধ করেন

যদি এক্স 1, এক্স 2,…, এক্সএন,… স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম হয় তবে কিছু সি <অনন্ত উপস্থিত থাকে, যেমন সমস্ত প্রাকৃতিক এন এর জন্য ভার (এক্সএন) ≤ সি, তবে যে কোনও কে> 0:

প্রদর্শন

যেহেতু ভেরিয়েন্সগুলির ক্রমটি অভিন্নভাবে সীমাবদ্ধ, তাই আমাদের কাছে সমস্ত প্রাকৃতিক এনের জন্য ভার (এসএন) ≤ সি / এন রয়েছে। তবে আমরা জানি:

অনন্তের দিকে ঝুঁকে পড়া, নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি:

যেহেতু কোনও সম্ভাবনা 1 এর মান অতিক্রম করতে পারে না তাই কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাওয়া যায়। এই উপপাদ্যের ফলস্বরূপ, আমরা বার্নোলির বিশেষ ক্ষেত্রে উল্লেখ করতে পারি।

যদি দুটি পরীক্ষা দুটি সম্ভাব্য ফলাফল (ব্যর্থতা এবং সাফল্য) দিয়ে স্বতন্ত্রভাবে পুনরুক্ত করা হয়, যেখানে পি প্রতিটি পরীক্ষায় সাফল্যের সম্ভাবনা থাকে এবং এক্সটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা প্রাপ্ত সাফল্যের সংখ্যা উপস্থাপন করে, তবে প্রতিটি কে> 0 তোমাকে করতেই হবে:

সাধারন মাপ

বৈকল্পিকতার ক্ষেত্রে, চেবিশভের বৈষম্য আমাদের একটি নমুনা আকারের এন সন্ধান করতে দেয় যা গ্যারান্টি দিতে যথেষ্ট যে -Sn-μ -> = k এর সম্ভাবনাটি যেমন কাঙ্ক্ষিত তত ছোট, যা আমাদের প্রায় অনুমান করার অনুমতি দেয় গড়ে।

বিশেষত, এক্স 1, এক্স 2,… এক্স এন আকারের স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির নমুনা হয়ে উঠুন এবং ধরে নিন যে E (Xi) = μ এবং এর ভিন্নতা σ ² । তারপরে, চেবিশভের অসমতার দ্বারা:

উদাহরণ

ধরুন যে এক্স 1, এক্স 2,… এক্সএন হল বের্নোলি বিতরণের সাথে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি নমুনা, যেমন তারা সম্ভাব্যতা পি = 0.5 এর সাথে মান 1 গ্রহণ করে।

গ্যারান্টি দিতে পেরে নমুনার আকারটি কী হতে হবে যে গাণিতিকের মধ্যে পার্থক্য স্ন ও তার প্রত্যাশিত মান (০.০ এর বেশি) ছাড়িয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা, 0.01 এর চেয়ে কম বা সমান?

সমাধান

আমাদের কাছে ই (এক্স) = μ = পি = 0.5 এবং সেই ভার (এক্স) = σ ² = পি (1-পি) = 0.25 রয়েছে। চেবিশভের অসমতার দ্বারা, যে কোনও কে> 0 এর জন্য:

এখন, কে = 0.1 এবং δ = 0.01 নিচ্ছেন, আমাদের রয়েছে:

এই উপায়ে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে যে ইভেন্টের সম্ভাবনা -Sn - 0.5 -> = 0.1 এর 0.01 এর চেয়ে কম গ্যারান্টি দেওয়ার জন্য কমপক্ষে 2,500 এর একটি নমুনা আকার প্রয়োজন।

চেবিশভ-ধরণের বৈষম্য

চেবিশভের অসমতার সাথে সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি বৈষম্য রয়েছে। মার্কভের বৈষম্য: সর্বাধিক পরিচিত of

এই এক্সপ্রেশনটিতে এক্স, কে, আর> 0 সহ একটি অ-নেতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবল।

মার্কভ বৈষম্য বিভিন্ন রূপ নিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ওয়াইকে একটি অ-নেতিবাচক এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন (সুতরাং পি (ওয়াই> = 0) = 1) এবং ধরুন যে ই (ওয়াই) = μ বিদ্যমান রয়েছে। মনে করুন যে (ই (ওয়াই)) ^r = μ _r কিছু পূর্ণসংখ্যার r> 1 এর জন্য বিদ্যমান। সুতরাং:

আর একটি বৈষম্য গাউসিয়ান, যা আমাদের বলে যে শূন্যের মোড সহ একটি অবিস্মরণীয় র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্স দেওয়া হয়েছে, তারপরে কে> 0,

তথ্যসূত্র

1. কই লাই চুং। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সাথে প্রাথমিক প্রাথমিক তত্ত্বের তত্ত্ব। স্প্রিংজার-ভার্লাগ নিউ ইয়র্ক ইনক
2. কেনেথ.এইচ। রোজেন। বিচ্ছিন্ন গণিত এবং এর প্রয়োগসমূহ। সামগ্রা-হিল / ইন্টারামেরিকানা দে এসপাÑা।
3. পল এল মায়ার সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান অ্যাপ্লিকেশন। এসএ আলহাম্ব্রা ম্যাক্সিকানা।
4. সিমুর লিপসুটজ পিএইচডি 2000 বিচ্ছিন্ন গণিতের সমাধান সমস্যা। ম্যাকগ্রা-হিল
5. সিমুর লিপসুটজ পিএইচডি তত্ত্ব এবং সম্ভাবনার সমস্যা। ম্যাকগ্রা-হিল